鄂爾多斯市第三中學高二年級第二學期第一次月考數學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0,5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊第六章第1節~第2節6.2.2.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一個商店銷售某種型號的電視機，其中本地的產品有4種，外地的產品有7種.要買1臺這種型號的電視機，則不同的選法有（）A.7種 B.11種 C.14種 D.28種【答案】B【解析】【分析】根據分類加法計數原理，計算得解.【詳解】由題意，購買本地產品的選法有4種，購買外地產品的選法有7種，所以購買1臺這種型號的電視機，共有種不同的選法.故選：B.2.已知某質點的位移（單位：）與時間（單位：）滿足函數關系式，則當時，該質點的瞬時速度為（）A.10 B.9 C.8 D.7【答案】A【解析】【分析】即求函數在時的導數值.【詳解】，則.故選：A.3.已知數列是等比數列，若，公比，則的前8項和（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據等比數列的前項和公式求解.【詳解】因為，，所以.故選：A.4已知函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據復合函數的求導法則計算可得結果.【詳解】設，則，∴，即，∴.故選：D.5.中國體育代表團在2024年巴黎奧運會獲得40金27銀24銅共91枚獎牌，金牌數與美國隊并列排名第一?創造了參加境外奧運會的最佳戰績.巴黎奧運會中國內地奧運健兒代表團于8月29日至9月2日訪問香港?澳門.訪問期間，甲?乙?丙3名代表團團員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有（）A.2880種 B.1440種 C.720種 D.360種【答案】B【解析】【分析】先排4名青少年產生5個空位，再把甲?乙?丙插在5個空位即可.【詳解】第一步先排4名青少年共有種排法，第二步把甲?乙?丙插在4名青少年中間有種排法，所以根據分步乘法計數原理共有種排法，故選：B.6.已知函數在定義域內單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求導函數，再應用單調遞增導函數大于等于0，再構造函數求函數最小值，列不等式求參數范圍即可.【詳解】函數定義域為，，因為函數在定義域內單調遞增，所以,所以在恒成立，所以設，所以單調遞減；單調遞增；所以，所以.故選：A.7.已知，，成等比數列，且，，等差數列滿足，，則當數列的前項和取最小值時，的值為（）A.5 B.7 C.6或7 D.5或7【答案】D【解析】【分析】先求出等比數列，，的公比為，進而可得等差數列的公差及通項公式，再判斷出數列的前5項都小于0，從第8項起都大于零點，且第6項為正，第7項為負，第6項與第7項的和為0，即可得答案.【詳解】解：設等比數列，，的公比為,由，，即，解得，由，解得，所以，又因為為等差數列，且，，所以公差，則，所以，當時，；當時，，又因為b6b7b8所以當或時，的前項和最小.故選：D.8.已知點，分別是函數與圖象上的點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】同構變形得到，構造，求導得到單調性，故，則，則，設，求導，得到單調性，故.【詳解】由題意可知，，即，又，，所以，則.設，則，所以在上單調遞增，所以，則，所以，則.設，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則，所以的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數的導函數為，已知函數的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用導函數的圖象正負，進而得到原函數的單調性，最后得到結果即可.詳解】由題意知與軸有三個交點，當時，，當時，，當時，，當時，，則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，故A，C正確；B，D錯誤．故選：AC．10.給出定義：若函數在上可導，即存在，且導函數在上也可導，則稱在上存在二階導函數，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數”．下列函數中在定義域上是“下凸函數”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用導數運算法則計算導函數與二階導函數，根據題目所給定義可確定選項.【詳解】A.定義域為，，，故A正確.B.定義域為，，，故B正確.C.定義域為，，，故C正確.D.定義域為，，，當時，，故D錯誤.故選：ABC.11.已知數列滿足，數列滿足，設中不在中的項按從小到大的順序構成新數列，記的前項和為，則（）A. B.是等比數列C D.【答案】AC【解析】【分析】由的遞推公式可判斷A，由可判斷B，確定數列中含的個數，可判斷CD；【詳解】對于A：由，可得：，所以：，所以，正確，對于B：所以，即是首項為2，公比為2的等比數列，所以，所以則，不是等比數列，錯誤；對于C：數列的第106項為213，又，，，，，，，所以，所以的前項和為，C對，D錯；故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一個火車站有股岔道，如果每股道只能停放列火車，現要停放列不同的火車，共有______________種不同的停放方法.（用數字作答）【答案】【解析】【分析】將列不同的火車放在股岔道中的股，結合排列計數原理可得結果.【詳解】因為一個火車站有股岔道，每股道只能停放列火車，現要停放列不同的火車，則有種不同的停放方法.故答案為：.13.已知為偶函數，曲線在點處的切線與直線垂直，設的導函數為，則______________.【答案】##【解析】【分析】根據題意，由條件可得為奇函數，再由導數的幾何意義代入計算，即可得到結果.【詳解】因為函數為偶函數，所以，兩邊同時求導得，即，由題意可知，，所以，故故答案為：14.近年來，隨著新能源汽車的推廣和智能化趨勢的不斷演進，尤其在新的電子電氣架構下，汽車芯片迎來巨大的市場需求.為了滿足日益增長的市場需求，某芯片生產公司于2022年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的維修費用為20萬元，從第2年到第6年每年維修費用較上一年增加4萬元，從第7年開始每年維修費用較上一年上漲25%.設為第年的維修費用，為前年的平均維修費用，若萬元，則該設備繼續使用，否則從第年起需對設備進行更新，則該設備需更新的年份為______________.【答案】2030【解析】【分析】前6年的維修費用構成等差數列，第6年及之后每年的維修費用構成等比數列，分成兩部分單獨求和，最后逐一計算第年的前年平均維修費用，與40作比較即可.【詳解】設前年的總維修費用為，，，則，，即前6年可繼續使用.當時，，所以，，，則，計算得，，，故從第9年起需對設備進行更新，更新的年份為.故答案為：2030.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數在處有極小值3．（1）求的解析式；（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用極值的性質結合給定條件建立方程，求解參數，并且代入檢驗使其符合題目條件即可.（2）利用導數判斷已知函數的單調性，求出極大值和極小值，再求出邊界端點值，進而求出函數值域即可.【小問1詳解】由題意得函數，則，由題意得，解得當時，，令，解得．則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則是極小值點，符合題意，故．【小問2詳解】由（1）知，則當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增，則當時，函數取得極小值，當時，函數取得極大值，而，故在上的值域為．16.如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點，.（1）證明：平面平面；（2）若是棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先根據及正方形的性質可求，在中利用余弦定理求得，即可證明.再證明，可得，利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，平面的法向量為和，利用向量法即可求解直線與平面所成角.【小問1詳解】證明：因為四邊形為正方形，為的中點，，所以.在中，由余弦定理得，因為，所以，即.因為，所以，所以.又因為平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）得兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，于是.設平面的法向量為，則，即，令，可得.設直線與平面所成的角為，則，解得，故直線與平面所成的角為.17.已知等差數列的前項和為.（1）求證：數列是等差數列；（2）若是遞增數列，，求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知條件求得，通過作差即可求證；（2）通過裂項相消法求和即可求證.【小問1詳解】設等差數列的公差為，則，所以，所以數列是公差為的等差數列.【小問2詳解】由（1）知數列是公差為的等差數列，因為，即，因為，所以，所以，所以得證.18.已知橢圓的左、右頂點分別為，且，橢圓的焦距為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點（不在軸上）是橢圓上不同的兩點．①求直線的斜率之積；②若直線的斜率是直線的斜率的3倍，試判斷直線是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）①；②恒過點．【解析】【分析】（1）根據焦距和求出和，利用求出，得到橢圓方程；（2）①設，則，計算出；②設，若直線的斜率為0，得到，與不在軸上矛盾，不合題意，若直線的斜率不為0，設，聯立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直線恒過點．【小問1詳解】由，得，解得，設橢圓的焦距為，由焦距為4，得，解得，又，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】①由題意，得，設，由在橢圓上，得，即，所以，即直線的斜率之積為．②設，若直線的斜率為0，則關于軸對稱，所以，又直線的斜率是直線的斜率的3倍，所以，即，由不在軸上，得，與矛盾，所以直線的斜率不為0．設直線的方程為，由，得，所以，且，由①知，又，所以，所以，即，化簡，得，將代入上式并化簡，得即，解得或，當時，與矛盾，舍去，當時，滿足所以直線恒過點．【點睛】處理定點問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設為），（2）利用條件找到與過定點的曲線的聯系，得到有關與的等式，（3）所謂定點，是指存在一個特殊的點，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時要將關于與的等式進行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號中式子等于0，求出定點；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數關系，可消去變為常數.19.若對且，函數，滿足：，則稱函數是函數在區間上的級控制函數．（1）判斷函數是否是函數在區間上的1級控制函數，并說明理由；（2）若函數是函數在區間上的級控制函數，求實數的取值范圍；（3）若函數是函數在區間上的級控制函數，且函數在區間上存在兩個零點，求證．【答案】（1）是，理由見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用給定定義判斷并證明即可.（2）利用給定定義結合導數建立不等式，再用分離參數法求解即可.（3）利用給定條件結合換元法轉化為一元不等式的證明問題，利用導數證明不等式即可.【小問1詳解】函數是函數在區間上的1級控制數．理由如下：因為，且，所以，所以，即成立，所以函數是函數在區間上的1級控制函數．【小問2詳解】由函數是函數在區間上的級控制函數，得，又，由指數函數性質得在上單調遞增，所以，