第8章整式乘法與因式分解【3大考點10種題型】【滬科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應用】 4【題型3利用整式的乘法求字母的值】 6【題型4運用冪的乘方比較大小】 7【考點2乘法公式】 8【題型5利用乘法公式化簡求值】 8【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 9【題型7乘法公式的整體應用】 9【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】 9【考點3因式分解】 10【題型9利用因式分解求代數式的值】 12【題型10因式分解與三角形知識的綜合應用】 12【考點1整式的乘法】1．同底數冪的乘法一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數）．（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．5．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．6．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．7．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．8．零指數冪的性質零指數冪的性質：同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如am÷am，根據除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．于是規定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數的0次冪都等于1．【注意】（1）底數a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．9．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．10．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1整式的化簡求值】【方法總結】首先依據整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據冪的運算性質計算,要注意底數和指數的變化特點.【例1】（2024·河北唐山·三模）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當a=?2A．÷ B．× C．＋ D．－【變式1-1】（24-25八年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【變式1-2】（24-25八年級·重慶北碚·期中）已知實數a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【變式1-3】（24-25八年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數，我們規定符號abcd(1)計算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當a2?3a+1=0時，求【題型2整式乘法的應用】【例2】（24-25八年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x【變式2-1】（24-25八年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現代化商業、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業．如圖，在園區內有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現規劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【變式2-2】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【變式2-3】（24-25八年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數式表示區域①、區域②的面積；(3)當a=12，b=【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關于x的多項式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m【變式3-1】（24-25八年級·山東濟南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【變式3-2】（24-25八年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯了a的符號，得到的結果是5x【變式3-3】（24-25八年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：12x+4(2x+5)(3x?6)的結果是一個多項式，并且最高次項為：12x?2x?3x=3x3請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算x+23x+1（2）若計算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【題型4運用冪的乘方比較大小】【例4】（24-25八年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大小：若a=255，b=344，c=533，則【變式4-1】（24-25八年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：（1）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【變式4-2】（24-25八年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【變式4-3】（24-25八年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：______；A．同底數冪的乘法

B．同底數冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【考點2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數或單項式，也可以是多項式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結】解題時要注意分析算式的結構特征,符合“兩個數的和與這兩個數的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（24-25八年級·吉林長春·階段練習）已知a+b=3，ab=?1．求代數式下列代數式的值：①a2+b【變式5-1】（24-25八年級·貴州畢節·期中）已知(x+1x)【變式5-2】（24-25八年級·湖南永州·階段練習）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【變式5-3】（24-25八年級·貴州畢節·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（24-25八年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【變式6-1】（24-25八年級·廣東深圳·階段練習）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【變式6-2】（24-25八年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【變式6-3】（24-25八年級·湖北·階段練習）計算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【題型7乘法公式的整體應用】【例7】（24-25八年級·甘肅張掖·階段練習）計算：a+b?c2=【變式7-1】（24-25八年級·上海青浦·期中）計算：2a?b+3c?2a?b?3c=【變式7-2】（24-25八年級·上海·階段練習）計算：a+b?2c【變式7-3】（24-25八年級·上海寶山·期中）計算：a?2b?c2【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】【例8】（24-25八年級·四川成都·期中）如果一個正整數能夠表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”．因為3=22?12，5=32【變式8-1】（24-25八年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：第1個等式：(2×1+1)2第2個等式：(2×2+1)2第3個等式：(2×3+1)2第4個等式：(2×4+1)2按照以上規律．解決下列問題：（1）第5個等式為：；（2）若第n個等式為t2=(17×32+1)2【變式8-2】（24-25八年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：a?ba?ba?b………這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．請你猜想：a?ba2023【變式8-3】（24-25八年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了a+bnn=121a+b11a+b121a+b1331a+b14641a+b4根據上述規律，x+36展開式中含x4項的系數為【考點3因式分解】1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．【注意】（1）因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數與字母的積，不需要再分解因式；（2）因式分解的結果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式；（3）因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．（2）怎樣確定公因式（五看）：一看系數：若各項系數都是整數，應提取各項系數的最大公因數；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數：各相同字母的指數取指數最低的；四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開；五看首項符號：若多項式中首項符號是“-”，則公因式的符號一般為負．（3）提公因式法的定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（4）提公因式法分解因式的一般步驟：①確定公因式：先確定系數，再確定字母和字母的指數；②提公因式并確定另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．【注意】（1）多項式的公因式提取要徹底，當一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括號內的項數應與原多項式的項數一樣．（3）若多項式首項系數為負數時，通常要提出負因數．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得語言敘述：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積．（2）特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；②等號右邊是兩個數的和與這兩個數的差的積．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得，語言敘述：兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方．（2）特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數（或兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可．②等號右邊是這兩個數（或兩個式子）的和（或差)的平方．當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方．（3）公式法的定義：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【題型9利用因式分解求代數式的值】【例9】（24-25八年級·四川內江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，則代數式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【變式9-1】（24-25八年級·河北保定·期末）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?8a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x閱讀以上材料，解決下列問題．(1)分解因式：a2(2)當a為何值時，二次三項式a2【變式9-2】（2024·福建廈門·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），則多項式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能為（

）A．﹣1 B．0 C．716 D．【變式9-3】（24-25八年級·重慶璧山·階段練習）一個各數位均不相等且不為0的四位自然數M=abcd，若滿足a+c=b+d，則稱這個四位數為“明德數”．例如：四位數3256，∵3+5=2+6，∴3256是“明德數”．若abcd是一個“明德數”，則這個數的最小值為；若M=abcd是一個“明德數”，abcd9為整數，ab?cd【題型10因式分解與三角形知識的綜合應用】【例10】（24-25八年級·貴州銅仁·期中）閱讀材料：把形如ax2+bx+c例如：①我們可以將代數式a2+6a+10=a∵a+3∴a+3因此，該式有最小值1．②已知：a2+b2+c2(1)按照上述方法，將代數式x2+8x+20變形為(2)若p=x2+2x+6(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2【變式10-1】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）閱讀材料：若m2?2mn+2n2?8n+16=0解：∵m∴((m?n)2∴(m?n)2=0∴m=n=4．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)a2?2a+1+b2=0(2)已知x2+2y(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足2a2+【變式10-2】（24-25八年級·安徽安慶·階段練習）閱讀材料：若m2?2mn+2n2?8n+16=0∵m∴m∴m?n=0,n?4=0，∴n=4,m=4．根據你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2+2xy+2y(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足a2+b【變式10-3】（24-25八年級·全國·課后作業）已知等腰三角形ABC的三邊長a、b、c均為整數，且滿足a+bc+b+ca=24，則這樣的三角形共有個．

第8章整式乘法與因式分解【3大考點10種題型】【滬科版2025】TOC\o"1-3"\h\u【考點1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應用】 7【題型3利用整式的乘法求字母的值】 10【題型4運用冪的乘方比較大小】 14【考點2乘法公式】 17【題型5利用乘法公式化簡求值】 17【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 20【題型7乘法公式的整體應用】 22【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】 23【考點3因式分解】 26【題型9利用因式分解求代數式的值】 28【題型10因式分解與三角形知識的綜合應用】 32【考點1整式的乘法】1．同底數冪的乘法一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【拓展】（1）同底數冪的乘法法則的推廣：三個或三個以上同底數冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數）．（2）同底數冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如（a5）3是三個a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數a與任意正整數m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數不變，指數相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數a，b與任意正整數n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項式與單項式相乘法則：一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式．（1）只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里，注意不要把這個因式遺漏．（2）單項式與單項式相乘的乘法法則對于三個及以上的單項式相乘同樣適用．（3）單項式乘單項式的結果仍然是單項式．【注意】（1）積的系數等于各項系數的積，應先確定積的符號，再計算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算．5．單項式與多項式相乘法則：一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項式）．【注意】（1）單項式與多項式相乘，結果是一個多項式，其項數與因式中多項式的項數相同，可以以此來檢驗在運算中是否漏乘某些項．（2）計算時要注意符號問題，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號．（3）對于混合運算，應注意運算順序，有同類項必須合并，從而得到最簡結果．6．多項式與多項式相乘（1）法則：一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘時，要按一定的順序進行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個多項式中的每一項與第二個多項式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項式乘多項式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運用多項式乘法法則時，必須做到不重不漏．積．7．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．8．零指數冪的性質零指數冪的性質：同底數冪相除，如果被除式的指數等于除式的指數，例如am÷am，根據除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數冪的除法來計算，又有am÷am=am-m=a0．于是規定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數的0次冪都等于1．【注意】（1）底數a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數a可以是不為零的單頂式或多項式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認為a0=0．9．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．10．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【題型1整式的化簡求值】【方法總結】首先依據整式的混合運算順序和運算法則進行化簡,然后代入求值.對于冪的運算問題,首先要判斷出冪的運算類型,然后根據冪的運算性質計算,要注意底數和指數的變化特點.【例1】（2024·河北唐山·三模）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運算符號中的某一個．當A．÷ B．× C．＋ D．－【答案】B【分析】根據四個選項，依次代入原式，進行化簡求值，即可得到答案．【詳解】解：A．若◆所表示的符號為÷，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab÷2ab=B．若◆所表示的符號為×，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab×2ab=C．若◆所表示的符號為＋，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab+2ab=D．若◆所表示的符號為－，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab?2ab=故選：B．【點睛】本題考查了整式的混合運算，理清運算順序，正確進行相關計算是解題的關鍵．【變式1-1】（24-25八年級·黑龍江綏化·階段練習）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【答案】（1）?2x3?4x2+2x，【分析】本題考查整式的化簡求值：（1）先根據乘法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；（2）先根據乘除法法則計算，再合并同類項化到最簡，最后代入求解即可得到答案；【詳解】解：（1）原式==?2x當x=1時，原式=?2×=?4；（2）原式=4=4a當a=?2，b=1時，∴原式=4×(?2)=16+4=20．【變式1-2】（24-25八年級·重慶北碚·期中）已知實數a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【答案】20【分析】本題考查因式分解的應用、整式的乘法、代數式求值，解答的關鍵利用整體思想求解．先求得ay+bx=5，再將所求代數式因式分解，轉化為求ax+byay+bx【詳解】解：∵a+b=x+y=3，∴a+bx+y=ax+ay+bx+by=9∵ax+by=4，∴ay+bx=5，a==ax==4×5=20，故答案為：20．【變式1-3】（24-25八年級·江蘇蘇州·階段練習）對于任何實數，我們規定符號abcd(1)計算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當a2?3a+1=0時，求【答案】(1)16(2)x1=0(3)1【分析】本題考查了新定義下的實數運算，涉及整式的混合運算，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）根據新定義，進行有理數的混合運算；（2）根據新定義，得到一元二次方程，再用因式分解法求解；（3）根據新定義，進行整式的混合運算，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，0.2?3故答案為：16；（2）解：由xx+1?22x化簡得：2x解得：x1=0，（3）解：a+1==?2=?2a∵a∴a2∴?2a即a+13a【題型2整式乘法的應用】【例2】（24-25八年級·福建泉州·階段練習）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現要在鐵盒的各個外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費x元，則涂漆這個鐵盒需要多少錢（用含x【答案】(1)40(2)涂漆這個鐵盒需要40x【分析】此題考查了多項式乘多項式的應用．（1）根據長方形的面積等于長乘寬表示出原長方形鐵皮的面積即可；（2）根據原長方形鐵皮的面積減去四個小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價即可得到結果．【詳解】（1）原鐵皮的面積是8x+65x+6（2）油漆這個鐵盒的表面積是：40x則油漆這個鐵盒需要的錢數是：40x所以涂漆這個鐵盒需要40x【變式2-1】（24-25八年級·山西太原·階段練習）位于太原市三給片區的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現代化商業、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業．如圖，在園區內有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現規劃將陰影部分進行綠化，中間預留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【答案】(1)7ab+3b(2)5400元【分析】本題考查整式運算的實際應用，代數式求值：（1）用長方形的面積減去正方形的面積，即可；（2）將a=3,b=2代入（1）中的結果，求值后，再乘以單價即可．【詳解】（1）解：S===3（2）當a=3,b=2時，7ab+3b54×100=5400（元）．【變式2-2】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【答案】A【分析】根據題中已知線段長度，結合圖形，數形結合表示出陰影部分面積，按要求求差即可得到答案．【詳解】解：∵兩個正方形的邊長分別為a和b（a>b），且長方形中邊AB、AD的長度分別為∴在圖1中，S1在圖2中，S2∴S1∵m?n=3，∴S1故選：A．【點睛】本題考查求陰影部分面積關系，數形結合，準確表示出陰影部分面積是解決問題的關鍵．【變式2-3】（24-25八年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分為空白區域①和空白區域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數式表示區域①、區域②的面積；(3)當a=12，b=【答案】(1)2a+b，b+a(2)43a(3)73【分析】本題考查了整式乘法的應用，找到圖中的線段間的關系是解題的關鍵．（1）線段AD為2個小長方形的寬加1個小長方形的長，線段AB為1個小長方形的寬加1個小長方形的長，列出式子并化簡即可；（2）區域①的面積為長DE，寬EF的長方形的面積減去一個邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；區域②的面積：長為小長方形紙片的長，寬為GH的長方形的面積加上一個邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；（3）將兩式相減化簡后，將值代入即可得出答案．【詳解】（1）∵小長方形紙片寬為a，長為b∴AD=2a+b，AB=b+a故答案為：2a+b，b+a；（2）由圖可知，ED=a+b，EH=b，FG=a∵EH=EF+FG+GH，EF=2GH∴b=3GH+a∴GH=∴區域①的面積為：2a+b=2=區域②的面積為：b?a3（3）由（2）知，區域①的面積為：43a∴區域①、區域②的面積的差為：4==當a=12，b=9【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結】當多項式的乘積中不含某一項時,說明將多項式的乘積化簡合并后該項的系數為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個多項式M與N的和為常數，則稱M與N互為“組合多項式”，這個常數稱為它們的“組合數”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項式中，互為“組合多項式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關于x的多項式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數”能為0嗎？若能，請求出m【答案】(1)②③(2)3(3)能，m=1，n=7【分析】本題主要考查了整式四則混合運算、求代數式值，準確理解新定義是解題的關鍵．（1）運用題目中的定義進行逐一計算、辨別；（2）先運用題目中的定義求得m，n的值，再代入求解；（3）先求C+D得，?6+mn?mx+7m?mn【詳解】（1）∵3x2?2+3∴①組多項式不是互為“組合多項式”；∵x?9+?x+8=?1，∴②組多項式是互為“組合多項式”；∵?5xy③組多項式是互為“組合多項式”，故答案為：②③（2）(x?m)=x=1+n∵A=(x?m)2與B=nx2+4x+n∴1+n=0，4?2m=0，m2解得：n=?1，m=2，∴m它們的“組合數”為3；（3）能為0，理由如下：∵C=?mx2?6x+7m∴C+D=?m=?m=?mx=若C和D的“組合數”能為0，∴?6+mn?m=0解得：m=1n=7【變式3-1】（24-25八年級·山東濟南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查了整式的運算，正確化簡M?N+P是解本題的關鍵．先求出M?N+P=a+3x2+5，再根據取值與【詳解】解：∵M=x2?ax，N=?x∴M?N+P==?=a+3∵M?N+P的值與x的取值無關，∴a+3=0，解得：a=?3，故選：A．【變式3-2】（24-25八年級·山西臨汾·期中）甲同學計算一道關于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯了a的符號，得到的結果是5x【答案】a=?5，b=±4，5x【分析】本題考查了整式的混合運算，先利用整式的混合運算法則進行化簡，得5x2+4ax+a2【詳解】解：(2x+a)=4=4=5=5x∴4a=?20，a2∴a=?5，b=±4，(2x?a)=5=5x【變式3-3】（24-25八年級·湖南長沙·階段練習）好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發現：12x+4(2x+5)(3x?6)的結果是一個多項式，并且最高次項為：12x?2x?3x=3x3請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算x+23x+1（2）若計算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【答案】（1）-11；（2）a=?3；（3）2021．【分析】根據題意可得出結論多項式和多項式相乘所得結果的一次項系數是每個多項式的一次項系數分別乘以其他多項式的常數項后相加所得．（1）(x+2)(3x+1)(5x?3)中每個多項式的一次項系數分別是1、3、5，常數項分別是2、1、-3，再根據結論即可求出(x+2)(3x+1)(5x?3)所得多項式的一次項系數．（2）(x2+x+1)(x2?3x+a)(2x?1)中每個多項式的一次項系數分別是1、-3、2，常數項分別是1、a、-1，再根據（3）(x+1)2021中每個多項式一次項系數為1，常數項系數也為1，a2020為(x+1)2021所得多項式的一次項系數．所以根據結論a【詳解】（1）根據題意可知(x+2)(3x+1)(5x?3)的一次項系數為：1×1×(?3)+3×(?3)×2+5×2×1=?11．故答案為-11．（2）根據題意可知(x1×a×(?1)+(?3)×1×(?1)+2×1×a=a+3∵該多項式不含一次項，即一次項系數為0，∴a+3=0解得a=?3．（3）根據題意可知a2020即為(x+1)∴a2020故答案為2021【點睛】本題考查多項式乘多項式以及對多項式中一次項系數的理解，根據題意找出多項式乘多項式所得結果的一次項系數與多項式乘多項式中每個多項式的一次項系數和常數項關系規律是解題關鍵．【題型4運用冪的乘方比較大小】【例4】（24-25八年級·廣東佛山·期中）冪的運算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大小：若a=255，b=344，c=533，則【答案】(1)m=2(2)a<b<c【分析】（1）利用冪的乘方及同底數冪的乘法的逆運算求解．（2）將a、b、c化簡為相同的指數進行比較大小．【詳解】（1）解：∵3∴∴3∴m+2m+3m=12∴6m=12解得：m=2（2）解：∵a=b=c=∵32<81<125∴32∴a<b<c【點睛】此題考查了冪的計算法則及拓展應用，解題的關鍵是正確運用計算法則及逆運算．【變式4-1】（24-25八年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大小：（1）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【答案】（1a>b>c;(2)255<622<【分析】（1）根據冪的乘方公式，化為底數是3的形式進行比較；（2）根據冪的乘方公式，化為指數是11的形式進行比較；（3）用求商法比較大小；（4）由(?2)234【詳解】（1)因為a=(34)31=3(2)因為255=(25)11=3211，(3)因為PQ=99(4)因為(?2)234=(【點睛】考核知識點：冪的乘方運用.靈活運用冪的運算性質比較數的大小.【變式4-2】（24-25八年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【答案】a>c>b【分析】本題主要考查了有理數比較大小，冪的乘方的逆運算，冪的乘方計算，先根據冪的乘方和冪的乘方的逆運算法則得到a=393，【詳解】解：∵a=2731，∴a=3331∵393∴a>c>b，故答案為：a>c>b．【變式4-3】（24-25八年級·湖南·階段練習）在學習了“冪的運算法則”后，經常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數相同的形式，另一種是將冪化為指數相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運算性質：______；A．同底數冪的乘法

B．同底數冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【答案】(1)C(2)27(3)2(4)a=b+2c【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運算和冪的乘方運算，同底數冪乘法計算：（1）根據冪的乘方的逆運算法則判斷即可；（2）根據冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到815=320，（3）根據冪的乘方計算法則及其逆運算法則得到2100=16（4）根據324=4×9×9得到5a=5b?【詳解】（1）解：由題意得，上述求解過程中，逆用了冪的乘方計算法則，故答案為：C；（2）解：∵815=345=3∴278（3）解：∵2100=2425∴2100（4）解：∵5a=324，5b=4，∴5a∴5a∴5a∴a=b+2c．【考點2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差．這個公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數．②右邊是相同項的平方減去相反項的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數或單項式，也可以是多項式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個數的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的平方，二者僅有一個“符號”不同；右邊都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的平方，中間一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅有一個“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結】解題時要注意分析算式的結構特征,符合“兩個數的和與這兩個數的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（24-25八年級·吉林長春·階段練習）已知a+b=3，ab=?1．求代數式下列代數式的值：①a2+b【答案】①11；②±【分析】本題考查了完全平方公式的變形應用，掌握完全平方公式及其變形形式是解題的關鍵．①由完全平方公式得a2②先求出(a?b)2【詳解】解：①∵(a+b)2∴a2②(a?b)2∴a?b=±13【變式5-1】（24-25八年級·貴州畢節·期中）已知(x+1x)【答案】23【分析】本題考查了運用完全平方公式變形求值，先運用完全平方公式將(x+1x)【詳解】∵(x+即x2∴x【變式5-2】（24-25八年級·湖南永州·階段練習）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【答案】(1)?(2)15【分析】本題考查野運用完全平方公式求代數式的值，熟練運用完全平方公式是正確解決本題的關鍵．（1）根據完全平方公式，即可解答．（2）根據完全平方公式，即可解答．【詳解】（1）解：由x?y2=6，∴x2x2①?②得：xy=?3（2）解，由x?y2=6，∴x2x2①+②得：2xx2∴x2+【變式5-3】（24-25八年級·貴州畢節·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【答案】（1）a2+（2）x2+（3）5【分析】本題考查的是利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題的關鍵．（1）利用完全平方公式變形，計算即可．（2）利用完全平方公式變形，計算即可．（3）利用完全平方公式變形，計算即可．【詳解】解：（1）∵a+b=6，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a2+∴(a?b)（2）∵(x+y)2=4∴x2+2xy+①+②，得2x∴x①?②，得4xy=?2，∴xy=?1（3）∵x+1∴x+∴x∴x∴x?【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（24-25八年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【答案】x<?3【分析】此題主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題的關鍵，先根據完全平方公式，平方差公式去括號化簡，再按照一元一次不等式的解法求解即可．【詳解】解：2x+32x?3444?2x>3x<?3【變式6-1】（24-25八年級·廣東深圳·階段練習）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】本題考查整式運算，涉及解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握、運用整式運算法則．（1）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．（2）利用多項式乘以多項式化簡，再按照解方程步驟即可得解．【詳解】（1）解：去括號，得x2移項，合并同類項，得2x=10．系數化為1，得x=5．（2）∵(x?1)(x+8)?x(x+3)=0，∴x∴4x=8，∴x=2．【變式6-2】（24-25八年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【答案】x≤【分析】先利用完全平方公式與平方差公式將不等式化簡為一元一次不等式，然后按照去分母、去括號、移項、合并、系數化為1的步驟求解即可．【詳解】解：將原不等式變形為：4即：203去分母，得20x?75≤3移項合并，得20x≤78系數化為1，得x≤39故不等式的解集為：x≤39【點睛】此題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握利用乘法公式化簡計算以及熟悉解一元一次不等式的方法步驟是解答此題的關鍵．【變式6-3】（24-25八年級·湖北·階段練習）計算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【答案】(1)x=1(2)x<【分析】本題主要考查整式的乘法運算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）方程整理后，移項合并，把x系數化為1，即可求出解；（2）不等式整理后，移項合并，把x系數化為1，即可求出解集．【詳解】（1）解：3x?26?4x?9x?5x+6x=?5?1?6?12x=?12x=1；（2）3x?19?6x?4x>?13?2?10x>?15x<【題型7乘法公式的整體應用】【例7】（24-25八年級·甘肅張掖·階段練習）計算：a+b?c2=【答案】a【分析】本題主要考查完全平方公式，運用完全平方公式將括號展開即可．【詳解】解：a+b?c===a故答案為：a2【變式7-1】（24-25八年級·上海青浦·期中）計算：2a?b+3c?2a?b?3c=【答案】b【分析】本題考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式展開即可得到結果，能熟練理解和靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．【詳解】原式=?b+=?b=b=b故答案為：b【變式7-2】（24-25八年級·上海·階段練習）計算：a+b?2c【答案】a【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式變形為a+b?2c【詳解】解：a+b?2c====a【變式7-3】（24-25八年級·上海寶山·期中）計算：a?2b?c2【答案】3a【分析】本題考查了整式的混合運算，原式利用完全平方公式，以及平方差公式計算即可求出值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：a?2b?c====3a【題型8利用乘法公式解決規律探究問題】【例8】（24-25八年級·四川成都·期中）如果一個正整數能夠表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”．因為3=22?12，5=32【答案】1516【分析】本題考查了新定義“智慧數”以及平方差公式的運用；分別考慮奇數、4的倍數的數，及被4除余2與3的數；設兩個數分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數，即(k+1)2?k【詳解】解：對于相鄰兩個自然數k+1，k，其中k≥1，且由于(k+1)2?k因而k+1和k?1就是兩個自然數，表明大于1的奇數都是“智慧數”；對于兩個自然數k+1，k?1，其中k≥1，且則(k+1)2對于4k+2的自然數，下面證明它不是“智慧數”；若它是“智慧數”，則必有m、n，滿足4k+2=m當m、n奇偶性不同時，m+n，m?n都是奇數，其積也是奇數，但上式左邊是偶數，矛盾，即4k+2不是“智慧數”；綜上知，所有正整數中，1、4及4k+2(k≥0)不是“智慧數”外，其余都是“智慧數”；則“智慧數”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前兩個3與5外，其余都是3個一組的連續整數，且中間一個數為4的倍數，且2024所在的組三個數為：2023，2024，2025，而2022則不是“智慧數”，由于2022=4×505+2，即從2開始到2022，形如4k+2(k≥0)的數共有506個數不是“智慧數”，去掉1與4兩個，共有508個數不是“智慧數”，故2024是第2024?506?2=1516個“智慧數”；故答案為：1516．【變式8-1】（24-25八年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：第1個等式：(2×1+1)2第2個等式：(2×2+1)2第3個等式：(2×3+1)2第4個等式：(2×4+1)2按照以上規律．解決下列問題：（1）第5個等式為：；（2）若第n個等式為t2=(17×32+1)2【答案】2×5+12=【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數的變化規律即可解答；（2）第n個等式為2n+12=(n+1)?2n+1【詳解】解：（1）觀察第1至第4個等式中相同位置數的變化規律，可知第5個等式為：2×5+12故答案為：2×5+12（2）第n個等式為2n+12證明如下：等式左邊：2n+12等式右邊：(n+1)?2n+1===4n故等式2n+12∵t2∴t=±33；故答案為：±33．【點睛】本題考查整式規律探索，發現所給數據的規律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵．【變式8-2】（24-25八年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：a?ba?ba?b………這些等式反映出多項式乘法的某種運算規律．請你猜想：a?ba2023【答案】a【分析】本題考查了平方差公式、數字的變化類，根據所列式子所反映的規律得出答案即可，發現規律是解此題的關鍵．【詳解】解：∵a?ba?ba?b………∴a?ba故答案為：a2024【變式8-3】（24-25八年級·河南南陽·階段練習）我國南宋數學家楊輝用“三角形”解釋二項和的乘方的展開式各系數規律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了a+bnn=121a+b11a+b121a+b1331a+b14641a+b4根據上述規律，x+36展開式中含x4項的系數為【答案】135【分析】本題考查整式的混合運算、楊輝三角等知識，首先確定x4是展開式中第三項，先求出a+b6的第三項的系數，再把a=x，【詳解】解：∵x4是x+3且a+b2第三項系數為1，字母為aa+b3第三項系數為3=1+2，字母為aa+b4第三項系數為6=1+2+3，字母為a∴a+b6第三項系數為1+2+3+4+5=15，字母為a當a=x，b=3時a+b6=x+36第三項系數為即x+36展開式中含x4項為故答案為：135．【考點3因式分解】1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．【注意】（1）因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數與字母的積，不需要再分解因式；（2）因式分解的結果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成冪的形式；（3）因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式．（2）怎樣確定公因式（五看）：一看系數：若各項系數都是整數，應提取各項系數的最大公因數；二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；三看字母的指數：各相同字母的指數取指數最低的；四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開；五看首項符號：若多項式中首項符號是“-”，則公因式的符號一般為負．（3）提公因式法的定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（4）提公因式法分解因式的一般步驟：①確定公因式：先確定系數，再確定字母和字母的指數；②提公因式并確定另一個因式；③把多項式寫成這兩個因式的積的形式．【注意】（1）多項式的公因式提取要徹底，當一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括號內的項數應與原多項式的項數一樣．（3）若多項式首項系數為負數時，通常要提出負因數．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得語言敘述：兩個數的平方差，等于這兩個數的和與這兩個數的差的積．（2）特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；②等號右邊是兩個數的和與這兩個數的差的積．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得，語言敘述：兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方．（2）特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數（或兩個式子）的平方，且這兩項的符號相同，中間一項是這兩個數（或兩個式子）的積的2倍，符號正負均可．②等號右邊是這兩個數（或兩個式子）的和（或差)的平方．當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方．（3）公式法的定義：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【題型9利用因式分解求代數式的值】【例9】（24-25八年級·四川內江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，則代數式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應用，由a，b，c的代數式，求出a?b，a?c，b?c的值，原式利用完全平方公式變形后代入計算即可求出值．【詳解】解：∵a=2019x+2020，b=2019x+2021，c=2019x+2022，∴a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，則a===1當a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1時，原式=1故選：D．【變式9-1】（24-25八年級·河北保定·期末）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項式x2+2ax?8a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x閱讀以上材料，解決下列問題．(1)分解因式：a2(2)當a為何值時，二次三項式a2【答案】(1)a+2(2)當a=?2時，二次三項式a2+4a+5【分析】（1）仿照閱讀例子，加減一個適當的數計算即可；（2）利用配方法，結合實數的非負性，計算即可；本題考查了配方法的應用，因式分解的應用，利用平方差公式、完全平方公式進行因式分解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：原式====a+2（2）解：原式=a=a+2∵a+22∴a+2∴當a=?2時，二次三項式a2+4a+5取得最小值，最小值為【變式9-2】（2024·福建廈門·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），則多項式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能為（

）A．﹣1 B．0 C．716 D．【答案】C【分析】根據因式分解將多項式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，進而可得結果．【詳解】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），∴x﹣2y＝2，∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x），∴x＋2y＝﹣2m，∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2＝4m﹣4m2＝﹣（2m﹣1）2＋1，∵0＜m＜1，∴0＜2m＜2，∴﹣1＜2m﹣1＜1，∴0＜（2m﹣1）2＜1，∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1．故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，不等式的性質等知識，能將已知條件變形和將多項式因式分解是解題關鍵．【變式9-3】（24-25八年級·重慶璧山·階段練習）一個各數位均不相等且不為0的四位自然數M=abcd，若滿足a+c=b+d，則稱這個四位數為“明德數”．例如：四位數3256，∵3+5=2+6，∴3256是“明德數”．若abcd是一個“明德數”，則這個數的最小值為；若M=abcd是一個“明德數”，abcd9為整數，ab?cd【答案】12435346【分析】本題主要考查了新定義，因式分解的應用，要使“明德數”abcd最小，則千位a=1，百位b=2，再根據新定義得到a+c=b+d，可求出a、b、c、d的值，進而可得答案；先求出M=999a+99b