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重慶市云陽江口中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)第二學(xué)期期末質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,,,,若,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.2.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.3.中國(guó)鐵路總公司相關(guān)負(fù)責(zé)人表示,到2018年底,全國(guó)鐵路營(yíng)業(yè)里程達(dá)到13.1萬公里,其中高鐵營(yíng)業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運(yùn)營(yíng)里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運(yùn)營(yíng)里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程與年價(jià)正相關(guān)C.2018年高鐵運(yùn)營(yíng)里程比2014年高鐵運(yùn)營(yíng)里程增長(zhǎng)80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運(yùn)營(yíng)里程數(shù)依次成等差數(shù)列4.若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.5.一輛郵車從地往地運(yùn)送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時(shí),裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時(shí)裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達(dá),,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達(dá)式為().A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.7.定義:表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若,,,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.8.已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯(cuò)誤的是()A.該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬元9.各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的值為()A. B.C. D.或10.若,則()A. B. C. D.11.已知排球發(fā)球考試規(guī)則:每位考生最多可發(fā)球三次,若發(fā)球成功,則停止發(fā)球,否則一直發(fā)到次結(jié)束為止.某考生一次發(fā)球成功的概率為,發(fā)球次數(shù)為,若的數(shù)學(xué)期望,則的取值范圍為()A. B. C. D.12.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是.14.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的S的值是______.15.某部隊(duì)在訓(xùn)練之余,由同一場(chǎng)地訓(xùn)練的甲?乙?丙三隊(duì)各出三人,組成小方陣開展游戲,則來自同一隊(duì)的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率為______.16.已知以x±2y=0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,對(duì),恒有成立,求實(shí)數(shù)的最小值.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解關(guān)于x的不等式;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意實(shí)數(shù),都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對(duì)角線將折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點(diǎn)共面.(1)求證:;(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)(江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知平行于軸的動(dòng)直線交拋物線:于點(diǎn),點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線,,軸都相切,設(shè)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若直線與曲線相切于點(diǎn),過且垂直于的直線為,直線,分別與軸相交于點(diǎn),.當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí),求的值.21.(12分)設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊長(zhǎng)分別為、、.設(shè)為的面積,滿足.(1)求;(2)若,求的最大值.22.(10分)某客戶準(zhǔn)備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級(jí)過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個(gè)二級(jí)過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級(jí)過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級(jí)過濾都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn)在使用過程中,一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯都需要不定期更換(每個(gè)濾芯是否需要更換相互獨(dú)立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯,則一級(jí)濾芯每個(gè)160元,二級(jí)濾芯每個(gè)80元.若客戶在使用過程中單獨(dú)購(gòu)買濾芯則一級(jí)濾芯每個(gè)400元,二級(jí)濾芯每個(gè)200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個(gè)一級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個(gè)二級(jí)過濾器更換的濾芯個(gè)數(shù)制成的條形圖.表1:一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表一級(jí)濾芯更換的個(gè)數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)一級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯的頻率代替1個(gè)二級(jí)過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級(jí)濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時(shí)購(gòu)買的一級(jí)濾芯和二級(jí)濾芯的個(gè)數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購(gòu)買各級(jí)濾芯所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
將、用、表示,再代入中計(jì)算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算,是一道中檔題.2.A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.3.D【解析】
由折線圖逐項(xiàng)分析即可求解【詳解】選項(xiàng),顯然正確;對(duì)于,,選項(xiàng)正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯(cuò).故選:D本題考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí),是基礎(chǔ)題4.D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,由題意得出,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值,并對(duì)的值進(jìn)行檢驗(yàn),即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時(shí),令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時(shí),函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.故選:D.本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.5.D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時(shí),一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時(shí),一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.6.A【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解:由,得,.故選.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7.D【解析】
由題意得,表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當(dāng)時(shí),數(shù)形結(jié)合(如圖)得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個(gè),解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當(dāng)時(shí),,數(shù)形結(jié)合(如圖),由解得.在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解,為1,2,3,滿足,所以符合題意.當(dāng)時(shí),作出函數(shù)和的圖象,如圖所示.若,即的整數(shù)解只有1,2,3.只需滿足,即,解得,所以.綜上,當(dāng)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.8.D【解析】
用收入減去支出,求得每月收益,然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此判斷出說法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項(xiàng)說法正確;月收益最低,B選項(xiàng)說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益,C選項(xiàng)說法正確,后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬元,所以D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.故選D.本小題主要考查圖表分析,考查收益的計(jì)算方法,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】分析:解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比,利用題中所給的條件,建立項(xiàng)之間的關(guān)系,從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式,解方程即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意有,即,因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù),所以,而,故選C.點(diǎn)睛:該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比,而待求量就是,代入即可得結(jié)果.10.D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.11.A【解析】
根據(jù)題意,分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知,,,則解得,由可得,答案選A本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解,易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況:三次都不成功、第三次成功12.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.14.【解析】
根據(jù)流程圖,運(yùn)行程序即得.【詳解】第一次運(yùn)行,;第二次運(yùn)行,;第三次運(yùn)行,;第四次運(yùn)行;所以輸出的S的值是.故答案為:本題考查算法流程圖,是基礎(chǔ)題.15.【解析】
分兩步進(jìn)行:首先,先排第一行,再排第二行,最后排第三行;其次,對(duì)每一行選人;最后,利用計(jì)算出概率即可.【詳解】首先,第一行隊(duì)伍的排法有種;第二行隊(duì)伍的排法有2種;第三行隊(duì)伍的排法有1種;然后,第一行的每個(gè)位置的人員安排有種;第二行的每個(gè)位置的人員安排有種;第三行的每個(gè)位置的人員安排有種.所以來自同一隊(duì)的戰(zhàn)士既不在同一行,也不在同一列的概率.故答案為:.本題考查了分步計(jì)數(shù)原理,排列與組合知識(shí),考查了轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.16.【解析】
設(shè)雙曲線方程為,代入點(diǎn),計(jì)算得到答案.【詳解】雙曲線漸近線為,則設(shè)雙曲線方程為:,代入點(diǎn),則.故雙曲線方程為:.故答案為:.本題考查了根據(jù)漸近線求雙曲線,設(shè)雙曲線方程為是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè),利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法,結(jié)合恒成立,求得的取值范圍,由此求得的最小值.【詳解】(1)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,當(dāng)時(shí),上式成立,當(dāng),有,需,而,,,,故綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是(2)設(shè),,則,令,,在單調(diào)遞增,也就是在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)即時(shí),,不符合;當(dāng)即時(shí),,符合當(dāng)即時(shí),根據(jù)零點(diǎn)存在定理,,使,有時(shí),,在單調(diào)遞減,時(shí),,在單調(diào)遞增,成立,故只需即可,有,得,符合綜上得,,實(shí)數(shù)的最小值為本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.18.(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),利用含有一個(gè)絕對(duì)值不等式的解法,求得不等式的解集.(2)對(duì)分成和兩類,利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值,將表示為分段函數(shù)的形式,求得的最小值,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),由得由得解:,得∴當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式的解集為(2)①當(dāng)時(shí),,所以在上是減函數(shù),在是增函數(shù),所以,由題設(shè)得,解得.②當(dāng)時(shí),同理求得.綜上所述,的取值范圍為.本小題主要考查含有一個(gè)絕對(duì)值不等式的求法,考查利用零點(diǎn)分段法解含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式,屬于中檔題.19.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理,//,最后可得結(jié)果.(2)根據(jù)二面角平面角大小為,可知N為的中點(diǎn),然后利用建系,計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)不妨設(shè),則,在中,,則,因?yàn)椋裕驗(yàn)?/,且A、B、M、N四點(diǎn)共面,所以//平面.又平面平面,所以//.而,.(2)因?yàn)槠矫嫫矫妫遥云矫妫驗(yàn)椋云矫妫驗(yàn)椋矫媾c平面夾角為,所以,在中,易知N為的中點(diǎn),如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則由,令,得.設(shè)與平面所成角為,則.本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角,熟練掌握利用建系的方法解決幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡(jiǎn),屬中檔題.20.(1).(2)見解析.【解析】試題分析:(1)設(shè)根據(jù)題意得到,化簡(jiǎn)得到軌跡方程;(2)設(shè),,,,構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最值.解析:(1)因?yàn)閽佄锞€的方程為,所以的坐標(biāo)為,設(shè),因?yàn)閳A與軸、直線都相切,平行于軸,所以圓的半徑為,點(diǎn),則直線的方程為,即,所以,又,所以,即,所以的方程為.(2)設(shè),,,由(1)知,點(diǎn)處的切線的斜率存在,由對(duì)稱性不妨設(shè),由,所以,,所以,,所以.令,,則,由得,由得,所以在區(qū)間單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得極小值也是最小值,即取得最小值,此時(shí).點(diǎn)睛:求軌跡方程,一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可,而對(duì)于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式,例如,可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解,然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).21.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件形式選擇,然后利用余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn),即可求出;(2)由(1)求出角,利用正弦定理和消元思想,可分別用角的三角函數(shù)值表示出,即可得到,再利用三角恒等變換,化簡(jiǎn)為,即可求出最大值.【詳解】(1)∵,即,∴變形得:,整理得:,又,∴;(2)∵,∴,由正弦定理知,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值.故的最大值為.本題主要考查正弦定理,余弦定理,三角形面積公式的應(yīng)用,以及利用三角恒等變換求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題22.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】
(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級(jí)濾芯總個(gè)數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個(gè)一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯,兩個(gè)二級(jí)過濾器均需要更換4個(gè)濾芯,而由一級(jí)濾芯更換頻數(shù)分布表和二級(jí)濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級(jí)過濾器需要更換8個(gè)濾芯的概率為0.6,二級(jí)過濾器需要更換4個(gè)
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