重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題費馬點與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）【題型匯總】類型一費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結(jié)論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.直角三角形①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°【進階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC問題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC求PA+PB+2PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求PA+PB+3PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求2PA+PB+3PC最小值思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點P作PF⊥CE于點F,則PF=32PC;2)12PB利用三角形中位線來處理；3）P過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+求2PA+4PB+23PC過程：△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.題型01普通費馬點模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱點P為△ABC的費馬點．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費馬點P到A，B，C三點的距離之和為（A．4 B．2 C．2+23 D．2．（21-22九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值為3．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最?。▽W(xué)家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結(jié)合以上兩材料求出x2

題型02加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/7．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點E在線段AC上，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°為線段DF(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點和點E重合，連接EF，求線段EF的長度；(2)如圖2，點G為DC延長線上一點，使得GC=EC，連接FG交AD于點H，求證：2AH=CD(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時，求8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，

(1)求證：△ABG∽△ACF；(2)當(dāng)CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求題型03加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)9．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+510．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

11．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求2212．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長度；(2)如圖2，連接AD和CD，點F為AD中點，點G為CD中點，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD【針對訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,AC=4，P為2．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題背景如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為___________三角形，故PP'=PC，又P（2）問題解決如圖3，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；（3）問題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C4．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費馬點的思考問題背景17世紀有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”．

素材1解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，如圖：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'

素材2圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為2km，準備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C

任務(wù)一感悟證明定理請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+P任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．△ABC內(nèi)的區(qū)域B．△ACD內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，最少費用為多少？5．（21-22八年級上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、BE、CE，且邊長AB=2；求AE+BE+CE的最小值．6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接B（2）【問題探究】如圖②，已知△ABC是邊長為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點P的對應(yīng)點為點Q①求證：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動點S△PAD=2S△PBC，Q為類型二瓜豆模型型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動模型”，即：一個動點隨另一動點的運動而運動,分別叫做“主動點”與“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件(“一定兩動、定角、定比”)；①有一個定點、兩個動點，且一個動點(從動點)因另一個動點(主動點)的運動而隨之運動；②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角;③兩個動點到定點的距離的比值是定值.1)本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.2)在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值.3)部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得.【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當(dāng)α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.【總結(jié)】1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值；2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得題型01點的運動軌跡是直線1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（

A．52 B．52 C．52．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

4．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF=，連接DF，則△CDF周長的最小值是．5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）等邊△ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長的最小值為．6．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點M與點B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．題型02點的運動軌跡是圓1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、PCA．103 B．31010 C．133．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM

A．3 B．62?4 C．24．（21-22九年級上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點P在以AB為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A，連接CP，點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為．5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點P為⊙C上的動點，連接BP，并將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點P運動的過程中，

9．（21-22九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為⊙B上的動點，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點E與點D重合時，BF的值為．點E在⊙B上運動過程中，BF10．（2024·吉林長春·二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，⊙O的半徑為2，點A是⊙O外的一個定點，OA=4．點P在⊙O上，作點P關(guān)于點A的對稱點Q，連接PA、AQ．當(dāng)點P在⊙O上運動一周時，試探究點Q的運動路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②，延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過證明△OAP≌△MAQ，可推出點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ．1°當(dāng)點P在直線OA外時，證明過程缺失2°當(dāng)點P在直線OA上時，易知OP=MQ=2．綜上，點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．請你補全證明中缺失的過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點E、F分別為邊AB、CD的中點，連接EF，點O是EF中點，點M是線段OF上的任意一點，AB=4，BC=8．點P是平面內(nèi)一點，AP=2，連接AP．作點P關(guān)于點M的對稱點Q，連接（1）當(dāng)點M是線段OF中點時，點Q的運動路徑長為________________．（2）當(dāng)點M在線段OF上運動時，連接EQ．設(shè)線段EQ長度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．【針對訓(xùn)練】1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個動點，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CGA．5 B．52 C．3 D．2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（

）.A．4 B．415 C．421 3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對角線AC與BD相交于點O，點E在邊DC上，連接AE，過D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為．5．（21-22九年級下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=12x+2上的一個動點，將Q繞點P-1,0逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q'6．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是邊AD上的一動點，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接BF，DG．(1)如圖1，求點G到CD的距離，請寫出解答過程；【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過點D時，求DG的長，請寫出解答過程；【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：(3)求代數(shù)式2DG+BF解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點C由∠ACF=∠DCG，ACDC=CF由∠F1CF=∠ACE，C請完成“……”部分的解答過程．7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，分別經(jīng)過原點O和點A8,0的動直線a，b，其夾角∠OBA=30°，點M是OB中點，連接AM，則AM的最小值是（

A．4 B．23+2 C．438（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，AB＝4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長度的最大值為．9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點M是等邊三角形ABC邊BC的中點，P是三角形內(nèi)一點，連接AP，將線段AP以A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．10．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動點，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線段OQ的最大值為．12．（2017·江蘇無錫·二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連接AF，則AF的最小值是．

14．（24-25九年級上·吉林·階段練習(xí)）【提出問題】如圖1，已知圓O的半徑為2，點Q是圓O上一動點，點P是圓O外一點，連接PQ，取PQ中點M，當(dāng)點Q在圓O上運動時，判斷點M的運動軌跡．【解決問題】（1）小帥同學(xué)進行了探究，他連接線段OP，取其中點N，他猜想點M的運動軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請你幫小帥同學(xué)完成證明過程．【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，取BC中點記為O，以O(shè)為圓心，BC長為直徑作圓O，點E為圓O上一點，連接AE取其中點F，求線段DF的最小值．【靈活運用】（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，點F在以A為圓心22長為半徑的圓上，連接CF，取其中點M，連接AM并延長交線段BC于點N，則∠ANB最大為°15．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動點，則BP+（2）問題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點E是平面上一點，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運會，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對一正方形區(qū)域ABCD進行設(shè)計改造，方使大家鍛煉運動．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計等腰直角△CEF為健身運動區(qū)域，直角頂點E設(shè)計在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價為每米100元，請求出鋪設(shè)CF和DF

重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題費馬點與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）【題型匯總】類型一費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結(jié)論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.直角三角形①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最?。虎凇螦PB=∠BPC=∠APC=120°【進階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC問題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時△PCE為等腰直角三角形，即PE=PC因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=PC，因此原式=PA+PB+PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=求2PA+PB+PC最小值思路：原式=2（PA+PB+PC）

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點P作PF⊥CE于點F,則PF=PC;2)PB利用三角形中位線來處理；3）PA前的系數(shù)是1，不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=PC，過點F作FG∥DE，則FG=PB，則當(dāng)A、P、F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=,原式=2（PA+PB+PC）=求2PA+4PB+PC最小值過程：△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=PC，過點F作FG∥DE，則FG=AP，則當(dāng)B、P、F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=,原式=4（PA+PB+PC）=備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.題型01普通費馬點模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形內(nèi)的點滿足，則稱點為的費馬點．如圖，在中，，，則的費馬點到，，三點的距離之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過作于點，過分別作，則，證明，所以點是的費馬點，再通過解直角三角形即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過作于點，過分別作，∵是等腰三角形，∴，∴，∴點是的費馬點，∵，，∴，∴，，在中，由勾股定理得：，∴，∴，即的費馬點到，，三點的距離之和為，故選：．2．（21-22九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為．【答案】【分析】將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時當(dāng)B、P、F、D四點共線時，的值最小，最小值為BD的長；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=∴，∴當(dāng)B、P、F、D四點共線時，的值最小，最小值為BD的長；∵，∠CAD=，∴∠EAD=，∴，∴，∴，∴，∴的值最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上．3．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．【答案】【分析】將△AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，則MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共線時最短；由于點E也為動點，可得當(dāng)D′E⊥BC時最短，此時易求得D′E＝DG＋GE的值；【詳解】解：將△AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，∴D′M、MM′、ME共線時最短，由于點E也為動點，∴當(dāng)D′E⊥BC時最短，此時易求得D′E＝D′G＋GE＝∴MA＋MD＋ME的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在中，，連接，，以點為圓心，長為半徑畫弧，弧分別交、、于點、、，點是上方內(nèi)一動點，點是上一動點，連接、、，則的最小值為．【答案】/【分析】如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，證明為等邊三角形，為等邊三角形，可得，，當(dāng)，，，，共線時，，此時最小，再進一步求解即可．【詳解】解：如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，∴，，，∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴，，當(dāng)，，，，共線時，，此時最小，∵，∴，而，，∴，，，∴，，∵，∴，∴的最小值為；故答案為：【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如可看做是圖一中的長，可看做是的長．材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在中有一點使得的值最小．著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下：將繞點向外旋轉(zhuǎn)得到，并連接易得是等邊三角形、，則，則，所以的值最小為．請結(jié)合以上兩材料求出的最小值

【答案】【分析】本題考查坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造直角三角形，，，以為坐標原點構(gòu)造直角坐標系，設(shè)為，進而得到，，，將繞點點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，并做，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的性質(zhì)，求出的長，根據(jù)，進行求解即可．【詳解】解：原式可看做下圖中的，其中為則，，將繞點點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，并做，，，，，，為等邊三角形，，，，又，∵，∴，∴的最小值為；的最小值為．

題型02加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，如圖1，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有③；已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在中，三個內(nèi)角均小于，且，已知點P為的“費馬點”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設(shè)成本，通過將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點之間線段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最?。帧咭阎?dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．∴該三角形的“費馬點”為點A，故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③；④．（2）將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時，總的鋪設(shè)成本最低，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為，

過點作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設(shè)成本（元）故答案為：【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）在中，，連接，已知，點E在線段上，將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)為線段．(1)如圖1，線段與線段的交點和點E重合，連接，求線段的長度；(2)如圖2，點G為延長線上一點，使得，連接交于點H，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)最小時，求的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）作，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到，，在中，應(yīng)用勾股定理，求出的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，即可求解，（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到，，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，根據(jù)平行四邊形的判定得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到的長度，即可求解，（3）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間線段最短，得到，當(dāng)在線段上時取得最小值，作，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到，在中，應(yīng)用勾股定理得到，，，，由，得到，在中，得到，在中，得到，，根據(jù)，即可求解，本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過旋轉(zhuǎn)得到．【詳解】（1）解：過點作，交延長線于點，∵，，∴，，∴，∵，∴，，，∵，∴，在中，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴是等腰直角三角形，∴，故答案為：，（2）解：連接，，∵，，∴，，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，∴，∴，當(dāng)在線段上時取得最小值，延長與延長線交于點，過點作于點，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∵，∴，，∴，在中，，，，∵，即：，解得：，在中，，在中，，∴，∴，故答案為：．8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準備條件，再證即可；（2）①先確定當(dāng)在矩形外，且三點共線時，的長度最大，并畫出圖形，在中求出的長，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過P作于S，過點L作垂直的延長線于點Q，確定，當(dāng)C、P、K、L四點共線時，的長最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當(dāng)在矩形外，且三點共線時，的長度最大，如圖所示：

此時，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當(dāng)C、P、K、L四點共線時，的長最小，由題意，，，，，過點L作垂直的延長線于點Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的知識與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.題型03加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)9．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，點是正方形內(nèi)部一點，求的最小值．【答案】【分析】延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．先證明，可得，再證明，可得：，從而得到，計算出的長度即可．【詳解】解：延長到，使得，則，在的內(nèi)部作射線，使得，使得，連接，，．，，，，，，，，，，，，，的值最小，最小值為．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費馬點問題，利用相似構(gòu)造與，根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵．10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，在內(nèi)有一點，連接，，，若的最小值為，則的值為．

【答案】【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計算方法，掌握圖象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)并放大倍，得，連接，根據(jù)邊的關(guān)系可得，，由此可得，作直角，根據(jù)可得的長，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)并放大倍，得，連接，

∴，，，∴在中，，∴，根據(jù)兩點之間線段最短，∴在中，，∵的最小值為，，∴，在中，，∴，∵，∴，延長，作點作，交于點，∴，且，在中，，∴，，∴，∴在中，，∴，解得，，故答案為：．11．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值【答案】【分析】將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴大倍，得到△，當(dāng)點B、P、、在同一直線上時，=最短，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴大，相似比為倍，得到△，則，，，過點P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點B、P、、在同一直線上時，=最短，此時=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．∴=B=【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點共線的知識求解，有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形．12．（2024·重慶·二模）已知中，點和點是平面內(nèi)兩點，連接，和，．(1)如圖1，若，，，求的長度；(2)如圖2，連接和，點為中點，點為中點，連接和，若，求證：；(3)若，，當(dāng)取得最小值，且取得最大值時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點作交于點，證明即可求解；（2）取的中點，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出，再證明，得出，進而即可得證；（3）將繞點順時針轉(zhuǎn)得到，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，根據(jù)，當(dāng)四點共線時，最小，進而確定的位置，根據(jù)點在為圓心，為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)取得最大值時，在的延長線上，連接，過點作于點，進而解直角三角形，求得的長，根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作交于點，∵中，∴，，∵，，∴，．又∵，∴∴∴；（2）解：如圖所示，取的中點，連接，又∵是，，∴，∵∴，∵，為的中點，∴，在中，∴∴∴即又∵即，∴∴∵∴∴（3）解：∵中，，∴是等邊三角形，如圖所示，將繞點順時針轉(zhuǎn)得到，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∴，，，則是等邊三角形，是等邊三角形，∵取的中點，則，∵是的中點，，，∴∴當(dāng)四點共線時，最小此時如圖所示，∴∵，∴，∴是直角三角形，∴是直角三角形，∴∵∴∴設(shè)，則，，在中，∵是等邊三角形，∴，在中，∴∴解得：∴，取的中點，連接，∵∴點在為圓心，為半徑的圓上運動，∴，∴當(dāng)取得最大值時，在的延長線上，連接，過點作于點，在中，，∴，∴，∴，∴的面積為．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費馬點問題，點與圓的位置關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【針對訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則；若，P為的費馬點，則．【答案】5【分析】①作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60，P為的費馬點則四點共線，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過作，垂足為,過分別作,則,P為的費馬點5②如圖：.將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費馬點即四點共線時候，=故答案為：①5，②【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)．2．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，在內(nèi)部有一點P，連接、、．（加權(quán)費馬點）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點共線時，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點共線時最小，最小值為，過點A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點共線時最小，最小值為，過點A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線時最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時的值最?。谥校?，，過點作交BC延長線于E，然后求出，的長，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點共線時，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點共線時，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過點C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點共線時，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線時最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時的值最?。谥?，，，過點作交BC延長線于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點在什么位置時，線段的和最?。?．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題背景如圖1，P為內(nèi)部一點，連接，將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由，，可知為___________三角形，故，又，故，由___________可知，當(dāng)在同一條直線上時，取最小值，如圖2，最小值為，此時的P點為該三角形的“費馬點”．（2）問題解決如圖3，在中，三個內(nèi)角均小于，且，，，求的最小值；（3）問題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊的連線構(gòu)成一個三角形，且，，．現(xiàn)欲在內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊的鋪設(shè)成本分別為元，元，萬元，是否存在合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低，若存在請求出成本的最小值．【答案】（1）等邊；兩點之間線段最短（2）5（3）【分析】（1）根據(jù)推論過程填寫根據(jù)即可；（2）根據(jù)（1）的方法將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，即可得出可知當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，最小值為，再根據(jù)可證明，根據(jù)勾股定理即可求出；（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，得到等腰△，推出，即可得出當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，即取最小值為的長，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出即可．【詳解】（1），，為等邊三角形，由幾何公理：兩點之間線段最短可得：，當(dāng)，，，在同一條直線上時，取最小值．故答案為：等邊，兩點之間線段最短．（2）如圖4，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，由（1）可知當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，最小值為，，，又，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，即的最小值為5；（3）總鋪設(shè)成本萬元，當(dāng)最小時，總鋪設(shè)成本最低，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，過點作于，過點作于，如圖：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，在中，，，當(dāng)、、、在同一條直線上時，取最小值，即取最小值，其最小值為的長度，，，，，，，的最小值為，總鋪設(shè)成本最小值為：（元．【點睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．4．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費馬點的思考問題背景17世紀有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”．

素材1解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段行轉(zhuǎn)化：如圖：把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，這樣就把確定的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了．當(dāng)，四點共線時，線段的長為所求的最小值，容易證明，此時點P為的“費馬點”．

素材2圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為，準備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一感悟證明定理請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．內(nèi)的區(qū)域B．內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，最少費用為多少？【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：A；任務(wù)三：研發(fā)區(qū)E應(yīng)建在內(nèi)部，且滿足時花費最少，最少費用為元【分析】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，將待求線段的和通過旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．任務(wù)一：證明是等邊三角形即可證明結(jié)論；任務(wù)二：結(jié)合任務(wù)一結(jié)論選擇即可；任務(wù)三：把繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，為等邊三角形，證出，當(dāng)且僅當(dāng)在上時，的值為最小，為，過點作，交延長線于點H，求出最小值，即可求出結(jié)論．【詳解】解：任務(wù)一：如圖，由旋轉(zhuǎn)得：，∴是等邊三角形，∴，∵，∴；

任務(wù)二：在素材2中，由題意得：要找一點E到A、B、C三點距離和最小，研發(fā)區(qū)E建在內(nèi)的區(qū)域比較合適，故選：A；（3）如圖，把繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到，則，連接，為等邊三角形，，繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到，，，，當(dāng)且僅當(dāng)在上時，的值為最小，為，此時，點E在內(nèi)部，且滿足，過點作，交延長線于點H，在中，，，，在中，，最小值為，此時費用為元．

5．（21-22八年級上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當(dāng)時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點之間線段最短得出點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，點P在CB′上即可；（3）將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．【詳解】（1）解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；（2）證明：將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∴點P在CB′上，∴過的費馬點．（3）解：將△APB逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；（4）解：將△BCE逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點C，點E，點E′，點B′四點共線時，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點之間線段最短，四點共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在中，若將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接；求；（2）【問題探究】如圖②，已知是邊長為的等邊三角形，以為邊向外作等邊三角形，P為內(nèi)一點，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q．①求證：；②求的最小值；（3）【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形中，，是矩形內(nèi)一動點為內(nèi)任意一點，是否存在點P和點Q，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①見解析；②12；（3）存在，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明全等即可；②連接，得到是等邊三角形，由兩點之間線段最短得，求出即可得解；（3）過點P作交于點E，交于點F，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，設(shè)交于點G，由可得，進而求得，當(dāng)時，有最小值，運用勾股定理可求解．【詳解】（1）解：∵將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，故答案為：；（2）①證明：∵是等邊三角形，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，在和中，，∴；②連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，由兩點之間線段最短得，∴，∴當(dāng)點A、P、Q、D在同一條直線上時，取最小值，為的值，延長，作，交的延長線于點E，∵是邊長為的等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，即取最小值為12．（3）存在一點P和一點Q，使得有最小值，理由如下：過點P作交于點E，交于點F，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，設(shè)交于點G，如圖所示：由（2）知，當(dāng)在同一直線上時，有最小值，最小值為，在矩形中，，∴，，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點P在上，∴當(dāng)時，有最小值，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理．類型二瓜豆模型型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動模型”，即：一個動點隨另一動點的運動而運動,分別叫做“主動點”與“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件(“一定兩動、定角、定比”)；①有一個定點、兩個動點，且一個動點(從動點)因另一個動點(主動點)的運動而隨之運動；②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角;③兩個動點到定點的距離的比值是定值.1)本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.2)在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值.3)部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得.【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且，如果A點的運動軌跡是直線圖示：結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，，直線BB′與直線AA′的夾角為α【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且，A點在⊙O1上運動圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為.2)當(dāng)α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動