PAGEPAGE1第三節機械能守恒定律(建議用時：35分鐘)一、單項選擇題1．(2024·北京模擬)將一個物體以初動能E0豎直向上拋出，落回地面時物體的動能為eq\f(E0,2).設空氣阻力恒定，假如將它以初動能4E0豎直上拋，則它在上升到最高點的過程中，重力勢能改變了()A．3E0 B．2E0C．1.5E0 D．E0解析：選A.設動能為E0，其初速度為v0，上上升度為h；當動能為4E0，則初速度為2v0，上上升度為h′.由于在上升過程中加速度相同，依據v2＝2gh可知，h′＝4h依據動能定理設摩擦力大小為f，則f×2h＝eq\f(E0,2)，因此f×4h＝E0.因此在升到最高處其重力勢能為3E0，所以答案為A.2.(2024·無錫模擬)如圖所示，斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平面上，現將一小球從圖示位置靜止釋放，不計一切摩擦，則在小球從釋放到落至地面的過程中，下列說法正確的是()A．斜劈對小球的彈力不做功B．斜劈與小球組成的系統機械能守恒C．斜劈的機械能守恒D．小球重力勢能削減量等于斜劈動能的增加量解析：選B.不計一切摩擦，小球下滑時，小球和斜劈組成的系統只有小球的重力做功，小球重力勢能削減量等于斜劈和小球的動能增加量，系統機械能守恒，B正確，C、D錯誤；斜劈對小球的彈力與小球位移間夾角大于90°，故彈力做負功，A錯誤．3．在同一位置以相同的速率把三個小球分別沿水平、斜向上、斜向下方向拋出，不計空氣阻力，則落在同一水平地面時的速度大小()A．一樣大 B．水平拋的最大C．斜向上拋的最大 D．斜向下拋的最大解析：選A.不計空氣阻力的拋體運動，機械能守恒．故以相同的速率向不同的方向拋出落至同一水平地面時，物體速度的大小相等，故只有選項A正確．4.(2024·蘭州模擬)如圖所示，可視為質點的小球A、B用不行伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上半徑為R的光滑圓柱，A的質量為B的兩倍．當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()A．2R B．eq\f(5R,3)C.eq\f(4R,3) D．eq\f(2R,3)解析：選C.設A、B的質量分別為2m、m，當A落到地面上時，B恰好運動到與圓柱軸心等高處，以A、B整體為探討對象，則A、B組成的系統機械能守恒，故有2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B仍以速度v豎直上拋，上升的高度為h＝eq\f(v2,2g)，解得h＝eq\f(1,3)R，故B上升的總高度為R＋h＝eq\f(4,3)R，選項C正確．5.如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環，圓環與水平狀態的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態．現讓圓環由靜止起先下滑，已知彈簧原長為L，圓環下滑到最大距離時彈簧的長度變為2L(未超過彈性限度)，則在圓環下滑到最大距離的過程中()A．圓環的機械能守恒B．彈簧彈性勢能改變了eq\r(3)mgLC．圓環下滑到最大距離時，所受合力為零D．圓環重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變解析：選B.圓環沿桿下滑的過程中，圓環與彈簧組成的系統動能、彈性勢能、重力勢能之和守恒，選項A、D錯誤；彈簧長度為2L時，圓環下落的高度h＝eq\r(3)L，依據機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能增加了ΔEp＝mgh＝eq\r(3)mgL，選項B正確；圓環釋放后，圓環向下先做加速運動，后做減速運動，當速度最大時，合力為零，下滑到最大距離時，具有向上的加速度，合力不為零，選項C錯誤．6．如圖所示，豎直平面內的半圓形光滑軌道，其半徑為R，小球A、B質量分別為mA、mB，A和B之間用一根長為l(l<R)的輕桿相連，從圖示位置由靜止釋放，球和桿只能在同一豎直面內運動，下列說法正確的是()A．若mA<mB，B在右側上升的最大高度與A的起始高度相同B．若mA>mB，B在右側上升的最大高度與A的起始高度相同C．在A下滑過程中輕桿對A做負功，對B做正功D．A在下滑過程中削減的重力勢能等于A與B增加的動能解析：選C.選軌道最低點為零勢能點，依據系統機械能守恒條件可知A和B組成的系統機械能守恒，假如B在右側上升的最大高度與A的起始高度相同，則有mAgh－mBgh＝0，則有mA＝mB，故選項A、B錯誤；小球A下滑、B上升過程中小球B機械能增加，則小球A機械能削減，說明輕桿對A做負功，對B做正功，故選項C正確；A下滑過程中削減的重力勢能等于B上升過程中增加的重力勢能和A與B增加的動能之和，故選項D錯誤．7.如圖所示，粗細勻稱、兩端開口的U形管內裝有同種液體，起先時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流淌，當兩液面高度相等時，右側液面下降的速度為()A．eq\r(\f(1,8)gh) B．eq\r(\f(1,6)gh)C．eq\r(\f(1,4)gh) D．eq\r(\f(1,2)gh)解析：選A.當兩液面高度相等時，削減的重力勢能轉化為整個液體的動能，如解析圖所示，由機械能守恒定律可得eq\f(1,8)mg·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(1,8)gh).二、多項選擇題8.(2024·寧波調研)某消遣項目中，參加者拋出一小球去撞擊觸發器，從而進入下一關．現在將這個消遣項目進行簡化，假設參加者從觸發器的正下方以速率v豎直上拋一小球，小球恰好擊中觸發器．若參加者仍在剛才的拋出點，沿A、B、C、D四個不同的光滑軌道分別以速率v拋出小球，如圖所示．則小球能夠擊中觸發器的可能是()解析：選CD.豎直上拋時小球恰好擊中觸發器，則由－mgh＝0－eq\f(1,2)mv2，h＝2R得v＝2eq\r(gR).沿圖A中軌道以速率v拋出小球，小球沿光滑圓弧內表面做圓周運動，到達最高點的速率應大于或等于eq\r(gR)，所以小球不能到達圓弧最高點，即不能擊中觸發器．沿圖B中軌道以速率v拋出小球，小球沿光滑斜面上滑一段后做斜拋運動，最高點具有水平方向的速度，所以也不能擊中觸發器．圖C及圖D中小球在軌道最高點速度均可以為零，由機械能守恒定律可知小球能夠擊中觸發器．9.(2024·蘇北四市調研)如圖所示，固定在豎直面內的光滑圓環半徑為R，圓環上套有質量分別為m和2m的小球A、B(均可看做質點)，且小球A、B用一長為2R的輕質細桿相連，在小球B從最高點由靜止起先沿圓環下滑至最低點的過程中(已知重力加速度為g)，下列說法正確的是()A．A球增加的機械能等于B球削減的機械能B．A球增加的重力勢能等于B球削減的重力勢能C．A球的最大速度為eq\r(\f(2gR,3))D．細桿對A球做的功為eq\f(8,3)mgR解析：選AD.系統機械能守恒的實質可以理解為是一種機械能的轉移，此題的情景就是A球增加的機械能等于B球削減的機械能，A對，B錯；依據機械能守恒定律有：2mg·2R－mg·2R＝eq\f(1,2)×3mv2，所以A球的最大速度為eq\r(\f(4gR,3))，C錯；依據功能關系，細桿對A球做的功等于A球增加的機械能，即WA＝eq\f(1,2)mv2＋mg·2R＝eq\f(8,3)mgR，故D對．10.把質量是0.2kg的小球放在直立的彈簧上，并把球往下按至A的位置，如圖甲所示．快速松手后，彈簧把球彈起，球升至最高位置C(圖丙)．途中經過位置B時彈簧正好處于自由狀態(圖乙)．已知B、A的高度差為0.1m，C、B的高度差為0.2m，彈簧的質量和空氣阻力都可以忽視，重力加速度g＝10m/s2.則下列說法正確的是()A．小球從A上升至B的過程中，彈簧的彈性勢能始終減小，小球的動能始終增加B．小球從B上升到C的過程中，小球的動能始終減小，勢能始終增加C．小球在位置A時，彈簧的彈性勢能為0.6JD．小球從位置A上升至C的過程中，小球的最大動能為0.4J解析：選BC.小球從A上升到B的過程中，彈簧的形變量越來越小，彈簧的彈性勢能始終減小，小球在A、B之間某處的合力為零，速度最大，對應動能最大，選項A錯誤；小球從B上升到C的過程中，只有重力做功，機械能守恒，動能削減，勢能增加，選項B正確；依據機械能守恒定律，小球在位置A時，彈簧的彈性勢能為Ep＝mghAC＝0.2×10×0.3J＝0.6J，選項C正確；小球在B點時的動能為Ek＝mghBC＝0.4J＜Ekm，選項D錯誤．11．(2024·溫州高三模擬)如圖所示，在豎直平面內半徑為R的四分之一圓弧軌道AB、水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起，斜面足夠長．在圓弧軌道上靜止著N個半徑為r(r?R)的光滑小球(小球無明顯形變)，小球恰好將圓弧軌道鋪滿，從最高點A到最低點B依次標記為1、2、3…、N.現將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走，N個小球由靜止起先沿軌道運動，不計摩擦與空氣阻力，下列說法正確的是()A．N個小球在運動過程中始終不會散開B．第1個小球從A到B過程中機械能守恒C．第1個小球到達B點前第N個小球做勻加速運動D．第1個小球到達最低點的速度v<eq\r(gR)解析：選AD.在下滑的過程中，水平面上的小球要做勻速運動，而曲面上的小球要做加速運動，則后面的小球對前面的小球有向前擠壓的作用，所以小球之間始終相互擠壓，沖上斜面后后面的小球把前面的小球往上壓，所以小球之間始終相互擠壓，故N個小球在運動過程中始終不會散開，故A正確；第一個小球在下落過程中受到擠壓，所以有外力對小球做功，小球的機械能不守恒，故B錯誤；由于小球在下落過程中速度發生改變，相互間的擠壓力改變，所以第N個小球不行能做勻加速運動，故C錯誤；當重心下降eq\f(R,2)時，依據機械能守恒定律得：eq\f(1,2)mv2＝mg·eq\f(R,2)，解得：v＝eq\r(gR)；同樣對整體在AB段時，重心低于eq\f(R,2)，所以第1個小球到達最低點的速度v<eq\r(gR)，故D正確．12.如圖所示，滑塊A、B的質量均為m，A套在固定傾斜直桿上，傾斜直桿與水平面成45°角，B套在固定水平直桿上，兩直桿分別不接觸，兩直桿間的距離忽視不計且桿足夠長，A、B通過鉸鏈用長度為L的剛性輕桿(初始時輕桿與水平面成30°角)連接，A、B從靜止釋放，B沿水平面對右運動，不計一切摩擦，滑塊A、B均視為質點，在運動的過程中，下列說法正確的是()A．當A到達與B同一水平面時vB＝eq\f(\r(2),2)vAB．當A到達與B同一水平面時，B的速度為eq\r(\f(gL,3))C．滑塊B到達最右端時，A的速度為eq\r(2gL)D．滑塊B的最大動能為eq\f(3,2)mgL解析：選ABD.由運動的合成與分解可知，當A到達與B同一水平面時，有vAcos45°＝vB，即vB＝eq\f(\r(2),2)vA，選項A正確；從起先到A到達與B同一水平面的過程中，A、B兩滑塊組成的系統機械能守恒，由機械能守恒定律可得mgLsin30°＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得vB＝eq\r(\f(gL,3))，選項B正確；滑塊B到達最右端時，速度為零，此時輕桿與傾斜直桿垂直，由機械能守恒可得mgL(sin30°＋sin45°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得vA＝eq\r(（1＋\r(2)）gL)，選項C錯誤；由題意可知，當輕桿與水平直桿垂直時B的速度最大，此時A的速度為零，由系統機械能守恒可得mgL(1＋sin30°)＝EkB，解得EkB＝eq\f(3,2)mgL，選項D正確．三、非選擇題13.(2024·青島檢測)一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，用輕質不行伸長的細繩連接的A、B兩球懸掛在圓柱面邊緣兩側，A球質量為B球質量的2倍，現將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖所示．已知A球始終不離開圓柱內表面，且細繩足夠長，若不計一切摩擦，求：(1)A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小；(2)A球沿圓柱內表面運動的最大位移．解析：(1)設A球沿圓柱內表面滑至最低點時速度的大小為v，B球的質量為m，則依據機械能守恒定律有2mgR－eq\r(2)m