2024-2025學年高二下學期第一次月考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.小米汽車首款車型小米SU7于2024年3月28日正式發布，該款車型有9種外觀顏色，4種內搭顏色可供選擇．若車主自由選擇車的外觀和內搭顏色，共有（）種情況A.4 B.9 C.13 D.36【答案】D【解析】【分析】先選顏色，再選內搭，根據分步乘法計數原理運算求解.【詳解】第一步：選外觀顏色，有9種選擇；第二步：選內搭，有4種選擇；所以共有種情況．故選：D.2.已知函數可導，且滿足，則函數在處的導數為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據導數的定義求解.【詳解】因為,所以,故選:A.3.已知函數，則（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】【分析】求導函數，由此可求.【詳解】因為，所以，解得.故選：A4.下列函數中，既是奇函數，又在上是單調函數的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據奇偶性定義判斷各選項函數的奇偶性，并應用導數研究A中函數的單調性，即可得答案.【詳解】A：且定義域為R，為奇函數，又，故單調遞增，滿足要求；B：，不滿足；C：且定義域為R，為偶函數，不滿足；D：，不滿足.故選：A5.已知函數，在區間上任取兩個不相等的實數，，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據可知在上單調遞增，進而由導數即可求解.【詳解】由可知在上單調遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以，故選：C6.如圖，某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有（）種.A.40 B.80 C.120 D.160【答案】C【解析】【分析】將此類問題看成涂色問題，根據分類加法計數原理和分步乘法計數原理討論.【詳解】根據圖示，區域3和6、區域3和5、區域2和5、區域2和4、區域4和6不相鄰，可以栽種相同顏色的花.因為要栽種4種不同顏色的花，所以分為5類：第一類：區域3和6同色且區域2和4同色：種；第二類：區域3和6同色且區域2和5同色：種；第三類：區域3和5同色且區域2和4同色：種；第四類：區域4和6同色且區域2和5同色：種；第五類：區域4和6同色且區域3和5同色：種；所以，共有種.故選：C7.已知若關于x的方程有3個不同實根，則實數取值范圍為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數研究分段函數的性質，作出函數圖形，數形結合即可求出結果.【詳解】因為時，，則，令，則，所以時，，則單調遞增；時，，則單調遞減；且，，時，；時，，則，令，則，所以時，，則單調遞增；時，，則單調遞減；且，，時，；作出在上的圖象，如圖：由圖可知要使有3個不同的實根，則.故選：D.8.已知函數在區間上有且僅有兩個極值點，則實數m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求導數，利用導數在所給區間上有兩個變號零點可求答案.【詳解】，因為有且僅有兩個極值點，所以有兩個變號零點，即在所給區間上有兩個不等實數根.令，則，上式可化為，其中；令，則，令，則，即為增函數，又，所以時，，為減函數；時，，為增函數；因為，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知定義在上的函數，其導函數的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確的是（）A.B.函數在上遞增，在上遞減C.函數的極值點為，D.函數的極大值為【答案】ABD【解析】【分析】對A，B由導數與函數單調性的關系，即可判斷，，的大小以及的單調性，對C，D由極值的定義即可判斷.【詳解】解：由題圖知可，當時，，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，對A，，故A錯誤；對B，函數)在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C，函數的極值點為，，故C正確；對D，函數的極大值為，故D錯誤.故選：ABD.10.已知函數，則下列結論正確的是（）A.函數存在兩個不同的零點B.函數既存在極大值又存在極小值C.當時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先求函數的導數，利用導數分析函數的單調性和極值以及函數的圖象，最后直接判斷選項．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當時，，當時，或，所以是函數的單調遞減區間，是函數的單調遞增區間，所以是函數的極小值，是函數的極大值，所以B正確．對于C．當時，，根據B可知，函數的最小值是，再根據單調性可知，當時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點睛】易錯點點睛：本題考查了導數分析函數的單調性，極值點，以及函數的圖象，首先求函數的導數，令導數為0，判斷零點兩側的正負，得到函數的單調性，本題易錯的地方是是函數的單調遞減區間，但當時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．11.已知函數，，下列說法正確的是（）A.函數存在唯一極值點，且B.令，則函數無零點C.若恒成立，則D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】由在單調遞增，又，，即可判斷A；由導數判斷出恒大于0，恒大于0，即可判斷B；由的值域即可判斷C；由的單調性即可判斷D．【詳解】對于A，，顯然在單調遞增，又，，所以，使得，故A正確；對于B，由A得，，使得，即，，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以恒大于0；由，令，，當時，，即在單調遞增，當時，，即在單調遞減，所以，即，即在單調遞增，又時，，所以，由恒大于0，恒大于0，故無零點，B正確；對于C，由B得，由恒成立，得在恒成立，所以，即，故C錯誤；對于D，因為在單調遞增，又，，則，所以，即，整理得，不等式兩邊同除以得，，故D正確，故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若物體的運動方程是，時物體的瞬時速度是________.【答案】33【解析】【分析】先求出物體在時的導數，再結合瞬時速度與導數的關系求解即可.【詳解】由，則，則，所以物體在時物體的瞬時速度是33.故答案為：33.13.對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數，請你根據上面的探究結果，解答以下問題：①函數的對稱中心坐標為______；②計算______【答案】①.②.2023【解析】【分析】①先對函數求二階導，得到，根據題意求出拐點，即可得出結果；②先由①得到，推出，用倒序相加法，即可求出結果.【詳解】①因為，所以，所以，由得，此時，由題意可得，即為函數的對稱中心；②由①知，函數關于中心對稱，所以，即，因此；記，則，所以.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是理解三次函數對稱中心與拐點的關系，從而得解.14.已知不等式在上恒成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】將不等式轉化為，構造函數，求導確定其單調性，從而將不等式再轉化為，設，求導討論單調性得最值，即可打求得的取值范圍.【詳解】整理得，即，設，則恒成立，所以在上單調遞增，則由不等式即為恒成立，所以在上恒成立，故，設，則，當時，恒成立，在上單調遞增，則，符合題意；當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，則，解得；綜上，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知三次函數f（x）＝x3+ax2﹣6x+b，a，b∈R，f（0）＝1，曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為﹣6.（1）求函數y＝f（x）的解析式；（2）求f（x）在區間[﹣2，4]上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為17，最小值為﹣9.【解析】【分析】（1）先求函數的導數，進而根據求出a的值，然后根據f（0）＝1，求出b的值即可求出函數的解析式；（2）先利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數在區間[﹣2，4]上的最值.【詳解】（1），由導數的幾何意義，，，∵f（0）＝1，∴b＝1，.（2），令得，當時，，f（x）單調遞增；當時，，f（x）單調遞減；當x∈（2，4]時，，f（x）單調遞增，∴函數f（x）在x＝﹣1取得極大值為，在x＝2時取得極小值為f（2）＝﹣9，，在區間上的最大值為17，最小值為﹣9.16.已知函數，，為函數的導函數．（1）討論函數的單調性；（2）若任意，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）先對參數進行分類討論，再利用導數求解單調性即可.（2）利用分離參數法得到，再利用導數得到，最后得到參數范圍即可.【小問1詳解】因為，且定義域為，所以，令，則，當時，，函數上單調遞增；當時，令，得到，令，得到，故函數在上單調遞減，在上單調遞增；綜上：當時，在上單調遞增；當時在上單調遞減，在上單調遞增．【小問2詳解】由（1）得，因為對于任意，恒成立，所以恒成立，化簡得恒成立，故恒成立，令，則恒成立，，令，則，得到在單調遞增，即故，在單調遞增，而，即，故.17.已知函數，其中實數．（1）若，試求函數的單調區間；（2）當，，且時，若恒有，試求實數的取值范圍．【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為（2）【解析】【分析】（1）求導后，根據導函數的正負情況即可得出的單調區間；（2）由及得，即在區間上為增函數，設，且，由得，設函數，得在時為減函數，則，由不等式恒成立求解即可．【小問1詳解】由題可知，，，，，令，得，所以在上單調遞增；在上單調遞減．函數的單調增區間為，單調減區間為．【小問2詳解】函數令，，當時，可知，故恒成立，可知，在區間上為單調增函數，不妨設，且，則變為，即，設函數，由，得在時為減函數，即，即，所以，對與恒成立，因為當，，所以，即對時恒成立，由，可得，即取值范圍為．18.已知函數.（1）當時，求在處的切線方程;（2）當時，在上恒成立，求的取值范圍;（3）若（是自然對數的底數），求證:.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）結合導數的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程，（2）法一：利用導數證明在上單調遞增，利用單調性，討論，時函數的函數值的變化規律，由此可得的取值范圍；法二：驗證時，不等式成立，當時，條件可轉化為，結合導數求函數的最小值可得結論；（3）法一：判斷的單調性結合零點存在性定理證明存在，使得，結合函數的單調性可得，再利用導數證明，證明結論；法二：，在條件下，結合一次函數性質，利用導數證明結論.【小問1詳解】時，，函數的定義域為，所以在處的切線斜率又，所以函數在處的切線方程為即切線方程為，【小問2詳解】法一:由已知，令，則，又，所以，所以在上單調遞增，又，當時，，所以在上單調遞增，恒成立;.當時，，所以存在，當時，，在上單調遞減，，此時在上恒成立，不成立..綜上，，法二:，當時，，不等式成立當時，不等式可化為，所以，由已知可得，..令，則，令，則，所以在上單調遞增，，所以，在單調遞增，又，綜上，【小問3詳解】法一:由已知，，因為函數在都是增函數，所以在上單調遞增，又，所以存在，有，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以.令，則所以在上單調遞增，即，綜上:當時，，法二:令當，即時，（恒成立）.當，即時，在時單調遞增，，令，，因在上都為增函數，且，所以當，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，當，即時，在時單調遞減，所以，令，則，因為，所以，所以，所以函數在上單調遞增，所以，綜上：當時，【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．19.已知函數，若存在實數，使得，則稱與為“互補函數”，為“互補數”.（1）判斷函數與是否為“互補函數”，并說明理由.（2）已知函數為“互補函數”，且為“互補數”.（i）是否存在，使得？說明理由.（ii）若，用的代數式表示的最大值.【答案】（1）不是“互補函數”，理由見解析；（