羅村高中2024-2025學(xué)年下學(xué)期段考一高二數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知等差數(shù)列中，，則等于（）A.13 B.16 C.15 D.14【答案】D【解析】【分析】利用計(jì)算公差，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.【詳解】由得，，故，∴.故選：D.2.在等比數(shù)列中，已知，，則公比（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可求出公比.【詳解】由已知有，所以，從而.故選：D．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】.故選：B.4.曲線在處的切線傾斜角是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系得到傾斜角的大小即可.【詳解】設(shè)曲線在處的切線傾斜角為，因?yàn)?，則.所以曲線在處的切線傾斜角是，故選：D.5.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)遞增遞減區(qū)間即得.【詳解】由求導(dǎo)得，，則當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.6.已知等差數(shù)列公差為2，前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)成等比數(shù)列結(jié)合公差為2，求得，得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】因?yàn)?，，，由成等比?shù)列，得，解得，所以，則，則.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知在[1,2]上恒成立，將問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可.【詳解】，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在上恒成立，即在[1,2]上恒成立.令，則在上單調(diào)遞減，,所以,,即故選：C.8.某電動(dòng)汽車剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5月1日向銀行貸款元用來(lái)購(gòu)買(mǎi)該電動(dòng)汽車，銀行貸款的月利率是，并按復(fù)利計(jì)息.若每月月底還銀行相同金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個(gè)月等額還款），則小胡每個(gè)月月底需要還款（）A.元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】設(shè)小胡每月月底還款錢(qián)數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得每次還款后欠銀行貸款，即第12次還款后欠銀行貸款為，進(jìn)而由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，從而可得.【詳解】設(shè)小胡每月月底還款錢(qián)數(shù)為元，根據(jù)等額本息還款法可得：第1次還款后欠銀行貸款為，第2次還款后欠銀行貸款為，…，第12次還款后欠銀行貸款為，因貸款12個(gè)月還清，所以，即，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)中，其圖象在某點(diǎn)處的切線與直線平行的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義和常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】對(duì)于A，由，可得，無(wú)解，所以A不符合題意；對(duì)于B，由，可得，有解，所以B符合題意；對(duì)于C，由，可得，有解，所以C符合題意；對(duì)于D，由，可得，有解，所以D符合題意.故選：BCD.10.已知數(shù)列{an}的n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.S16為Sn的最小值C. D.使得成立的n的最大值為33【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式確定正確選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也符合上式，所以，A正確.由于開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以是的最大值，B錯(cuò)誤.由解得，所以，C正確.，所以使成立的的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：AC11.意大利畫(huà)家列奧納多·達(dá)·芬奇曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為，則（）A.B.C.是奇函數(shù)D.當(dāng)與和共有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)定義計(jì)算得到；B選項(xiàng)，利用求導(dǎo)法則計(jì)算出答案；C選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到和的單調(diào)性和極值最值情況，從而數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，是奇函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，的導(dǎo)數(shù)為，令，則，又為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由于在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)與和共有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，若，則的值為_(kāi)_________．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可得，故，則，故答案為：4013.已知函數(shù)，則的極小值為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，再利用極值的定義及求極值的步驟，即可求解.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，由題知，令，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在處取得極小值，極小值為，故答案為：.14.等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則_________；若的值為正整數(shù)，則_________．【答案】①.②.或.【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合前項(xiàng)和公式可得，代入化簡(jiǎn)即可得出答案；又，要使的值為正整數(shù)，則或或，求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?要使的值為正整數(shù)，所以為的約數(shù)，所以或或，因?yàn)?，所以?故答案為：；或.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．15.已知公差的等差數(shù)列滿足，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求【答案】（1）（2）20【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表達(dá)和成等比數(shù)列，解出，即可求解；（2）求出，再并項(xiàng)求和即可.【小問(wèn)1詳解】解：由題設(shè)，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，即，所以，由，可解得所以【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?16已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極小值－4，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）討論的單調(diào)性．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)和極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0即可求解；（2）求導(dǎo)，分類討論的取值即可求解.【小問(wèn)1詳解】，則即解得，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，【小問(wèn)2詳解】令解得或1°當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增2°當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減3°當(dāng)時(shí)，在，（上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減17.已知函數(shù)（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）指出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（3）2個(gè)，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，得到且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）由（1），求得，結(jié)合和，即可求解；（3）由（2）中函數(shù)得到單調(diào)性，分，和，三種情況討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋?，可得直線的斜率，且，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，可得，令，即，解得或，當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，，所以函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】解：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：由（2）知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一，使；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以存在唯一，使；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，恒有，故該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，綜上可得：當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)取到極小值；當(dāng)時(shí)取到極大值；故有2個(gè)極值點(diǎn).18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：,．（1）求；（2）若，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求出的值，當(dāng)時(shí)，由可得，作差可得，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的，計(jì)算出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法結(jié)合分組求和可求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，則，則，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，可得，令，可得，則，解得，所以，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以，，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，?duì)任意的，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則，上式下式得，化簡(jiǎn)得，因此，.19.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）寫(xiě)出，，并證明是一個(gè)等比數(shù)列：（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2），；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由題可得，，然后由與關(guān)系可完成證明；（2）由（