專題10直線和圓的方程

題型一：平行線求距離問題易丁點：使用兩平行線間―一公式忽昭系數(shù)相等我檐

_______________________—一題型二：亙線截距式的考點0、易錯點：求有關或距相等問題時易忽酷截距為薯的情況

直線和圓的方程

---------------------星型三：求有關圓的切送問題a易錯點：會段B二硼題易硒一俎

'、一題型四：與圓的代數(shù)結(jié)構有關的最值問題j易一點：忽喇率是否存在

易錯點一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯（平行線求距

離問題）

距離問題

技巧總結(jié)|

①兩點間的距離：已知片（巧,y）,E（毛，，2）則I"G|=-E）2+5-y）2

②點到直線的距離:d=加。：啊+a

A-+B-

③兩平行線間的距離：兩條平行直線4：Ax+8），+G=0與4：Ar+^y+c?=0的距離公式

易錯提醒：在求兩條平行線間距離時，先將兩條直線蒼），前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求算.

三9

例.己知直線4：44一3、+3=0,12:(m+2)x-［m+l)y+m=0(wGR),則()

A.直線人過定點(L2)B.當〃?=2時，/.///2

c.當〃，=T時，/(1/2D.當“4時，44之間的距離為;

?-

［詳解］由4："狀+21―，町，_y+m="?*_y+l)+2x_y=0,令<:>+\,可得所

2x-y=0［尸2

以4過定點（1，2）,A對

，〃=2時./>:4x-3y+2=0.而乙：4x-3y+3=0,fipl,///2,B對

利=一1時，Z2:x-l=O,而/1：4x-3y+3=0,顯然不垂直，C錯

3-2]_

/他，則—3(〃?+2)=-4(〃?+1),可得〃?=2,由上知，44之間的距離為

^775

D對.故選:ABD

變式1.曲線y=e21cos3x在點(0,1)處的切線與其平行直線/的距離為石，則直線，的方程可能為

()

A.y=2A+6B.)=2.L4

C.y=3x+1D.y=3x-4

2v22r

【詳解】/=2ecos3x+e*(-3sin3x)=e'(2cos3x-3sin3.r),y|v-0=2

所以曲線y=e2￥cos3x在點(0/)處的切線方程為)，-1=2(.”0),即2x-)，+1=0

U-H

設直線/：2x-y+，=0依題意得=6,解得/=6或/=-4

V22+l2

所以直線/的方程為)，=2.1+6或)，=2x-4故選：AB

22

變式2.已知直線3)，=依+1,/2：>'=/m+2,圓C：(A-1)+(y-2)=6,下列說法正確的是

()

A.若《經(jīng)過圓心C,貝此=1

B.直線人與圓。相離

C.若乙〃4,且它們之間的距離為g,則攵=±2

D.若女=-1,丸與圓C相交于M,N,則|網(wǎng)|=2

【詳解】對于A,因為圓心。(1,2)在直線)=A+I上，所以2=4+1,解得2=1,A正確，對于B,

因為直線，2：、=g+2恒過點@2),且(0-1)2+(2-2)2<6

即點(0.2)在圓。內(nèi)，所以4與圓右相交，B錯誤，對于C因為貝1]〃?二〃

故辰—y+l=0與京―)，+2=0之間的距離d=)J==正，所以&=±2,C正確

收+15

對于D,攵二一1時，直線乙：y=-x+\t即x+y-l=0

因為圓心。(1,2)到直線x+y-1=0的距離&=蓋j=&，所以|MN\=2,6—(可=4,D錯誤,

故選：AC

變式3.已知直線4：4%—3)，+4=0,，2：(加+2)x-(〃?+l)y+2"?+5=0(/〃eR),貝!j()

A.直線/,過定點(一2,-1)

B.當〃?=1時，/11/2

C.當〃?=2時，“〃2

D.當/他時，兩直線//之間的距離為1

x—y+2=0fx=-3

【詳解】依題意，直線y+2)〃?+(2x—)，+5)=0,由解得：\

2x-y+5=0[y=-1

因此直線I恒過定點(-3,-1),A不正確

當〃?=1時，直線，2：3x-2y+7=0,而直線4：4工一3)，+4=0,顯然3x4+(-2)x(—3)工0

,即直線44不垂直,B不正確

當m=2時，直線/,：4.r-3)，+9=(),而直線4：4.r-3)，+4=0,顯然士4二-」3/24,即“兒

4-39

,C正確

當〃〃2時，有二2=也斗工組2,解得〃?=2,即直線/2：?-3)，+9=0,因此直線//之間的

4-34

距離”="2+(-3尸=1'D正確故選：CD

1.若直線2x-y-3=0與41-2)，+。=0之間的距離為石，則a的值為()

A.4B.右一6C.4或一16D.8或一16

【答案】C

【分析】將直線2X-)，-3=。化為41-2)，-6=。，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即

可.

【詳解】將直線21一)，-3=。化為4工一2,，一6二0,

則直線2-=。與直線41i=。之間的距離〃=第=騁,

根據(jù)題意可得：%^=布,即|a+6|=IO,解得a=4或a=—16,

【答案】C

【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)。的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】由已知兩條直線平行，得3=：，所以。=6,

a8

所以直線力+4)，-12=0可化為6.r+8.\，-24=0,

1-24-III7

則兩平行線間的距離4=,..=f.

V62+822

故選：C

5.已知直線4：X-沖=0和4：X-沖+2(m-1)=0(加wR)與圓。都相切,則圓C的面積的最大值是

()

A.2兀B.4不C.8乃D.16萬

【答案】A

【分析】易得44互相平行，故圓。的直徑為44間的距離，再表達出距離求最大值即可得圓。的

直徑最大值，進而得到面積最大值

【詳解】由題，4/互相平行，且2(〃7-1)工0,故圓c的直徑為44間的距離

￡(〃1)|_2匕"

令，=，〃-1,則〃?=/+1,

2M_2_2

故當,+<=(),即/=-2,陰=-1時"取得最大值

肝041t2

d=26,此時圓C的面積為S=/r(3'=2萬

故選：A

6.若直線4：X+少+6=0與/2：(〃-2)x+3y+2a=()平行，則乙與乙間的距離為()

A.728及

亍

88

C.也

【答案】B

【分析】由兩直線平行的判定有3-。(。-2)=0且2/一18工0求參數(shù)出應用平行線距離公式求4與

6間的距離.

【詳角隼】???直線4:x+〃y+6=0與/2：S—2)x+3y+2a=0平行，

2

3-a(a-2)=0且2/_]8/0，W-Wa=-\,l2\-3x+3y-2=0,x-y+-=0.

6二

???直線4與間的距離d__3,還.

#+(7)23

故選：B.

7.已知直線《：(3+22)x+(4+2)y+(-2+22)=0(2eR),Z2：x+y-2=0,若IJ&,貝必與

間的距離為（）

A.孝B.V2C.2D.272

【答案】B

【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求4,再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.

【詳解】由/"4得耳i=士2，解得4=1,

11—2

所以直線乙：5x+5y=0t即x+y=0,

所以《與4間的距離為1=導=&,

故選B.

8.已知直線《：〃氏一3），+6=0,/2:4x-3wy+12=0,若“4，貝必4之間的距離為（）

A.以叵B.逆C.亞D.疝

131313

【答案】A

【分析】由加（一3M-（-3>4=0,解得〃?=±2,〃?=2時舍去，可得〃?=-2,再利用平行線之間的

距離公式即可得出.

【詳解】由于兩條直線平行,得辦（-3/〃）-（-3>4=0,解得切=±2,

當〃7=2時，兩直線方程都是2》-3），+6-。故兩直線重合，不符合題意.

當〃?=一2時，/(：2x+3y-6=0,/2:2.r+3>'+6=0,

12V12

故兩平行直線的距離為噌一,[I=

V22+3213

故選A.

【點睛】本題主要考查了直線平行的充要條件及其距離，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.若兩條平行直線/.：A-2y+;n=。（/〃>0）與八21+d-6=0之間的距離是石，則加+〃=

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】根據(jù)直線平行得到〃=-4,根據(jù)兩直線的距離公式得到，〃=2,得到答案.

【詳解】由小將，得!=二，解得〃二-4,即直線/2：x-2y-3=O,

2n

Im-（-3）1r

兩直線之間的距離為d=j]2（2）2=45,解得機=2（相=-8舍去），

所以m+z:=—2

故答案選C.

【點睛】本題考查了直線平行，兩平行直線之間的距離，意在考查學生的計算能力.

10.已知直線/1：3x+4y+5=0,，2：6x+8），-15=（）,則兩條直線之間的距離為

A.4B.2C.—D.5

2

【答案】C

【分析】利用兩平行直線距離公式即可求得.

【詳解】因為C3x+4y-?=0,則_5,故選C.

2"=后7=5

【點睛】本題考查了兩平行直線距離問題，運用平行直線距離公式可以求解?，但要注意將兩直線?

般方程的xy系數(shù)化為相同的值；也可以在其中一條直線中選取一個特殊點，然后利用點到直線距

離公式進行求解，屬于基礎題.

易錯點二：求有關截距相等問題時易忽略截距為零的情況（直線截距

式的考點）

直線方程的五種形式的比較如下表:

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

點斜式y(tǒng)-y=k(x-X,)（$，X）是直線上一定點，女是斜率不垂直于入軸

斜截式y(tǒng)=kx+h左是斜率，力是直線在），軸上的截距不垂直于X軸

-Vi-一-

兩點式y(tǒng)-（N，y）,（七,必）是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸

%-M七-%

截距式4十2=i。是直線在工軸上的非零截距，b是不垂直于/軸和y

ab

直線在），軸上的非零截距軸，且不過原點

Av+By+C=0(A2+B?0）

一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線

給定一般式求截距相等時，具體方案如下:

令x=o=>y=_]cc

形如：第一種情況4x~i■月y+C=0=，夕=>---=----=A=R

令),=0=>x=——AB

'A

第二種情況：4r+B），+C=0=C=0時，橫縱截距皆為0

截距之和為。時，橫縱截距都為0也是此類模型

易錯提醒：求截距相等時，往往會忽略橫縱截距為0的情況從而漏解

例.已知直線/過點（2,1）且在x,y軸上的截距相等

（1）求直線/的一般方程；

（2）若直線/在x,y軸上的截距不為0,點力）在直線/上，求3“+3"的最小值.

【詳解】試題分析：（1）當截距為。時，得到X-2），=。；當截距不為。時設直線方程為2+2=1,

tt

代入點坐標即可得方程.（2）由第一問可得擲］方程為x+y-3=0?a+h=3,

由不等式得到結(jié)果.

（1）①截距為0時，l:y=：x即1一2），=0

②截距不為0時，設直線方程為土+十=1,代入網(wǎng)2,1）,計算得/=3,則直線方程為"+）-3=0,

綜上，直線方程為"_2y=0或x+y—3=（）

⑵由題意得/的方程為x+y—3=0a+b=3,/.3a+3b2=66

3"+3b的最小值是66，當a=b=T時等號成立.

變式1.已知直線/過點（1,2）且在劉V軸上的截距相等

⑴求直線/的一般方程；

⑵若直線/在劉C軸上的截距不為0,點P（4b）在直線/上,求3“+3〃的最小值.

【詳解】（1）因為直線/過點（L2）且在X，軸上的截距相等，當截距為。時，則/：），=2x

當截距不為0時，可設/：匹+2=1,則1+2=1,即。=3,.??/：X+），-3=0

綜上，/的一般方程；2.\-），-0或》丁-3=0

（2）由題意得/：x+）-3=0,.?"+〃=3

_______3

3"+3"N2『3"=2x1^=，當且僅當"=〃=］時，等號成立

3"+3"的最小值為

變式2.己知直線人：儀+2），-4=0,直線4：bx-2y-\=（）f其中〃，5均不為0.

（1）若乙_L的且4過點（口），求a,b；

⑵若“〃2,且4在兩坐標軸上的截距相等，求乙與6之間的距離.

【詳解】（I）當《過點（巾）時，。+2-4=0,所以。=2,

因為/所以-會與=一1,即必=4,于是匕=2

4

（2）由4：ar+2y-4=0,令x=0,貝ljy=2,令y=。，則犬=一

a

因為4在兩坐標軸上的截距相等，所以2,，故。=2,又I川？,所以-好《，所以》=-2

a22

4

則人2x+2y-4=0與(2x+2)，+l=O之間的距離?=IT"1=空，所以[與1之間的距離為

V22+224

5夜

變式3.已知直線/]：?X-2y—2〃+4=0,I,:a2x+4y-4a2-8=0

（1）若直線4在兩坐標軸上的截距相等，求實數(shù)。的值;

⑵若64,求直線4的方程.

【詳解】（1）由題意可知，。=0,直線4在工軸上的截距為——，在了軸上的截距為則

a2

2a一44—2am,日

-----,解得：a=±2

a2

（2）若/他，貝14a=-2〃且一2x（Ta2-8）工4x4,解得：a=-2

此時直線12的方程為x+.y-6=0

1.己知圓。：/+丁2=4,"（%,先）為圓。上位于第一象限的一點，過點M作圓O的切線/.當/

的橫縱截距相等時，/的方程為（）

A.x+>,-2>/2-0B.x+y-=0

2

C.x+y-4y/2=0D.x-y-14i=0

【答案】A

【分析】利用過圓上點的切線的性質(zhì)可得OM_L/,利用點M（/,匕））表示出切線方程，結(jié)合/的橫

縱截距相等，即得解

【詳解】由題意，點M在第一象限，故過點M的的切線/斜率存在；

點〃（/，兒）在圓上，故OM_L/,即％“勺=一1

.：心”=—:.k!=-^-

%為

4

故直線I的方程為：y-%=一區(qū)（％-%）=+yoy=工：+x；=

）'o

44

令x=0,y=—;令y=0,x=—;

%為

44

當/的橫縱截距相等時，一二一。/二%

玉）%

又￡+￡=4,/>0,%>0

解得：大o=五,y0=\f2

即\[lx+V2,v=4,即x+y-20=0

故選：A

2.“直線/：5=履+2?-1在坐標軸上截距相等”是“攵=-1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線/：），=h+24一在坐標軸上截距相等得衣=；或左=-1,再根據(jù)充分條件和必要條件

乙

的定義判斷即可.

1-Ok

【詳解】解：由題知：左。0,由1=0得y=2左一1；由），=。得，X=-

k

因為在坐標軸上的截距相等，所以2攵-1二\一-7竺k，解得衣=3I或k=T.

所以直線/:產(chǎn)辰+2上-1在坐標軸上截距相等”是“攵二一1”的必要不充分條件.

故選:B.

【點睛】本題土要考查直線的截距與充分條件、必要條件，屬于基礎題.

3.過點A(1,2)的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+\=0B.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2r或x-y+l=0

【答案】D

【分析】考慮直線是否過坐標原點，設出直線方程，分別求解出直線方程.

【詳解】當直線過原點時，其斜率為沿=2,故直線方程為y=2x；

I-V

XV19

當直線不過原點時，設直線方程為±+上=1,代入點(1,2)可得上+±=1,解得〃=一1,故

a-aa-a

直線方程為x-y+l=0.

綜上，可知所求直線方程為y=2t或x-y+l=0,

故選：D.

【點睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思恁的應用，考查邏輯推理和數(shù)學運算.在

利用直線方程的截距式解題時，一定要注意討論直線的截邪是否為零.

4.下列說法正確的是()

A.若直線/x-y+l=0與直線工-0-2=0互相垂直，則。=一1

B.已知21,1),。(-2,-3),點P,Q到直線/的距離分別為2和4,則滿足條件的直線/的條數(shù)

是2

C.過(看,%)，(n，/)兩點的所有直線的方程為尸^=三

D.經(jīng)過點(1,1)且在X軸和》軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

【答案】B

【分析】對于A,利用直線與直線垂直的條件判斷；對FB,利用點到直線的距離、直線與圓的位

置關系判斷；對于C,利用兩點式方程判斷；對于D,利用直線的截距式方程判斷

【詳解】解：對于A,若直線與直線工一紗—2=。互相垂直，則/+白=0,解得〃=0

或。二一1,所以A錯誤；

對于B,因為P(LI),(2(-2,-3),所以|PQ|=J(l+2)2+(l+3)2=5,分別以點P,Q為圓心，2,4

為半徑作圓，因為2+4>5>4-2,所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條，所以滿足條件的直

線/的條數(shù)是2,所以B正確；

對于C,當％工看且)'尸力時，過(公，匕)，(々，人)兩點的直線方程為三三=三，所以C錯誤；

)2一乂七一N

對于D,當截距為零時，設直線方程為)，=",則&=1,所以直線為V=x,當截距不為零時，設

直線方程為4+2=1,則,+1=1,得。=2,所以直線方程為x+y-2=0,綜上，經(jīng)過點（1,1）且

aaaa

在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為1+），-2=0或p=無，所以D錯誤

故選：B

5.過點?（3,4）,且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程是

A.x-y+l=0B.x-y+1=0bg4.v-3y=0

C.x+y-7=0D.x+y-7=0或4x-3），=0

【答案】D

4

【詳解】當直線過原點時，直線方程為y=（x,即4x-3y=0；

當直線不過原點時，設直線方程為x+y=a.

則3+4=a,得a=7.

???直線方程為x+y-7=0.

???過點M（3,4）且在坐標軸上截距相等的直線方程為4x-3y=0或x+y-7=0.

故選：D

6.下列命題中第氓的是（）

A.命題“切€+1v1”的否定是“VKCR"+1>1??

B.命題“若a>b,貝的否命題為“若。工人則2"2b-l”

C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件

D.若"p或d'為假命題，則p,q均為假命題

【答案】C

【分析】利用含有一個顯詞的命題的否定、否命題的概念、兩直線平行的充要條件以及的真

假進行判斷.

【詳解】對于A,命題“丸",君+1<1”的否定是“DxwRl+1N1”，故A正確；

對于B,命題"若”"則的否命題為“若心。，則2“￡26-1”，故B正確;

對于C,若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合；但若兩直線平行，斜率可能不存在，故C錯誤；

對于D,若"p或/為假命題，則p,4均為假命題，故D正確.

故選：C.

7.與圓Y+（y—1）2=］相切，且在坐標軸上截距相等的直線共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

【答案】A

【分析】過原點的直線不滿足題意，當直線不經(jīng)過原點且與圓相切時，依題意可設方程為

x+y+m=O,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得〃，有兩解，綜合可得結(jié)果.

【詳解】圓/+()，-1尸=1的圓心為@1),半徑為1,

由于原點在圓上，顯然過原點的直線不滿足題意：

當直線不經(jīng)過原點且與圓相切時，依題意可設方程為x+y+，〃=o,

圓心到直線的距離d=/J=l,解得〃?=±&-1，此時滿足條件的直線有兩條，

綜上可得：滿足條件的直線有兩條，

故選：A.

【點睛】本題主要考查圓的切線方程，截距相等問題，學生容易疏忽過原點的直線，屬「中檔題.

8.已知直線/過點M(-2,3),且與x軸、＞軸分別交于4,B點,則()

A.若直線/的斜率為1,則直線/的方程為y=x+5

B.若直線/在兩坐標軸上的截距相等，則直線/的方程為x+y=l

C.若M為A8的中點，貝J/的方程為3x-2y+12=0

D.直線/的方程可能為y=3

【答案】AC

【分析】根據(jù)直線點斜式判斷A,由過原點直線滿足題意判斷B,由中點求出A,B坐標得直線方程

判斷C,由直線與坐標軸有交點判斷D.

【詳解】對于A,宜線/的斜率為1,則直線/的方程為y?3=x+2,即y=x+5,故A正確；

對于B,當直線/在兩坐標軸.上的截距都為。時，/的方程為y=-：x,故B錯誤；

對于C,因為中點M(—2,3),且4,B在X軸、y軸上，所以4(T,0),3(0,6),故4B的方程為

三+鄉(xiāng)=1,即3x-2y+12=0,故C正確；

對于D,直線y=3與x軸無交點，與題意不符，故D錯誤.

故選：AC.

9.已知直線Rx—y+〃?=0,/2：2x+my-\=0,則下列結(jié)論正確的有()

A.若“〃2，則/〃=-2

B.若IJ4，則m=2

C.若4，，2在X軸上的截距相等則m=1

D./,的傾斜角不可能是“頃斜角的2倍

【答案】AB

【分析】根據(jù)直線平行、垂直的條件判斷AB選項的正確性；根據(jù)直線的截距、傾斜角判斷CD選

項的正確性.

【詳解】若〃4，則?二，得加=一2,選項A正確；

1-1m

若41，2，貝ijlx2-“7=0,得〃?=2,選項B正確；

若4，，2在X軸上的截距相等，則-機=；，解得機=-；，選項C錯誤；

當〃?=0時，，2的傾斜角5恰好是4的傾斜角彳的2倍，選項D錯誤.

4I

故選：AB

【點睛】解決此題的關鍵是要弄清楚直線的點斜式和直線的一般式判斷兩直線平:行和垂直的充要條

件,其次壞要注意斜率的存在性,一定要注意分類討論.易錯點：兩百線平行一定要注意縱截距不

等和斜率的存在性.

10.直線/與圓(X-2)2+V=2相切，且/在x軸、)，釉上的截距相等，則直線/的方程可能是

A.x+y=0B.匯+)，-20+2=0

C.x-y=0D.x+y-4=0

【答案】ACD

【解析】由于直線/在x軸、y軸上的截距相等，設直線為：x+y-。=。或)，=丘，利用圓心到直

線的距離為半徑，即得解

【詳解】由于直線/在x軸、V軸上的械距相等，設直線為：x+y-a=。或y=H

由于直線/與圓(x-2)2+V=2相切，

故圓心(2,0)到直線的距離等于半徑,?=V2

d=?=&/.?=0,4

x/2

nVd=J"'=V2/.k=±1

故直線的方程為：x+y=(U+y-4=0,x-)，=0

故選：ACD

易錯點三：求有關圓的切線問題易混淆“在”“過”(求有關圓的切線問

題)

苣9

技巧總結(jié)

二類：求過圓上一點（%,）：））的圓的切線方程有遙）

正規(guī)方法：

第一步：求切點與圓心的連線所在直線的斜率左

第二步：利用垂直關系求出切線的斜率為-

k

第三步：利用點斜式），-%=M尤-九0）求出切線方程

注意：若％=0則切線方程為x=若%不存在時，切線方程為y=），°

（秒殺方法，

222

①經(jīng)過圓x+y=r上一點P（x0,%）的切線方程為工01+%），=r

②經(jīng)過圓（不一〃）2+（y-〃）2=/上一點P（Xo，%）的切線方程為

（X。一4卜一4）+（），0-b\y-b）=r2

③經(jīng)過圓/+），2+6+或一產(chǎn)二0上一點"）的切線方程為

八X+X(),L)'十%

/x+No>+。?一廣+日于11+F=0

:第三類：求過圓外一點（兩,為）的圓的切線方程的方法。

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為＞一刈二%（工一工0）,即履一%=0,

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得左,切線方程即可求出

方法二:代數(shù)法

第一步：設切線方程為y-x,=k（x一/）,BPy=kx-k\y+y0.

第二步：代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由△=（）可求得Z,切線方程即可求出

注意：過圓外一點的切線必有兩條，當上面兩種方法求得的女只有一個時，則另一條切線的斜率一

定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為〉二履+根，即％x—y+，〃=0

第二步；山圓心到直線的距離等于半徑長，可求得〃？，切線方程即可求出.

方法二:代數(shù)法

第一步：設切線方程為y=

第二步：代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由△=()可求得〃?，切線方程即可求出

方法三：秒殺方法

222

已知圓x+V=r的切線的斜率為k,則圓的切線方程為)，=kx±rdk+1

已知圓(x-a):+()，-少2=產(chǎn)的切線的斜率為k,則圓的切線方程為)，=kx±rVF+1+b-ka

工具：點與圓的位置關系判斷

圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

一般方程為x2+)，2+6+￡>，+廣=0(D2+E2-4F>0).

22

①點在圓上：(湎一a)?+(y0-b)=rXQ++Dx0+Ey0+F=0

22

②點在圓外：(x0-a)+(y0-b)>r~*+yj+DXQ+Ey0+F>0

22

③點在圓內(nèi)：(x0-a)+(y0-b)<r~XQ4-+DXQ-?■Ey0+F<0

易錯提醒：求切線問題時首要任務確定點與圓的位置關系并采用對應方案進行處理

第一步：求切點與圓心的連線所在直線的斜率上

V3

^=-y-=V3

2

第二步：利用垂直關系求出切線的斜率為-:

〃1V3

k3

第三步：利用點斜式y(tǒng)-%-％)求出切線方程

秒殺方法：

經(jīng)過圓X2+y2=\上一點電岑卜勺切線方程為”當，=1

變形1、圓的方程為丁+），2-41+2>+4=0,過點-1的切線方程

\2/

解：正規(guī)方法：

第一步：求切點與圓心的連線所在直線的斜率女

圓的一般式轉(zhuǎn)化為標準形式為（1-2）2+（y+]]=1=k二'=一6

~2

第二步：利用垂直關系求出切線的斜率為

k

第三步：利用點斜式y(tǒng)-%=k\x-%）求出切線方程

秒殺方法：

經(jīng)過圓上/+）產(chǎn)—4工+2），+4=0一點尸-1的切線方程為

r1

3M1

2(n\-VH—yH------1

—x+y-4----—+2-----=----F4=0

21\2/22

變形2、圓的方程為V+y2_4x+2y+4=（）,過點（1,1）的切線方程

解：由題意的點在圓外

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為）=1二Mx-。，即上「丁一攵+1=0,

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得k,切線方程即可求出

x2+y2-4%+2y+4=0n（x-2）2+（y+iy=l圓心為（2,-1）則1==>[=-」

J1+二4

37

故：——x-y+—=0,x=\

44

方法二:代數(shù)法

第一步：設切線方程為)，—l=k(x—1),即y=Ax—A+l,

第二步：代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由△=()可求得上,切線方程即可求出

337

/+(人工—々+11-4工+2(2工-人+1)+4=0△=()=>%=——故：——x-y+—=0,x=\

44'4

變形3、圓的方程為(x-2)2+()，+1)2=1,切線斜率為1方程為

方法一：幾何法

第一步：設切線方程為y=x+m，即x-)，+〃?=0

第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長，可求得〃?，切線方程即可求出.

1==〃？=-3士V2故x—>一3—V2=0x-y-3+41=0

方法二:代數(shù)法

第一步：設切線方程為)，=履+加，

第二步：代入圓的方程，得到一個關于工的一元二次方程，由△=()可求得團，切線方程即可求出

(x-2)2+(Zx+，〃+l)2=IA=O=>/77=-3±V2

故x-y-3-V2=0x-y-3+V2=0

方法三：秒殺方法

已知圓(x-+()，-Z?)2=r2的切線的斜率為k,則圓的切線方程為)，=kx±rVF+T+b-ka

故x-y-3-V2=0x—y-3+V2=0

1.在平面直角坐標系中，過直線2x-)，-3=0上一點尸作圓C：f+2x+y，=l的兩條切線，切點分

別為AB,則sinNAPB的最大值為()

A.巫B.述C.顯D.叵

5555

【答案】A

【分析】由題意I員|。：丁+2">>，2=［的標準方程為C：(x+l)+y2=2,如圖

又sEa=探=所以cosa=Jl-sin%=

s\nZAPB=sin2a=2sinacosa，又

由圓心到直線的距離可求出|。|的最小值，進而求解.

【詳解】如下圖所示：

由題意圓C的標準方程為C：(x+1)+)'=2,sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

又因為sina=^=/言，所以cosa=Jl-sin2a=

所以$足4尸8=25皿a（：05。=2

,|―2—0-3|i-

乂圓心c（-1,0）到直線2x-y-3=o的距離為d='而二了=也

所以|。"2"=石，所以不妨設l={0</4L

則sin/AP8=2131-

=2也/(_2)=〃/)，

又因為/⑴在（。［單調(diào)遞增，所以當且僅當/=［即|5=君，即當且僅當直線O垂直已知直線

2x-y-3=0時，

sinZAPB有最大值（sin/AP為心

故選：A.

2.已知點M（LG）在圓C：/+y2=,〃上，過“作圓C的切線/,則/的傾斜角為（）

A.30B.60C.120D.150

【答案】D

【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關系，即可山斜率與傾斜角的關系求解.

【詳解】圓心為（0,0）,所以％"=6,所以過M的切線/的斜率為

v33

設傾斜角為。，則tan。=-正，

3

由于。目0,兀），故。=普，

故選：D

3.已知圓。:/+?，2一4工一63，+12=0與直線/：X+>-1=0,P,。分別是圓C和直線/上的點且直

線PQ與圓C恰有1個公共點，則|PQ|的最小值是（）

A.x/7B.2收C.x/7-1D.272-1

【答案】A

【分析】|PQ|=述二的|G2|的最小值為圓心。（2,3）到直線的距離，可.求儼0的

最小值.

【詳解】圓C：f+），2-4x-6y+12=0化為標準方程為。:"一2『+&-3）2=1,

則圓。的圓心為。（2,3）,半徑,:1,則|5=1,

直線PQ與圓C相切，有|PQ=JCQFTCH?=J|CQ『_],

因為點。在直線/上，所以|CQ|N寺」=2無，則閘之

即歸。|的最小值是行.

故選：A

4.已知直線/：nix-y+m+\=0（m工0）與圓C:/+丁一4%+2），+4=。，過直線/上的任意一點P向

圓C引切線，設切點為48,若線段AB長度的最小值為G，則實數(shù)〃?的值是（）

12G12-77

A.B.-C.-D.—

5555

【答案】A

【分析】設=則|48|=2sin〃，可得而CP的最小值是圓心到直

線的距離，然后列方程可求出實數(shù)〃?的值.

【詳解】圓。:（"2尸+（），+1）2=1,設NACP=6（0<”3

則|AM=2sm9NV5,貝iJsinON孝，.?.夕￡號《)，

則|PC|二工>2,所以圓心C到直線/的距離是2，

cos<9

\2ni+\+m+]\一皿,12

?*-------1.-=2,得5nr+12m=0，\m^O：.m=---.

Vw+15

故選：A.

5.已知圓C:(x—2『+y2=4,直線/：>=依代wR),則下列結(jié)論正確的是()

A.存在實數(shù)上使得直線/與圓C相切

B.若直線/與圓C交于4B兩點,則|A卻的最大值為4

C.當k=-l時，圓C上存在4個點到直線/的距離為g

D.當左=1時，對任意/leR,曲線氏f+V—p+d卜+%y=0恒過直線/與圓。的交點

【答案】BCD

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系逐項判斷即可.

22

【詳解】C:(x-2)+y=4f圓心C(2,0)且半徑為r=2,

因為直線/：)=收過定點0(0,0),且點。在圓上，若直線/與圓C相切，則直線/的斜率不存在，

即x=(),故A不正確；

當直線/經(jīng)過圓心時，取最大值即圓的直徑2,?=2x2=4,故B正確；

當k二一1時，直線/：%+y=。，因為圓心。到直線/的距離1=2=夜，所以「一1=2-&>:,

V22

所以圓。上有4個點到直線的距離為;，故C正確；

當％=1時，直線/：x-)，=0,曲線E:x2+y!-(/l+4A+/ly=。，

即W+y2-4x-2(x-)，)=0一定過直線/：x—y=0與