期中易錯題壓軸題專項復習【26大題型】（考試范圍：第1~3章）【北師大版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1冪的運算】 2【考點2單項式乘單項式】 2【考點3單項式乘多項式】 3【考點4多項式乘多項式】 3【考點5完全平方公式】 4【考點6平方差公式】 4【考點7對頂角、鄰補角、三線八角】 5【考點8兩條直線垂直】 6【考點9平行線的判定與性質】 7【考點10平行線之間的距離】 9【考點11可能性的大小】 10【考點12利用頻率估計概率】 10【考點13等可能事件的概率】 11【壓軸篇】 12【考點14冪的運算的逆用】 12【考點15多項式乘積不含某項求字母的值】 13【考點16多項式乘多項式與圖形面積】 14【考點17整式乘法中的規律性問題】 16【考點18整式乘法中的恒成立問題】 18【考點19相交線中的角度計算】 18【考點20平行線中的折疊問題】 20【考點21平行線中的拐點問題】 22【考點22探究角度之間的關系】 23【考點23平行線中的旋轉問題】 25【考點24平行線中的多結論問題】 26【考點25新定義問題】 28【考點26閱讀理解類問題】 30【易錯篇】【考點1冪的運算】【例1】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算?452024×1.25A．4 B．?4 C．5 D．?5【變式1-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a5?aC．x2+x【變式1-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×3【變式1-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【考點2單項式乘單項式】【例2】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設xm?1yn+2?xA．?18 B．?12 【變式2-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：?2a2b3?【變式2-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2??【變式2-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米．【考點3單項式乘多項式】【例3】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為．【變式3-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2【變式3-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x【變式3-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學子餐廳Wi?Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數是【考點4多項式乘多項式】【例4】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（）A．2張 B．3張 C．4張 D．5張【變式4-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【變式4-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a?4b?2a+b【變式4-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發現規律：我們發現，x+px+q=x2+運用規律(1)如果x+3x?5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a?3b?3②求1a【考點5完全平方公式】【例5】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+bA．4 B．?4 C．8 D．?8【變式5-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關于x的整式9x2?2m?1x+【變式5-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數，且滿足x2+y2【變式5-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【考點6平方差公式】【例6】（24-25七年級·河南新鄉·期中）某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4?1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3(4+1)(4【變式6-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y?x?y D．【變式6-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1mA．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【變式6-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a?bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm

【考點7對頂角、鄰補角、三線八角】【例7】（24-25七年級·河北秦皇島·期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發生了折射，如圖所示，由科學實驗知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列結論正確的是（

）

A．∠1與∠2是對頂角 B．∠4與∠3是對頂角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【變式7-1】（24-25七年級·廣東河源·階段練習）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內角；③∠4與∠1是內錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【變式7-2】（24-25七年級·河南南陽·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，則∠EOF的度數為．【變式7-3】（24-25七年級·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是(1)∠DOE的補角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數．【考點8兩條直線垂直】【例8】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（

）A．線段PC的長是點C到直線PA的距離B．線段AC的長是點A到直線PC的距離C．PA、PB、PC三條線段中，PB最短D．線段PB的長是點P到直線a的距離【變式8-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）數學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A． B．C． D．【變式8-2】（24-25七年級·湖北宜昌·期末）如圖，點A，B，C是直線l上的三點，點P在直線l外，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，則點P到直線l的距離是

【變式8-3】（24-25七年級·河南鄭州·期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【考點9平行線的判定與性質】【例9】（24-25七年級·江蘇泰州·期末）一塊木塊靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下（OG⊥AD），支持力N的方向與斜面垂直（ON⊥AB），摩擦力f的方向與斜面平行（OC∥AB）．若摩擦力f與重力G方向的夾角∠1=120°，則斜面的坡角∠2的度數是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式9-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）已知∠1=∠2，下列圖形中，能確定AB∥CD的是（A．B．C． D．【變式9-2】（24-25七年級·山西晉中·期末）已知：如圖，∠1=∠C，EF⊥BC，∠2+∠3=180°（1）求證：∠2=∠4；（2）試求出∠ADC的度數．請根據解答過程，在橫線上填出數學式，在括號內填寫相應理由．（1）證明：∵∠1=∠C，（已知）∴DP∥AC，（①）∴∠2=∠4；（②）（2）解：∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC=90°，（③）∵∠2=∠4，∠2+∠3=180°，（已證）∴∠3+∠4=180°，（④）∴⑤，（⑥）∴∠ADF=∠⑦∴∠ADC的度數為⑧．【變式9-3】（24-25七年級·遼寧沈陽·期末）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交邊AB于點E，在邊AE上取點F，連結DF，使∠1=∠D．(1)求證：DF∥BC；(2)當∠A=40°，∠DFE=36°時，求∠2的度數．【考點10平行線之間的距離】【例10】（24-25七年級·湖北武漢·階段練習）如圖是小明家電腦主機里的三根線，其中有一根線c由于時間太長老化了，小明發現家里的另一臺廢舊機器的線正好可以替換線c，并把線分別插入對應插口，已知三根線之間的距離相等，則關于這三根線的長度，下列說法正確的是（

）A．a最長 B．b最長 C．c最長 D．一樣長【變式10-1】（24-25七年級·上海松江·期末）如圖，直線a∥b，點A，B位于直線a上，點C，D位于直線b上，且AB∶CD=1:2，如果△ABC的面積為10，那么△BCD的面積為

【變式10-2】（24-25七年級·遼寧本溪·期末）如圖，已知直線a∥b，點A、B、C在直線a上，點D、E、F在直線b上，AB=EF=2，若△CEF的面積為5，則△ABD的面積為（A．2 B．4 C．5 D．10【變式10-3】（24-25七年級·湖南株洲·期中）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，BE和AF相交于點G，CE和DF相交于點H，S△ABG=1，S△DHC【考點11可能性的大小】【例11】（24-25七年級·安徽安慶·階段練習）如圖，一個可以自由轉動的轉盤被平均分成8個區域，每個區域分別標注數1，2，3，4，5，6，7，8．任意轉動轉盤一次，當轉盤停止轉動時，對于下列事件，發生可能性最大的事件是（

）A．指針落在標有5的區域 B．指針落在標有10的區域C．指針落在標有奇數的區域 D．指針落在標有能被3整除的數的區域【變式11-1】（24-25七年級·河北邯鄲·期末）把正面分別寫有7，4，5，7，5，5的6張卡片反面向上放在桌子上，從中任意摸一張，摸到可能性最大的數字是．【變式11-2】（24-25七年級·四川廣安·期末）一個不透明袋子中裝有8個紅球、m個白球和3個黑球，這些球除顏色外無其他差別．從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能為（）A．10 B．5 C．3 D．2【變式11-3】（24-25七年級·浙江嘉興·期中）一個盒子中有a個紅球和b個黃球，每個球除了顏色外都相同．若從盒子中摸到紅球的可能性小于摸到黃球的可能性，則a與b的大小關系是．【考點12利用頻率估計概率】【例12】（24-25七年級·陜西西安·期末）一個不透明的箱子里裝有僅顏色不同的紅色卡片和藍色卡片共20張，隨機從箱子里摸出1張卡片，記下顏色后再放回，經過多次的重復試驗，發現摸到藍色卡片的頻率穩定在0.4附近，由此估計箱子中藍色卡片有張．【變式12-1】（24-25七年級·浙江寧波·期末）數學家皮爾遜為了研究概率問題，進行了大量重復拋硬幣試驗，并用頻率來估計概率．當他把一枚硬幣拋擲24000次時，則下列正面朝上的次數與該實驗結果比較符合的是（）A．11011 B．12012 C．13013 D．14014【變式12-2】（24-25七年級·福建泉州·期末）數學課上，李老師與學生們做“用頻率估計概率”的試驗：不透明袋子中有4個黑球、3個白球、2個藍球和1個紅球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機取出一個球，某一顏色的球出現的頻率如圖所示，則該種球的顏色最有可能是（

）A．黑球 B．白球 C．藍球 D．紅球【變式12-3】（24-25七年級·遼寧大連·期末）做隨機拋擲一枚質地均勻的紀念幣的試驗，得到的結果如下表所示：拋擲次數m5001000150020002500300040005000“正面向上”的次數n26551279310341306155820832598“正面向上”的頻率nm0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.521下面有4個推斷：①當拋擲次數是1000時，“正面向上”的頻率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②隨著試驗次數的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“正面向上”的概率是0.520；③若再次做隨機拋擲該紀念幣的試驗，所以當拋擲次數為3000時，出現“正面向上”的次數不一定是1558次；④表格空白處的數值是0.520．其中合理推斷的序號是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【考點13等可能事件的概率】【例13】（24-25七年級·遼寧鞍山·期末）任意擲一枚均勻的正方體骰子，“偶數點朝上”發生的概率為．【變式13-1】（24-25七年級·浙江杭州·期末）一個箱子里有7個白球，2個紅球，1個黑球，它們除顏色外其余均相同．從箱子里任意摸出一個球是紅球的概率為（

）A．710 B．15 C．110【變式13-2】（24-25七年級·陜西安康·期末）校長陪餐制度深受學生家長的認可，一天午餐時，張校長已經坐在了④號座位，學生甲在①～③號座位中隨機選擇一個座位就坐，則學生甲恰好坐在張校長正對面的概率為（

）A．12 B．13 C．14【變式13-3】（24-25七年級·安徽安慶·專題練習）初三學生小明為表達對母校的感情，用大小和形狀都完全一樣的正方體按照一定規律排放了一組圖案（如圖所示），每個圖案中他只在最下面的正方體上寫“心”字，寓意“不忘初心”．其中第（1）個圖案中有1個正方體，第（2）個圖案中有3個正方體，第（3）個圖案中有6個正方體，…．按照此規律，從第（70）個圖案所需正方體中隨機抽取一個正方體，抽到帶“心”字正方體的概率是．【壓軸篇】【考點14冪的運算的逆用】【例14】（24-25七年級·湖北武漢·階段練習）若am=20，bn=20，ab=20，則m+nmn=【變式14-1】（24-25七年級·四川巴中·期中）已知2x+2?3x+2=【變式14-2】（24-25七年級·安徽滁州·期中）已知x=2（1）若x=m2，則自然數m=（2）若x+2n是一個完全平方數，則自然數n=【變式14-3】（24-25七年級·浙江溫州·期中）已知整數a、b、c、d滿足a＜b＜c＜d且【考點15多項式乘積不含某項求字母的值】【例15】（24-25七年級·湖北武漢·期中）如圖，一個長方形被分成四塊：兩個小長方形，面積分別為S1，S2，兩個小正方形，面積分別為S3，S4，若2S1－S2的值與AB的長度無關，則S3與S4之間的關系是.【變式15-1】（24-25七年級·福建泉州·期末）對于多項式x?a，x?b，x?c，x?d（a，b，c，d是常數），若x?a與x?b的積減去x?c與x?d的積，其差為常數，則a，b，c，d應滿足的關系是（

）A．a+b=?c?d B．a?b=c?dC．a+b=c+d D．ab=cd【變式15-2】（24-25七年級·四川巴中·期中）若(x2+nx+3)(x2?3x+m)的展開式中不含x【變式15-3】（24-25七年級·安徽淮北·期中）［知識回顧]有這樣一類題：代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值；通常的解題方法；把x，y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，即［理解應用](1)若關于x的多項式(2m?3)x+2m2?3m的值與x(2)已知3(2x+1)(x?1)?x(1?3y)+6(?x2+xy?1)(3)（能力提升）如圖1，小長方形紙片的長為a、寬為b，有7張圖1中的紙片按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，設右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1-S【考點16多項式乘多項式與圖形面積】【例16】（24-25七年級·云南迪慶·期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式．(1)【知識探究】如圖1，是用長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個小長方形，然后按照圖2拼成一個正方形，可以得到(a?b)2、(a+b)2、(2)【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖3，觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式_______________；若a+b=6，ab=7，求a3(3)【拓展探究】如圖4，兩個正方形ABCD、CEFG的邊長分別為x，yx>y若這兩個正方形的面積之和為34，且BE=8【變式16-1】（24-25七年級·北京·期中）長方形窗戶ABCD（如圖1），是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．當遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當下面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．(1)求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數式表示）(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25【變式16-2】（24-25七年級·福建福州·期中）我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數形結合思想在解決數學問題，理解數學本質上發揮著重要的作用．在一節數學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘．情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；情境一

情境二乙同學用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數量；情境二

情境三丙同學聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個面積為2a你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形．（要求：所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬）．【變式16-3】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）八年級數學老師在集體備課中，發現利用“面積法”說明整式的乘法有助于學生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），(1)在一節課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積法”可以得出的整式乘法關系式為______(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時則給同學們發了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），并要求同學們用2張A，1張B和3張C拼成一個長方形，請你在框1中畫出對應的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關系式補充完整；框1(_______)(_______)=2(3)小朱老師在設計本單元的階梯作業時，給出如圖2所示的示意圖，請結合圖例，在橫線上添加適當的式子，使等式成立；______+______=2(4)小威老師在培優群中布置了一道思考題：已知a+b2+a?b【考點17整式乘法中的規律性問題】【例17】（24-25七年級·四川眉山·期中）觀察下列各式：(x?1)(x+1)=x(x?1)(x(x?1)(x…根據規律計算：22022?2A．22023?23 B．2【變式17-1】（24-25七年級·廣西南寧·期中）閱讀：在計算x?1x(1)【觀察】①x?1x+1②x?1x③x?1x(2)【猜想】由此可得：x?1x(3)【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：52024【變式17-2】（24-25七年級·廣東湛江·期末）觀察并驗證下列等式：131313(1)續寫等式：13(2)我們已經知道1+2+3+???+n=12n(n+1)(3)利用（2）中得到的結論計算：33【變式17-3】（24-25七年級·河南商丘·期末）日歷與人們日常生活密切相關，日歷中蘊含著豐富的數學問題.如圖，在2025年1月份的日歷中，兩個長方形中四個角上的數字交叉相乘，再相減，例如7×20?6×21=________，11×16?9×18=________，不難發現，結果都是________．2025年1月(1)完成上面的填空．(2)請你再選擇兩個類似的長方形框試一試，看看是否符合這個規律．(3)若設每個方框的左上角數字設為n，請你利用整式的運算對以上的規律加以證明．【考點18整式乘法中的恒成立問題】【例18】（24-25七年級·上海·期中）m、n為正整數，如果?amnA．m必為奇數 B．n必為奇數C．m、n必同為奇數 D．m、n必同為偶數【變式18-1】（24-25七年級·安徽安慶·階段練習）若不論x為何值時，等式x2x+a+4x?3b=2x2+5x+6恒成立，則a=【變式18-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）若規定a、b兩數之間滿足一種運算：記作a,b．即：若ac=b，則a,b=c．我們叫這樣的數對稱為“一青一對”．例如:因為3（1）計算(4,2)+(4,3)=()；（2）在正整數指數冪的范圍內，若(42x?4,54k)≥(4,5)恒成立，且【變式18-3】（24-25七年級·浙江寧波·期末）對x，y定義一種新運算F，規定：F(x，y)=(mx+ny)(3x?y)（其中m，n均為非零常數）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(?1,0)=3m．當F(1,?1)=?8，F(1,2)=13，則F(x,y)=；當x2≠y2時，F(x，y)=F(y，x)對任意有理數x，y都成立，則m，n滿足的關系式是【考點19相交線中的角度計算】【例19】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，直線AB與直線CD交點O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．(1)如圖1，求證：OC平分∠BOF；(2)如圖2，OG，OP，OK，在直線AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，【變式19-1】（24-25七年級·江蘇南京·期末）已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD平分∠BOC．(1)如圖①，若∠AOB=80°，則∠BOC=______°，∠AOD=______°．(2)如圖②，若∠AOB=140°，求∠AOD的度數；(3)若∠AOB=n°，直接寫出∠AOD的度數（用含n的代數式表示），及相應的n的取值范圍．【變式19-2】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．(1)求∠AOD的度數；(2)作射線OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE(3)在（2）的條件下，作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內部，且∠DOF＝3∠BOH，直接寫出∠AOH的度數．【變式19-3】（24-25七年級·云南曲靖·期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內部．(1)①當OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數；②當OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數量關系．【考點20平行線中的折疊問題】【例20】（24-25七年級·浙江臺州·期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應點為C′，D′，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應點為A′

(1)若C′、D′在直線AD的上方，當α=50°且滿足C′(2)在（1）的條件下，猜想直線EF和GH的位置關系，并證明(3)在點G，H運動的過程中，若C′H∥B′【變式20-1】（24-25七年級·北京·期中）學習了平行線后，小龍同學想出了“過已知直線m外一點P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的（如圖（1）～（4））．請你觀察圖（1）～（4），完成下面的填空題和選擇題．第一次折疊后（如圖（2）所示），得到的折痕AB與直線m之間的位置關系是____________；將正方形紙展開，再進行第二次折疊（如圖（3）所示），得到的折痕CD與第一次折痕之間的位置關系是______；再將正方形紙展開（如圖（4）所示），可得第二次折痕CD所在的直線即為過點P的已知直線m的平行線．從圖中可知，小明畫平行線的依據有（

）①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內錯角相等：③同位角相等，兩直線平行；

④內錯角相等，兩直線平行．A．①②

B．②③

C．③④

D．①④【變式20-2】（24-25七年級·山西晉中·期中）綜合與實踐折紙是一門古老而有趣的藝術，小明在課余時間進行了關于折紙中角的問題的探索．初步探索（1）如圖1，四邊形紙片ABCD中，AB∥DC,BC∥AD,∠C=100°，點E是線段DC上一點，將紙片ABCD沿BE折疊，點C的對應點為點C′，測得∠EBC′=20°，求深入探究（2）如圖2，小明將紙片換成一張長方形紙片ABCD（∠A=∠B=∠C=∠D=90°），點E，F分別是線段AD，BC上的一點，他先將紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為點A′,B′，A′B′與線段AD交于點G，點H是線段DC上一點，再將紙片沿GH折疊，點D的對應點為點D′，使得點【變式20-3】（24-25七年級·廣西南寧·期中）綜合與實踐——折紙中的數學：我們在七年級上冊第四章《幾何圖形初步》中探究了簡單圖形折疊問題，并進行了簡單的計算與推理．七年級下冊第五章學習了平行線的性質與判定后，我們進行了長方形紙條的折疊與平行線的探究，今天我們繼續探究——折紙與平行線．如圖1，長方形紙條ABMN中，AB∥MN，AN∥BM．第一步，將長方形紙條折疊，使折痕經過點A，得到折痕AC，再將紙片展平；第二步，如圖2，將折痕AC折到AE處，點B落在B′處；第三步，如圖3，將∠NED對折，使點M落在M′處，點N落在N′處，(1)如圖2：①若∠CDA=36°，則∠B②若∠CDA=α，則∠B′EN=(2)如圖2，AC和DE有怎樣的位置關系，并說明理由．(3)如圖3，折痕AD和EF有怎樣的位置關系，請說明理由．【考點21平行線中的拐點問題】【例21】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，AB∥CD，∠EAF=2∠FAB，∠ECF=2∠FCD，∠AFC=16°，則∠AEC的度數為．【變式21-1】（24-25七年級·四川南充·期中）如圖，已知AB∥CD，∠PAQ=2∠BAQ，∠PCD=3∠QCD，∠AQC=98°，則∠P=．【變式21-2】（24-25七年級·湖北恩施·期中）如圖，若∠BAP=90°?α，∠APD=90°+α，且∠BAE=∠CPF，∠E=12α+20°，∠F=2α?10°，則【變式21-3】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）[問題情境]在綜合實踐課上，老師組織班上的同學開展了探究兩角之間數量關系的數學活動，如圖1，已知直線AB∥CD，點E、G分別為直線AB、CD上的點，點F是平面內任意一點，連接EF、GF．[探索發現]（1）當∠F=60°時，求證：∠AEF+∠FGC=60°；[拓展探究]（2）如圖2點P、Q分別是直線CD上的點，且∠PFQ=∠EFG=90°，直線MN∥FG，交FQ于點K，“智勝小組”探究∠FKN與∠PFE之間的數量關系．請寫出它們的關系，并說明理由．【考點22探究角度之間的關系】【例22】（24-25七年級·湖南永州·期中）已知，AB∥CD，點E為射線(1)如圖1，若∠EAF=25°，∠EDG=45°，則∠AED=．(2)如圖2，當點E在FG延長線上時，此時CD與AE交于點H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關系，并說明理由．(3)如圖3，當點E在FG延長線上時，DP平分∠EDC，且∠EAP:∠BAP=1:2，∠AED=32°，∠P=30°，求∠EKD的度數并說明理由．【變式22-1】（24-25七年級·福建福州·期中）已知直線EF∥MN，點A、B分別為EF，MN上的動點，且BD平分∠CBN交EF于(1)如圖1，若∠FDB=110°，∠EAC=60°，①直接寫出∠DBN的度數；②求∠MBC與∠ACB的度數．(2)如圖2，延長AC交直線MN于G，GH平分∠AGB交DB于點H，寫出∠ACB與∠GHB的關系，并說明理由．【變式22-2】（24-25七年級·福建福州·期中）如圖，已知AB∥CD，CH平分∠BCD交AB于E點，點F是CH上一動點（點F在

(1)如圖1，當AF∥CB時，若∠BCE=3(2)如圖2，當AF⊥CE時，判斷∠A與∠B數量上有何關系？并說明理由；(3)若∠A=α°，∠ABC=β°，分別作∠AFC和∠ABC的平分線FG和BG且交于點G，如圖3，求出∠MGB的度數（用含α°和β°的式子表示）．【變式22-3】（24-25七年級·江蘇·期末）如圖①，已知直線l1∥l2，且l3和l1，l2分別相交于A，B兩點，l4和l1，l2分別交于C，D兩點，(1)若∠1=22°，∠2=33°，則∠3=．(2)試找出∠1，∠2，∠3之間的等量關系，并說明理由；(3)應用（2）中的結論解答以下問題：如圖②，點A在B處北偏東40°的方向上，在C處的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度數；(4)如果點P在直線l3上且在A，B兩點外側運動時，其他條件不變，試探究∠1，∠2，∠3之間的關系（點P和A，B【考點23平行線中的旋轉問題】【例23】（24-25七年級·江蘇徐州·期末）如圖，把一副三角板如圖1擺放，∠B=60°,∠D=45°，點C在邊OA上，將圖中的△AOB繞點O按每秒3°的速度沿順時針方向勻速旋轉一周，在旋轉的過程中，旋轉的時間為t秒．(1)如圖2，求當t為多少秒時，AB∥(2)如圖3，當t=___________秒時，AB∥【變式23-1】（24-25七年級·河北石家莊·期中）為美化我市夜景，在兩棟樓體上安置了兩座可旋轉探照燈．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射，若燈A轉動的速度是每秒2°，燈B轉動的速度是每秒1°．假定兩棟樓的墻面是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．(1)填空：∠BAN=°；(2)若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線第一次到達BQ之前，求A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行．(3)若兩燈同時開始轉動，兩燈射出的光束交于點C，在燈B射線第一次到達BQ之前，直接寫出轉動的時間為多少秒時，∠ACB=90°．【變式23-2】（24-25七年級·貴州遵義·期中）今年春節期間，為了營造節日氛圍，各地紛紛上演各種“燈光秀”．“燈光秀”為了強化燈光效果，某地在河的兩岸安置了可旋轉探照燈．如圖1，燈A射線AE自AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線BF自BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射．若燈A轉動的速度是3°/秒，燈B轉動的速度是1°/秒，兩燈同時轉動，轉動時間為t秒，假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．(1)∠EAN=______°（用含t的式子表示）；(2)當t=55時，求∠BCA的度數；(3)如圖2，在燈A射線已轉過AB但未到達AN時．若兩燈射出的光束交于點C，過C作CD⊥AC交PQ于點D，在轉動過程中，∠BCD:【變式23-3】（24-25七年級·浙江·期末）將一塊三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°）按如圖①所示放置在銳角∠POQ=α內，使直角邊BC落在OQ邊上．現將三角板ABC繞點B逆時針以每秒m°的速度旋轉t秒（直角邊BC旋轉到如圖②所示的位置），過點A作MN∥OQ交射線OP于點M，AD平分∠MAB，且在旋轉過程中，當t=3秒時，AB⊥OQ．(1)求m的值；(2)當t=4秒時，求∠NAC的度數；(3)在某一時刻，當BC∥OP時，試求出∠ADO與α之間的數量關系．【考點24平行線中的多結論問題】【例24】（24-25七年級·四川眉山·期末）已知直線AB∥CD，點P在直線AB,?CD之間，連接AP,①如圖1，若∠APC=α，∠PAB=β，則∠PCD=360°?α?β；②如圖2，點Q在AB,?CD之間，當∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，則③如圖2，點Q在AB,?CD之間，當∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，則④如圖3，∠PAB的角平分線交CD于M，且AM∥PC，點N在直線AB,CD之間，連接CN,MN，∠PCN=n∠NCD，∠AMN=1n∠NMD，n>1，則∠P和∠N的關系為∠N∠P=n?1A．1 B．2 C．3 D．4【變式24-1】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點E在BA延長線上，EC與AD交于點F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，點M是線段CB上的一動點，點N是線段MB上一點且滿足∠MNF=∠MFN，FK平分∠EFM．下列結論：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式24-2】（24-25七年級·山東威海·期中）如下圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結論：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=1

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【變式24-3】（24-25七年級·重慶云陽·期中）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內部有射線GM，GM平分∠

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點25新定義問題】【例25】（24-25七年級·北京房山·期末）在平面內，對于∠P和∠Q，給出如下定義：若存在一個常數tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，則稱∠Q是∠P的“t系數補角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，則∠Q

(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，(2)在平面內，AB∥CD，點E為直線AB上一點，點F為直線①如圖1，點G為平面內一點，連接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系數補角”，求②如圖2，連接EF．若H為平面內一動點（點H不在直線AB，CD，EF上），∠EFH與∠FEH兩個角的平分線交于點M．若∠BEH=α，∠DFH=β，∠N是∠EMF的“2系數補角”，直接寫出∠N的大小的所有情況（用含【變式25-1】（24-25七年級·四川成都·期末）定義一種新運算，對任意數a，b，a△b=a2+b?3，例如：2△1=(1)設A=x△m?2x（①已知關于x的方程A=m?1x②已知A與B為關于x的多項式，B=2△x，n的值滿足2n+2?2n+1=8(2)如果數對a,b滿足a△b=2b△2a，我們稱數對a,b為“嘉幸數”，已知數對2,m與1,n均為“嘉幸數”，求代數式4m+n【變式25-2】（24-25七年級·浙江寧波·期末）對x，y定義一種新運算F，規定：F(x，y)=(mx+ny)(3x?y)（其中m，n均為非零常數）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(?1,0)=3m．當F(1,?1)=?8，F(1,2)=13，則F(x,y)=；當x2≠y2時，F(x，y)=F(y，x)對任意有理數x，y都成立，則m，n【變式25-3】（24-25七年級·江蘇鹽城·期中）定義：若∠α、∠β是同旁內角，并且∠α,∠β滿足∠β=∠α+20°，則稱∠β是∠α的內聯角．(1)如圖1，已知∠β是∠α的內聯角．①當∠α=60°時，∠β=_____°；②當直線l1∥l(2)如圖2，已知∠β是∠α的內聯角，點O是線段GH上一定點．①∠DHG是∠BGH的內聯角嗎？請說明理由；②過點O的直線分別交直線CD、AB于點P、Q，若∠α=60°且∠EOP是圖中某個角的內聯角．請直接寫出∠EOP是哪個角的內聯角，以及此時∠EOP的度數．【考點26閱讀理解類問題】【例26】（24-25七年級·北京豐臺·期末）閱讀下列材料：如圖，點P是線段AB，CD所在直線之間的一點，且AB∥CD，連接PA，AC．小馬同學通過觀察，度量，提出猜想：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．接著他時猜想進行了證明，證明思路是：如圖1，過點P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD．根據平行線的性質，可得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，從而得證∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．請你參考小馬同學的證明思路，完成下列問題(1)如圖2，點P是線段AB，CD所在直線上方的一點，且AB∥CD，連接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之間的數量關系，并說明理由；(2)在（1）的條件下，∠BAP和∠PCD的角平分線所在直線交于點M．在圖3中補全圖形，用等式表示∠AMC與∠APC之間的數量關系．【變式26-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）閱讀理解題閱讀材料：

兩個兩位數相乘，如果這兩個因數的十位數字相同，個位數字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個因數的十位數字與另一個因數的十位數字加1的和相乘，所得的積作為計算結果的前兩位，將兩個因數的個位數字之積作為計算結果的后兩位（數位不足兩位，用0補齊）．

比如47×43，它們乘積的前兩位是4×4+1=20，它們乘積的后兩位是7×3=21，所以

再如62×68，它們乘積的前兩位是6×6+1=42，它們乘積的后兩位是2×8=16，所以

又如21×29，2×2+1=6，不足兩位，就將6寫在百位：1×9=9

該速算方法可以用我們所學的整式乘法與分解因式的知識說明其合理性；

設其中一個因數的十位數字為a，個位數字是b，（a、b表示1~9的整數），則該數可表示為10a+b，另一因數可表示為10a+10?b

兩數相乘可得：(10a+b)[10a+(10?b)]=100=100=100=100a(a+1)+b(10?b).（注：其中aa+1表示計算結果的前兩位，b問題：

兩個兩位數相乘，如果其中一個因數的十位數字與個位數字相同，另一因數的十位數字與個位數字之和是10．

如44×73、77×28、55×64等．（1）探索該類乘法的速算方法，請以44×73為例寫出你的計算步驟；（2）設十位數字與個位數字相同的因數的十位數字是a，則該數可以表示為___________．設另一個因數的十位數字是b，則該數可以表示為___________．（a、b表示1~9的正整數）（3）請針對問題（1）（2）中的計算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：100aa+1【變式26-2】（24-25七年級·山東濟南·期末）【概念學習】一個含有多個字母的代數式中，任意交換其中兩個字母的位置，當字母的取值均不相等，且都不為0時，代數式的值不變，這樣的式子叫作對稱式．【特例感知】代數式m+n+p中任意兩個字母交換位置，可得到代數式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因為n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是對稱式．而交換式子m?n中字母m，n的位置，得到代數式n?m，因為m?n≠n?m，所以m?n不是對稱式．【問題解決】閱讀以上材料，解答下面的問題：(1)下列代數式中是對稱式的有_____(填序號)①2②?2③?2④m?n(2)若關于m，n的代數式km?n2+k(3)在(2)的條件下，已知上述對稱式km?n2+km2【變式26-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）閱讀下列材料，并完成相應任務．如圖1，物理學中把經過入射點O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角．在反射現象中，反射角等于入射角．因為法線ON垂直于反射面，且反射角r=入射角i，所以∠1=∠2(依據)．利用這個規律，人們制造了潛望鏡，圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB，CD是平面鏡，m是射入潛望鏡的光線，n是經平面鏡兩次反射后離開潛望鏡的光線，在反射現象中，蘊含了豐富的數學道理．

任務：(1)上述材料中的“依據”指的是______；如圖2，若入射光線m與反射光線n平行，則AB與CD的位置關系是______．(2)改變兩面平面鏡AB，CD之間的位置關系，經過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關系會隨之改變．如圖3，將平面鏡AB與CD在B處相接，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且∠1=48°，求∠6的度數．

期中易錯題壓軸題專項復習【26大題型】（考試范圍：第1~3章）【北師大版2025】TOC\o"1-3"\h\u【易錯篇】 2【考點1冪的運算】 2【考點2單項式乘單項式】 3【考點3單項式乘多項式】 5【考點4多項式乘多項式】 7【考點5完全平方公式】 10【考點6平方差公式】 12【考點7對頂角、鄰補角、三線八角】 14【考點8兩條直線垂直】 18【考點9平行線的判定與性質】 20【考點10平行線之間的距離】 23【考點11可能性的大小】 26【考點12利用頻率估計概率】 27【考點13等可能事件的概率】 30【壓軸篇】 32【考點14冪的運算的逆用】 32【考點15多項式乘積不含某項求字母的值】 34【考點16多項式乘多項式與圖形面積】 37【考點17整式乘法中的規律性問題】 45【考點18整式乘法中的恒成立問題】 50【考點19相交線中的角度計算】 52【考點20平行線中的折疊問題】 63【考點21平行線中的拐點問題】 70【考點22探究角度之間的關系】 75【考點23平行線中的旋轉問題】 84【考點24平行線中的多結論問題】 90【考點25新定義問題】 98【考點26閱讀理解類問題】 108【易錯篇】【考點1冪的運算】【例1】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算?452024A．4 B．?4 C．5 D．?5【答案】A【分析】本題主要考查積的乘方，同底數冪相乘，解答的關鍵是掌握積的乘方，同底數冪相乘法則的逆用．先逆用同底數冪相乘將?452024【詳解】解：?===1×=1×=4．故選：A．【變式1-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習）下列計算正確的是（

）A．a5?aC．x2+x【答案】D【分析】本題考查了同底數冪的乘除法運算，積的乘方，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵．根據運算法則逐一運算判斷即可．【詳解】解：A：a5B：?5aC：x2D：?m故選：D．【變式1-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a?3b+1=0，則32×3【答案】3【分析】本題考查了代數式求值，同底數冪乘除法，冪的乘方的逆運算，掌握相關運算法則是解題關鍵．由題意可得4a?3b=?1，再將32×3【詳解】解：∵4a?3b+1=0，∴4a?3b=?1，∴3故答案為：3．【變式1-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a【答案】9【分析】本題考查了同底數冪除法的逆運算，積的乘方的逆運算，由同底數冪除法的逆運算可得24a?3b【詳解】解：24a?3b故答案為：94【考點2單項式乘單項式】【例2】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設xm?1yn+2?xA．?18 B．?12 【答案】A【分析】本題主要考查了單項式乘單項式、一元一次方程的應用等知識點，熟練掌握同底數冪的乘法法則是解題關鍵．先根據單項式乘單項式法則列出關于m、n的方程，進而求得m、n的值，最后代入計算即可．【詳解】解：∵xm?1∴6m?1=5,n+4=7，解得：m=1,n=3，∴?1故選：A．【變式2-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：?2a2b3?【答案】?a【分析】先化簡，再把a=2，b=1代入求解即可．【詳解】解：原式=?2a當a=2，b=1時，原式=?a【點睛】本題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是正確的化簡．【變式2-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2??【答案】2【分析】先把左邊根據單項式的乘法法則化簡，再與右邊比較，求出m、n的值，然后代入m+n計算即可.【詳解】∵am+1∴?a∴m+2n=32m+n+2=5解之得m=1n=1∴m+n=1+1=2.【點睛】本題考查了單項式的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據題意列出關于m、n的二元一次方程組是解答本題的關鍵.【變式2-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方厘米．【答案】480【分析】（1）根據正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等可得②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，進而計算即可；（2）觀察圖形，②號長方形紙片的寬為①號長方形紙片的寬的2倍，②號長方形紙片的長的3倍是①號長方形紙片的長，進而計算即可．【詳解】解：（1）由圖知，②號長方形紙片的寬為2×2=4（厘米），故答案為：4；（2）設①長方形紙片的長為a，寬為b，則ab=40，由圖知，②長方形紙片的長為13a，寬為∴②號長方形紙片的面積是13故答案為：803【點睛】本題考查整式的乘法運算的應用，利用圖形，正確列出式子是解答的關鍵．【考點3單項式乘多項式】【例3】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為．【答案】1：3【分析】根據題意和圖形，設BC的長為x，則可以表示出左上角與右下角的陰影部分的面積的差，然后再根據左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，即可得到b：a的值．【詳解】設BC的長為x，左上角與右下角的陰影部分的面積的差為：（x﹣a）?3b﹣（x﹣4b）?a＝3bx﹣3ab﹣ax+4ab＝（3b﹣a）x+ab，∵左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，∴3b﹣a＝0，解得a=3b，∴b：a=1：3故答案為：1：3．【點睛】本題考查整式的加減，關鍵是表示出兩個陰影部分的面積，并能正確進行整式的加減運算．【變式3-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x?2b=x2【答案】0【分析】將等式左邊按照單項式乘以多項式，再合并同類項，整理后形式和等式右邊一致，即可求出a，b的值，代入求值即可求出答案．【詳解】解：根據題意可得：∵等式左邊=x∴x2∴a+3=5,?2b=4，解得：a=2,b=?2，∴a+b=2+?2故答案為：0【點睛】本題主要考查的是整式的運算，掌握單項式與多項式的乘法運算，合并同類項即可求出結果，也是解題的關鍵．【變式3-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習時，發現了這樣一道題：“?2x2（3x﹣■+1）＝?6x【答案】2y【分析】利用多項式除以單項式法則計算?6x【詳解】解：∵?6=?6=3x?2y即?2x∴“■”中的一項是2y．故答案為：2y．【點睛】此題考查了單項式乘多項式和多項式除以單項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．【變式3-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學子餐廳Wi?Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數是【答案】70【分析】本題考查了數字類規律探索、單項式乘多項式的應用，正確發現一般規律是解題關鍵．先根據已知等式找出規律，再設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，據此求出ab+c【詳解】解：由第1個等式可知，15=5×3，10=5×2，25=5×3+2由第2個等式可知，18=9×2，36=9×4，54=9×2+4由第3個等式可知，48=8×6，24=8×3，72=8×6+3由第4個等式可知，14=7×2，35=7×5，49=7×2+5設等式左邊三個數分別為a,b,c，則ab=28，ac=42，所以被隱藏的兩位數是ab+c故答案為：70．【考點4多項式乘多項式】【例4】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（）A．2張 B．3張 C．4張 D．5張【答案】D【分析】本題考查了多項式乘多項式的應用、單項式除以單項式的應用，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關鍵．根據多項式乘多項式法則求出拼成的長方形的面積，從而可得所用的B類卡片的總面積，由此即可得．【詳解】解：由題意得：拼成的長方形的面積為：2a+b=2=2a∵1張B類卡片的面積為ab，∴需要B類卡片的張數為5ab÷ab故選：D．【變式4-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（

）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了整式乘法和加減的運用，由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，分別求出新長方形和原長方形的面積，再用作差法比較即可求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，新長方形的長為m+7米，寬為m+2米，∴新長方形的面積為m+7m+2原長方形的面積為m+6m+3∵m2∴與原來相比，這塊土地的面積變小了，故選：C．【變式4-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a?4b?2a+b【答案】?b2【分析】本題考查了整式的乘法，求代數式的值，同類項的定義；先按照整式乘法法則展開，再合并同類項，得?b2?2a2?2，結合單項式xa+3y與【詳解】解：1=ab?2=ab?2=ab?2=?b∵xa+3y與∴a+3=1，b=1，即a=?2，∴?b【變式4-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發現規律：我們發現，x+px+q=x2+運用規律(1)如果x+3x?5=x2+mx+n(2)如果x+ax+b①求a?3b?3②求1a【答案】(1)?2，?15(2)①?2；②13【分析】（1）根據多項式的乘法法則計算即可求解；（2）①由多項式的乘法法則可得a+b=3，ab=?2，再把值代入a?3b?3本題考查了分式的求值，整式的運算，掌握分式和整式的運算法則是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵x+3x?5∴m=3+?5=?2，故答案為：?2，?15；（2）解：①∵x+ax+b∴a+b=3，ab=?2，∴a?3=ab?3a?3b+9=ab?3=?2?3×3+9=?2；②1=====13【考點5完全平方公式】【例5】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+bA．4 B．?4 C．8 D．?8【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應用，偶次方的非負性等，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵．先將a2+b2+c2=2a?4b+6c?14變形化為【詳解】解：∵a2∴aa?12∵a?12∴a?1=0,b+2=0,c?3=0，解得：a=1,b=?2,c=3，∴abc故選：D．【變式5-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關于x的整式9x2?2m?1x+【答案】2或?1【分析】本題考查完全平方式，根據9x2?【詳解】解：∵9x∴9x∴2m?1=±2×3×1∴m=2或m=?1；故答案為：2或?1．【變式5-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數，且滿足x2+y2【答案】2或4【分析】本題考查了完全平方公式，代數式求值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關鍵．先根據完全平方公式變形，再結合x，y是自然數討論即可．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴x?22∵x，y是自然數，∴x?22=0y?12=1或∴x?2=0，y?1=1，或x?2=0，y?1=?1，x?2=1，y?1=0，或x?2=?1，y?1=0，．當x?2=0，y?1=1，時，解得：x=2，y=2，x+y=2+2=4，當x?2=0，y?1=?1，時，解得：x=2，y=0，x+y=2+0=2，當x?2=1，y?1=0，時，解得：x=3，y=1，x+y=3+1=4，當x?2=?1，y?1=0，時，解得：x=1，y=1，x+y=1+1=2，故答案為：2或4．【變式5-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x?2023)2+(x?2025)2=24A．12 B．11 C．13 D．10【答案】B【分析】本題考查完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵，根據題意巧妙構造(x?2024)2【詳解】解：已知(x?2023)2則[(x?2024)+1]2那么(x?2024)2整理得：2(x?2024)則(x?2024)2故選：B．【考點6平方差公式】【例6】（24-25七年級·河南新鄉·期中）某同學在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4?1后，發現可以連續運用兩數和乘以這兩數差公式計算：3(4+1)(4【答案】2【分析】本題考查平方差公式，將原式乘以2×1?【詳解】解：1+=2×=2×=2?=2，故答案為：2．【變式6-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．x+yx+y2 C．x+y?x?y D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的運用，根據整式乘法及平方差公式逐項判斷即可求解，掌握平方差公式的結構特點是解題的關鍵．【詳解】解：A、x+yx+yB、x+yy?xC、x+y?x?yD、?x+yy?x故選：B．【變式6-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1mA．變小 B．變大 C．沒有變化 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，用代數式表示變化前后的面積是正確解答的前提．用代數式表示變化前后的面積，比較得出答案．【詳解】解：由題意得正方形跳遠沙池的面積為a2m2因為a2所以沙池的面積會變小．故選：A．【變式6-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結合的連接方式——榫卯（sǔnmǎo）結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a?bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm

【答案】3【分析】本題考查了整式混合運算和平方差公式的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵；根據零部件體積=（長方形的面積?和小正方形的面積）×零件的高，列式，然后運用整式混合運算法則和平方差公式即可解答．【詳解】由題意得，這個零部件的體積是a=a=a=3答：這個零件體積為3a【考點7對頂角、鄰補角、三線八角】【例7】（24-25七年級·河北秦皇島·期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發生了折射，如圖所示，由科學實驗知道，∠1=∠2，∠4<∠3，下列結論正確的是（

）

A．∠1與∠2是對頂角 B．∠4與∠3是對頂角C．∠3=∠5 D．∠4=∠5【答案】C【分析】本題主要考查了對頂角的定義、余角的定義等知識點，掌握對頂角和余角的定義成為解題的關鍵．根據對頂角的性質可判定A、B選項，再根據余角的定義可判定C、D選項．【詳解】解：由對頂角的定義可知∠1和∠2不是對頂角，∠3和∠4也不是對頂角，即A、B選項不符合題意；∵∠1=∠2，∠3=90°?∠1,∠5=90°?∠2，∴∠3=∠5，即C選項符合題意；∵∠4<∠3，∴∠4<∠5，即D選項不符合題意．故選C．【變式7-1】（24-25七年級·廣東河源·階段練習）如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內角；③∠4與∠1是內錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方的角，這樣的兩個角稱為同位角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的兩側，這樣的一對角叫做內錯角；兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在被截兩條直線之間，并且在第三條直線的同側，這樣的一對角叫做同旁內角，進行判斷即可．【詳解】解：①由同位角的概念得出：∠A與∠1是同位角，正確；②由同旁內角的概念得出：∠A與∠B是同旁內角，正確；③由內錯角的概念得出：∠4與∠1不是內錯角，錯誤；④由內錯角的概念得出：∠1與∠3是內錯角，錯誤．故正確的有2個，是①②，故選：A．【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的定義，理解和掌握同位角、內錯角、同旁內角的意義是正確判斷的前提．【變式7-2】（24-25七年級·河南南陽·期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB，垂足為O，OF平分∠BOD，若∠AOC+∠DOF=39°，則∠EOF的度數為．【答案】77°/77度【分析】本題考查了對頂角相等，與角平分線有關的計算，垂線的定義．先由OF平分∠BOD，以及∠AOC+∠DOF=39°，求得∠DOF=13°，再利用垂線的性質求得∠EOF=77°，據此求解即可．【詳解】解：∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∵∠AOC+∠DOF=39°，∠AOC=∠BOD∵∠DOF=∠BOF=1∵OE⊥AB∴∠BOE=90°，∴∠EOF=90°?∠FOB=90°?13°=77°，故答案為：77°．【變式7-3】（24-25七年級·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線AB與CD相交于點O，OE、OF分別是(1)∠DOE的補角是；(2)若∠BOD=62°，求∠AOE和∠DOF的度數．【答案】(1)∠AOE或∠COE(2)∠AOE=149°，∠DOF=59°【分析】本題主要考查了鄰補角、角平分線、幾何圖形中角度計算等知識，弄清圖形中各角的關系是解題關鍵．（1）根據角平分線的定義可得∠DOE=∠BOE，再根據補角的定義結合圖形找出答案即可；（2）根據角平分線的定義計算即可求出∠BOE，然后根據補角的和等于180°列式計算即可求出∠AOE的值，先求出∠AOD的值，再根據角平分線的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵OE是∠BOD的平分線，由角平分線的性質可得∠DOE=∠BOE，又∵∠BOE＋∠AOE=180°，∴∠DOE＋∴∠DOE的補角是∠AOE或∠COE．故答案為：∠AOE或∠COE；（2）由題意可得∠BOE=1∴∠AOE=180°?31°=149°，∵∠BOD=62°，∴∠AOD=180°?62°=118°，∵OF是∠AOD的平分線，∴∠DOF=1【考點8兩條直線垂直】【例8】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（

）A．線段PC的長是點C到直線PA的距離B．線段AC的長是點A到直線PC的距離C．PA、PB、PC三條線段中，PB最短D．線段PB的長是點P到直線a的距離【答案】B【分析】本題考查了點到直線的距離，垂線段最短，掌握直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離是解題的關鍵．根據點到直線的距離判斷A、B、D選項；根據垂線段最短判斷C選項．【詳解】解：A、線段PC的長是點C到直線PA的距離，故選項A正確，不合題意；B、應是線段AP的長是點A到直線PC的距離，而不是AC，故選項B不正確，符合題意；C、PA、PB、PC三條線段中，垂線段最短，即PB最短，選項C正確，不合題意；D、線段PB的長是點P到直線a的距離，選項D正確，不合題意；故選：B．【變式8-1】（24-25七年級·河南南陽·期末）數學源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項中能用“垂線段最短”來解釋的現象是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質，根據垂線段最短，線段的性質分別判斷即可．熟記垂線段最短是解題的關鍵．【詳解】解：A、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數學常識為兩點之間，線段最短，故該選項不符合題意；B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；C、測量跳遠成績是求腳后跟到起跳線的距離，數學常識為垂線段最短，故該選項符合題意；D、兩釘子固定木條，數學常識為兩點確定一條直線，故該選項不符合題意；故選：C．【變式8-2】（24-25七年級·湖北宜昌·期末）如圖，點A，B，C是直線l上的三點，點P在直線l外，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm，PB=6cm，PC=5cm，則點P到直線l的距離是

【答案】4【分析】本題考查了點到直線的距離的定義．根據點到直線的距離的定義，直線外一點到直線的垂線段長度叫做點到直線的距離，判斷PA=4cm是點P到直線l【詳解】解：∵直線外一點到直線的垂線段長度叫做點到直線的距離，PA⊥l，垂足為A，PA=4cm∴點P到直線l的距離是4cm故答案為：4．【變式8-3】（24-25七年級·河南鄭州·期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【答案】D【分析】本題考查了垂線，平角的知識，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．根據垂直定義可得：∠BOE=90°，然后利用平角定義進行計算，即可解答．【詳解】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠DOB=43°