環際大聯考“逐夢計劃”2024～2025學年度第二學期階段考試（一）高二數學試題（試卷總分：150分考試時間：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列1，，，，3，?，按此規律，7是該數列的（）A.第24項 B.第25項 C.第26項 D.第27項【答案】B【解析】【分析】根據數列的前幾項找出數列的通項公式，再令通項公式的值等于，進而求出是該數列的第幾項.【詳解】此數列可寫為：，，，，，?，所以該數列的通項公式為：，，解得，故選：B．2.在等差數列中，，且，則等于（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】設出公差，由題目條件得到方程組，求出首項和公差，得到.【詳解】根據題意，設等差數列公差為，首項為，若，則有，又由，則，解得，，故.故選：C．3.已知等差數列的公差為，若，，成等比數列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數列和等比中項的公式可得答案.【詳解】因為等差數列的公差為，所以，因為，，成等比數列，所以，解得，所以.故選：B4.在數列中，，，則等于（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】通過數列的遞推公式計算數列的前項，可得數列為周期數列，由此可得結果.【詳解】∵，，∴，，，∴數列為周期數列，周期為.∵，∴.故選：C．5.在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.24.5尺 B.25.5尺 C.37.5尺 D.96尺【答案】B【解析】【分析】利用等差數列下標的性質，通過已知的兩個和式來推導出第三個和式的值.【詳解】設這十二個節氣的日影長依次成等差數列，其中冬至的日影長為，由題意可得，冬至、立春、春分日影長之和為，小寒、雨水、清明日影長之和為，大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為，所以．故選：B．6.某網店經銷某商品，為了解該商品的月銷量（單位：千件）與售價（單位：元/件）之間的關系，收集5組數據進行了初步處理，得到如下數表：根據表中的數據可得回歸直線方程，以下說法正確的是（）A.，具有負相關關系，相關系數B.每增加一個單位，平均減少個單位C.第二個樣本點對應的殘差D.第三個樣本點對應的殘差【答案】C【解析】【分析】根據相關系數的絕對值不超過1可得選項A錯誤；根據回歸直線方程可得選項B錯誤；根據殘差的概念可得選項C正確，選項D錯誤.【詳解】A.相關系數的絕對值不超過1，A錯誤；B.由回歸直線方程知，每增加一個單位，平均減少個單位，B錯誤；C.第二個樣本點對應的殘差，C正確；D.第三個樣本點對應的殘差，D錯誤．故選：C.7.已知等差數列的前項和為，若，，則使的最小的的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據條件可得數列為遞減數列，且，，，根據等差數列前項和公式結合等差數列的性質可得結果.【詳解】設等差數列的公差為，∵，，∴數列為遞減數列，∴，，，由得，即，∴，∴使的最小的的值為.故選：D．8.已知是等比數列的前項和，則“，，依次成等差數列”是“，，依次成等差數列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的概念，結合等差數列、等比數列的相關公式可得結果.【詳解】設等比數列的公比為.由，，依次成等差數列，可得，當時，，，，不滿足，故，∴，∵，∴，解得或（舍）．當時，，，∴，即，，依次成等差數列，故充分性成立．由，，依次成等差數列可得，即，由得，解得或，故或．當時，，，，不滿足，故必要性不成立綜上可得，“，，依次成等差數列”是“，，依次成等差數列”的充分不必要條件．故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.國家統計局月日發布數據顯示，年上半年我國經濟運行總體平穩，其中新能源產業依靠持續的技術創新實現較快增長．某企業根據市場調研得到研發投入（億元）與產品收益（億元）的數據統計如下，則下列敘述正確的是（）12345672357889A.，B由散點圖知變量和正相關C.相關系數D.用最小二乘法求得關于的經驗回歸直線方程為【答案】ABC【解析】【分析】根據平均數的概念可得選項A正確；畫出散點圖可得選項B正確；根據變量和正相關可得選項C正確；根據回歸直線過樣本中心點得選項D錯誤.【詳解】A.，，A正確；B.根據表格作出散點圖，因為散點圖的分布從左下到右上，所以和正相關，B正確；C.由選項B可知相關系數，故C正確；D.由題意得，樣本中心點的坐標為，即，回歸直線過點.當時，，故D錯誤.故選：ABC.10.數列的前項和為，已知，則（）A.是遞增數列 B.C.當時， D.當且僅當時，取得最大值【答案】BC【解析】【分析】根據求出數列的通項公式，結合可得選項A錯誤；利用通項公式可得選項B正確；利用通項公式解不等式可得選項C正確；根據二次函數的性質可得選項D錯誤.【詳解】A.當時，，∵，滿足上式，∴，∵，∴是遞減數列，故A錯誤.B.由得，故B正確；C.由得，故C正確；D.∵二次函數圖象開口向下，對稱軸為直線，，∴當或時，取得最大值，故D錯誤.故選：BC.11.已知數列滿足，，則（）A.是等差數列B.的前項和為C.是單調遞增數列D.數列的最小項為【答案】BCD【解析】【分析】由題意可得，則可得的通項公式，再求出并求和即可得A、B；借助的通項公式即可得C；結合基本不等式及其取等條件可得D.【詳解】對A、B：由，得，因為，所以，，?，，從而，所以是首項為1，公比為的等比數列，所以，即，所以，所以，所以A錯誤，B正確；對C：由，易知單調遞增數列，C正確；對D：，當且僅當，即時取等，又為正整數，所以上述不等式等號不成立，故當時，有最小值，D正確.故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數列滿足，，則________．【答案】2【解析】【分析】根據等比數列通項公式判斷的正負，再利用等比中項性質求出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，由等比中項的性質可得，解得．故答案為：2.13.已知數列滿足，若為數列的前項和，則______【答案】626【解析】【分析】根據所給遞推關系式，構造等差數列、等比數列求和，再分組求和即可.【詳解】數列中，，當時，，即數列的奇數項構成等差數列，其首項為1，公差為2，則，當時，，即數列的偶數項構成等比數列，其首項為1，公比為，則，所以.故答案為：62614.已知數列的通項公式，在其相鄰兩項，之間插入個，得到新的數列，記的前項和為，則使成立的的最小值為________．【答案】28【解析】【分析】由題意分析數列的情況，求出和時的值，進而求解即可.【詳解】由題意得數列的前項依次為：1，2個3，3，個3，7，個3，15，個3，31，??，當時，，當時，，所以使得成立的的最小值為28.故答案為：28.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.15.設為等差數列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最大值及此時的值．【答案】（1）（2），的最大值，此時【解析】【分析】（1）由等差數列的通項公式和前項和公式，通過已知條件求出公差，進而得到通項公式和前項和公式；（2）根據前項和公式的函數特點求出其最大值.【小問1詳解】設等差數列的公差為，因為，．所以，解得，所以的通項公式是．【小問2詳解】當且僅當時，的最大值為16．16.近年來，解放軍強軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優秀青年學子獻身國防，投身軍營．2024年高考，很多高考畢業學生報考了軍事類院校．從某地區內學校的高三年級中隨機抽取了900名學生，其中男生500人，女生400人，通過調查，有報考軍事類院校意向的男生、女生各100名．（1）完成給出的列聯表；

有報考意向無報考意向合計男學生

女學生

合計

（2）根據獨立性檢驗，判斷是否有90%的把握認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關．參考公式及數據：．α0．250．150．100．050．0250．0100．0050．0011．3232．7062．7063．8415．0246．6357．87910．828【答案】（1）列聯表見解析（2）有90%的把握認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關【解析】【分析】（1）根據已知條件填寫列聯表；（2）根據已知計算，再與臨界值比較判斷即可.【小問1詳解】根據已知條件，填寫列聯表如下：

有報考意向無報考意向合計男學生100400500女學生100300400合計200700900【小問2詳解】，所以有90%的把握認為學生有報考軍事類院校的意愿與性別有關．17.已知數列的前項和為，且，，成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）若求數列的前項和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數列的性質得到的表達式，再通過與的關系求出通項公式；（2）求出，采用錯位相減法求出其前項和.【小問1詳解】∵，，成等差數列，∴，即，當時，當時，，也滿足，∴數列的通項公式為，；【小問2詳解】由（1）得，則數列前項和，，兩式相減可得，化簡可得．18.設數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由可得兩式相減得.利用等比數列的定義求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂項相消法求解即可.【詳解】(1)由可得兩式相減得.又，則.所以，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，故.(2)由(1)已知可得，故其前n項和，化簡可得.【點睛】本題主要考查等差數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.19.對于一個給定的數列，令，則數列稱為數列的一階和數列，再令，則數列是數列的二階和數列，以此類推，可得數列的階和數列．（1）若的二階和數列是等比數列，且，，，，求；（2）若，求的二階和數列的前項和；（3）若是首項為1等差數列，是的一階和數列，且，，求正整數的最大值，以及取最大值時的公差．【答案】（1）（2）（3）的最大值是，公差為【解析】【分析】（1）根據一階和數列的定義可計算出，，的值，根據二階和數列的定義計算出，的值，由的