矩陣的內(nèi)涵如果不熟悉線性代數(shù)的概念，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來就和文盲差不多。然而“按照現(xiàn)行的國際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過公理化來表述的，它是第二代數(shù)學(xué)模型，這就帶來了教學(xué)上的困難。*矩陣究竟是什么東西？向量可以被認(rèn)為是具有n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示，矩陣又是什么呢？我們?nèi)绻J(rèn)為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復(fù)合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應(yīng)用？特別是，為什么偏偏二維的展開式如此有用？如果矩陣中每一個(gè)元素又是一個(gè)向量，那么我們?cè)僬归_一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？*矩陣的乘法規(guī)則究竟為什么這樣規(guī)定？為什么這樣一種怪異的乘法規(guī)則卻能夠在實(shí)踐中發(fā)揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關(guān)的問題，最后竟然都?xì)w結(jié)到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規(guī)則下面，包含著世界的某些本質(zhì)規(guī)律？如果是的話，這些本質(zhì)規(guī)律是什么？*行列式究竟是一個(gè)什么東西？為什么會(huì)有如此怪異的計(jì)算規(guī)則？行列式與其對(duì)應(yīng)方陣本質(zhì)上是什么關(guān)系？為什么只有方陣才有對(duì)應(yīng)的行列式，而一般矩陣就沒有（不要覺得這個(gè)問題很蠢，如果必要，針對(duì)mxn矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因?yàn)闆]有這個(gè)必要，但是為什么沒有這個(gè)必要）？而且，行列式的計(jì)算規(guī)則，看上去跟矩陣的任何計(jì)算規(guī)則都沒有直觀的聯(lián)系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質(zhì)？難道這一切僅是巧合？*矩陣為什么可以分塊計(jì)算？分塊計(jì)算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？*對(duì)于矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算AT，有(AB)T=BTAT，對(duì)于矩陣求逆運(yùn)算A-1，有(AB)-1=B-1A-1。兩個(gè)看上去完全沒有什么關(guān)系的運(yùn)算，為什么有著類似的性質(zhì)？這僅僅是巧合嗎？*為什么說P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？*特征值和特征向量的本質(zhì)是什么？它們定義就讓人很驚訝，因?yàn)锳x=λx，一個(gè)諾大的矩陣的效應(yīng)，竟然不過相當(dāng)于一個(gè)小小的數(shù)λ，確實(shí)有點(diǎn)奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來界定？它們刻劃的究竟是什么？今天先談?wù)剬?duì)線形空間和矩陣的幾個(gè)核心概念的理解。首先說說空間(space)，這個(gè)概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的命根子之一，從拓?fù)淇臻g開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實(shí)還是比較初級(jí)的，如果在里面定義了范數(shù)，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內(nèi)積空間，內(nèi)積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數(shù)學(xué)定義，大致都是“存在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概念，然后滿足某些性質(zhì)”，就可以被稱為空間。這未免有點(diǎn)奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會(huì)看到，其實(shí)這是很有道理的。我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀）的三維空間，從數(shù)學(xué)上說，這是一個(gè)三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個(gè)空間有些什么最基本的特點(diǎn)。仔細(xì)想想我們就會(huì)知道，這個(gè)三維的空間：1.由很多（實(shí)際上是無窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；2.這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系；3.可以在空間中定義長度、角度；4.這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)，這里我們所說的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)（變換），而不是微積分意義上的“連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)，事實(shí)上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發(fā)生的符合規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（變換）。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種空間中往往會(huì)存在一種相對(duì)應(yīng)的變換，比如拓?fù)淇臻g中有拓?fù)渥儞Q，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實(shí)這些變換都只不過是對(duì)應(yīng)空間中允許的運(yùn)動(dòng)形式而已。因此只要知道，“空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認(rèn)線性空間是個(gè)空間，那么有兩個(gè)最基本的問題必須首先得到解決，那就是：1.空間是一個(gè)對(duì)象集合，線性空間也是空間，所以也是一個(gè)對(duì)象集合。那么線性空間是什么樣的對(duì)象的集合？或者說，線性空間中的對(duì)象有什么共同點(diǎn)嗎？2.線性空間中的運(yùn)動(dòng)如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？我們先來回答第一個(gè)問題，回答這個(gè)問題的時(shí)候其實(shí)是不用拐彎抹角的，可以直截了當(dāng)?shù)慕o出答案。線性空間中的任何一個(gè)對(duì)象，通過選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個(gè)不那么平凡的例子：L1.最高次項(xiàng)不大于n次的多項(xiàng)式的全體構(gòu)成一個(gè)線性空間，也就是說，這個(gè)線性空間中的每一個(gè)對(duì)象是一個(gè)多項(xiàng)式。如果我們以x0,x1,...,xn為基，那么任何一個(gè)這樣的多項(xiàng)式都可以表達(dá)為一組n+1維向量，其中的每一個(gè)分量ai其實(shí)就是多項(xiàng)式中x(i-1)項(xiàng)的系數(shù)。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關(guān)就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就稱T為線性變換。定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線性變換，就是從一個(gè)線性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話里蘊(yùn)含著一層意思，就是說一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對(duì)象，這個(gè)變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個(gè)非奇異矩陣來描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，一定是一個(gè)線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個(gè)說起來就會(huì)比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個(gè)不算是重點(diǎn)，如果確實(shí)有時(shí)間的話，以后寫一點(diǎn)。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最重要的是把握主干內(nèi)容，迅速建立對(duì)于這門學(xué)問的整體概念，不必一開始就考慮所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。接著往下說，什么是基呢？這個(gè)問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系。就這意思。好，最后我們把矩陣的定義完善如下：“矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來加以描述。”理解這句話的關(guān)鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開。一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨校粋€(gè)對(duì)象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。如果還不形象，那就干脆來個(gè)很俗的類比。比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定了一個(gè)鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個(gè)照片可以看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是一個(gè)片面的的描述，因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。同樣的，對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來描述這個(gè)線性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢？如果是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話。好在，我們可以找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是：若矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系：A=P-1BP線性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯(cuò)，所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。按照這個(gè)定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點(diǎn)，不過能讓人明白。而在上面式子里那個(gè)矩陣P，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時(shí)間的話，我以后在blog里補(bǔ)充這個(gè)證明。這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。原來一族相似矩陣都是同一個(gè)線性變換的描述啊！難怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線性變換的。當(dāng)然，同一個(gè)線性變換的不同矩陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來看并不是不分好環(huán)的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè)線性變換。這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表換到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺。首先來總結(jié)一下前面兩部分的一些主要結(jié)論：1.首先有空間，空間可以容納對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。一種空間對(duì)應(yīng)一類對(duì)象。2.有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對(duì)象運(yùn)動(dòng)的。3.運(yùn)動(dòng)是瞬時(shí)的，因此也被稱為變換。4.矩陣是線性空間中運(yùn)動(dòng)（變換）的描述。5.矩陣與向量相乘，就是實(shí)施運(yùn)動(dòng)（變換）的過程。6.同一個(gè)變換，在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以本征值相同。下面讓我們把視力集中到一點(diǎn)以改變我們以往看待矩陣的方式。我們知道，線性空間里的基本對(duì)象是向量，而向量是這么表示的：

[a1,a2,a3,...,an]

矩陣呢？矩陣是這么表示的：

a11,a12,a13,...,a1na21,a22,a23,...,a2n...an1,an2,an3,...,ann不用太聰明，我們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間里的方陣是由n個(gè)n維向量組成的。我們?cè)谶@里只討論這個(gè)n階的、非奇異的方陣，如果一組向量是彼此線性無關(guān)的話，那么它們就可以成為度量這個(gè)線性空間的一組基，從而事實(shí)上成為一個(gè)坐標(biāo)系體系，其中每一個(gè)向量都躺在一根坐標(biāo)軸上，并且成為那根坐標(biāo)軸上的基本度量單位（長度1）。現(xiàn)在到了關(guān)鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，而且如果矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種情況），那么組成這個(gè)矩陣的那一組向量也就是線性無關(guān)的了，也就可以成為度量線性空間的一個(gè)坐標(biāo)系。結(jié)論：矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系。之所以矩陣又是運(yùn)動(dòng)，又是坐標(biāo)系，那是因?yàn)椤斑\(yùn)動(dòng)等價(jià)于坐標(biāo)系變換”。對(duì)不起，這話其實(shí)不準(zhǔn)確，我只是想讓你印象深刻。準(zhǔn)確的說法是：“對(duì)象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換”。或者：“固定坐標(biāo)系下一個(gè)對(duì)象的變換等價(jià)于固定對(duì)象所處的坐標(biāo)系變換。”說白了就是：“運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的。”讓我們想想，達(dá)成同一個(gè)變換的結(jié)果，比如把點(diǎn)(1,1)變到點(diǎn)(2,3)去，你可以有兩種做法。第一，坐標(biāo)系不動(dòng)，點(diǎn)動(dòng)，把(1,1)點(diǎn)挪到(2,3)去。第二，點(diǎn)不動(dòng)，變坐標(biāo)系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點(diǎn)還是那個(gè)點(diǎn)，可是點(diǎn)的坐標(biāo)就變成(2,3)了。方式不同，結(jié)果一樣。從第一個(gè)方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣看成是運(yùn)動(dòng)描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的過程。在這個(gè)方式下，Ma=b的意思是：“向量a經(jīng)過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。”而從第二個(gè)方式來看，矩陣M描述了一個(gè)坐標(biāo)系，姑且也稱之為M。那么：Ma=b的意思是：“有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M的度量下得到的度量結(jié)果向量為a，那么它在坐標(biāo)系I的度量下，這個(gè)向量的度量結(jié)果是b。”這里的I是指單位矩陣，就是主對(duì)角線是1，其他為零的矩陣。而這兩個(gè)方式本質(zhì)上是等價(jià)的。我希望你務(wù)必理解這一點(diǎn)，因?yàn)檫@是本篇的關(guān)鍵。正因?yàn)槭顷P(guān)鍵，所以我得再解釋一下。在M為坐標(biāo)系的意義下，如果把M放在一個(gè)向量a的前面，形成Ma的樣式，我們可以認(rèn)為這是對(duì)向量a的一個(gè)環(huán)境聲明。它相當(dāng)于是說：“注意了！這里有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M中度量，得到的度量結(jié)果可以表達(dá)為a。可是它在別的坐標(biāo)系里度量的話，就會(huì)得到不同的結(jié)果。為了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在坐標(biāo)系M中度量的結(jié)果。”那么我們?cè)倏垂铝懔愕南蛄縝：

b

多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實(shí)不是b，它是：

Ib也就是說：“在單位坐標(biāo)系，也就是我們通常說的直角坐標(biāo)系I中，有一個(gè)向量，度量的結(jié)果是b。”而Ma=Ib的意思就是說：“在M坐標(biāo)系里量出來的向量a，跟在I坐標(biāo)系里量出來的向量b，其實(shí)根本就是一個(gè)向量啊！”這哪里是什么乘法計(jì)算，根本就是身份識(shí)別嘛。從這個(gè)意義上我們重新理解一下向量。向量這個(gè)東西客觀存在，但是要把它表示出來，就要把它放在一個(gè)坐標(biāo)系中去度量它，然后把度量的結(jié)果（向量在各個(gè)坐標(biāo)軸上的投影值）按一定順序列在一起，就成了我們平時(shí)所見的向量表示形式。你選擇的坐標(biāo)系（基）不同，得出來的向量的表示就不同。向量還是那個(gè)向量，選擇的坐標(biāo)系不同，其表示方式就不同。因此，按道理來說，每寫出一個(gè)向量的表示，都應(yīng)該聲明一下這個(gè)表示是在哪個(gè)坐標(biāo)系中度量出來的。表示的方式，就是Ma，也就是說，有一個(gè)向量，在M矩陣表示的坐標(biāo)系中度量出來的結(jié)果為a。我們平時(shí)說一個(gè)向量是[2357]T，隱含著是說，這個(gè)向量在I坐標(biāo)系中的度量結(jié)果是[2357]T，因此，這個(gè)形式反而是一種簡化了的特殊情況。注意到，M矩陣表示出來的那個(gè)坐標(biāo)系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，同樣存在這組向量是在哪個(gè)坐標(biāo)系下度量而成的問題。也就是說，表述一個(gè)矩陣的一般方法，也應(yīng)該要指明其所處的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。所謂M，其實(shí)是IM，也就是說，M中那組基的度量是在I坐標(biāo)系中得出的。從這個(gè)視角來看，M×N也不是什么矩陣乘法了，而是聲明了一個(gè)在M坐標(biāo)系中量出的另一個(gè)坐標(biāo)系N，其中M本身是在I坐標(biāo)系中度量出來的。回過頭來說變換的問題。我剛才說，“固定坐標(biāo)系下一個(gè)對(duì)象的變換等價(jià)于固定對(duì)象所處的坐標(biāo)系變換”，那個(gè)“固定對(duì)象”我們找到了，就是那個(gè)向量。但是坐標(biāo)系的變換呢？我怎么沒看見？請(qǐng)看：Ma=Ib我現(xiàn)在要變M為I，怎么變？對(duì)了，再前面乘以個(gè)M-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個(gè)坐標(biāo)系M嗎，現(xiàn)在我讓它乘以個(gè)M-1，變成I，這樣一來的話，原來M坐標(biāo)系中的a在I中一量，就得到b了。我建議你此時(shí)此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對(duì)這件事情的理解。比如，你畫一個(gè)坐標(biāo)系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個(gè)坐標(biāo)系里，坐標(biāo)為(1，1)的那一點(diǎn)，實(shí)際上就是笛卡爾坐標(biāo)系里的點(diǎn)(2,3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個(gè)坐標(biāo)系:

20

03

的x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3，這樣一來坐標(biāo)系就變成單位坐標(biāo)系I了。保持點(diǎn)不變，那個(gè)向量現(xiàn)在就變成了(2,3)了。怎么能夠讓“x方向度量縮小為原來的1/2，而y方向度量縮小為原來的1/3”呢？就是讓原坐標(biāo)系：

20

03

被矩陣：

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左乘。而這個(gè)矩陣就是原矩陣的逆矩陣。下面我們得出一個(gè)重要的結(jié)論：“對(duì)坐標(biāo)系施加變換的方法，就是讓表示那個(gè)坐標(biāo)系的矩陣與表示那個(gè)變化的矩陣相乘。”再一次的，矩陣的乘法變成了運(yùn)動(dòng)的施加。只不過，被施加運(yùn)動(dòng)的不再是向量，而是另一個(gè)坐標(biāo)系。如果你覺得你還搞得清楚，請(qǐng)?jiān)傧胍幌聞偛乓呀?jīng)提到的結(jié)論，矩陣MxN，一方面表明坐標(biāo)系N在運(yùn)動(dòng)M下的變換結(jié)果，另一方面，把M當(dāng)成N的前綴，當(dāng)成N的環(huán)境描述，那么就是說，在M坐標(biāo)系度量下，有另一個(gè)坐標(biāo)系N。這個(gè)坐標(biāo)系N如果放在I坐標(biāo)系中度量，其結(jié)果為坐標(biāo)系MxN。在這里，我實(shí)際上已經(jīng)回答了一般人在學(xué)習(xí)線性代數(shù)是最困惑的一個(gè)問題，那就是為什么矩陣的乘法要規(guī)定成這樣。簡單地說，是因?yàn)椋?.從變換的觀點(diǎn)看，對(duì)坐標(biāo)系N施加M變換，就是把組成坐標(biāo)系N的每一個(gè)向量施加M變換。2.從坐標(biāo)系的觀點(diǎn)看，在M坐標(biāo)系中表現(xiàn)為N的另一個(gè)坐標(biāo)系，這也歸結(jié)為，對(duì)N坐標(biāo)系基的每一個(gè)向量，把它在I坐標(biāo)系中的坐標(biāo)找出來，然后匯成一個(gè)新的矩陣。3.至于矩陣乘以向量為什么要那樣規(guī)定，那是因?yàn)橐粋€(gè)在M中度量為a的向量，如果想要恢復(fù)在I中的真像，就必須分別與M中的每一個(gè)向量進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算。我把這個(gè)結(jié)論的推導(dǎo)留給感興趣的朋友吧。應(yīng)該說，其實(shí)到了這一步，已經(jīng)很容易了。綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那么規(guī)定，一切有根有據(jù)，絕不是哪個(gè)神經(jīng)病胡思亂想出來的。我已經(jīng)無法說得更多了。矩陣又是坐標(biāo)系，又是變換。到底是坐標(biāo)系，還是變換，已經(jīng)說不清楚了，運(yùn)動(dòng)與實(shí)體在這里統(tǒng)一了，物質(zhì)與意識(shí)的界限已經(jīng)消失了，一切歸于無法言說，無法定義了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個(gè)時(shí)候，我們不得不承認(rèn)，我們偉大的線性代數(shù)課本上說的矩陣定義，是無比正確的：“矩陣就是由m行n列數(shù)放在一起組成的數(shù)學(xué)對(duì)象。”好了，這基本上就是我想說的全部了。還留下一個(gè)行列式的問題。矩陣M的行列式實(shí)際上是組成M的各個(gè)向量按照平行四邊形法則搭成一個(gè)n維立方體的體積。對(duì)于這一點(diǎn)，我只能感嘆于其精妙，卻無法揭開其中奧秘了。也許我掌握的數(shù)學(xué)工具不夠，我希望有人能夠給我們大家講解其中的道理了。我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分需要您花些功夫去推敲。此外，請(qǐng)大家不必等待這個(gè)系列的后續(xù)部分。以我的工作情況而言，近期內(nèi)很難保證繼續(xù)投入腦力到這個(gè)領(lǐng)域中，盡管我仍然對(duì)此興致濃厚。不過如果還有（四）的話，可能是一些站在應(yīng)用層面的考慮，比如對(duì)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)相關(guān)算法的理解。但是我不承諾這些討論近期內(nèi)會(huì)出現(xiàn)了。

“分”的反義字是“和”，是我們熟悉的字。比如：2+3=5，從左往右運(yùn)算，我們叫求和。那么“分”呢，既然是反義字，就把上面的等式反過來：5=2+3。把一個(gè)對(duì)象表示成兩個(gè)以至更多的對(duì)象的和，這個(gè)過程叫分析。通常來說，分析對(duì)象應(yīng)當(dāng)與被分析對(duì)象一致。是數(shù)就都是數(shù)，是函數(shù)就都是函數(shù)，是向量就都是向量，是矩陣就都是矩陣。求和是數(shù)學(xué)里最基本的運(yùn)算，減、乘、除是從求和中衍生出來的。而更高級(jí)的冪、指、對(duì)、三角、微積分等，也是一層一層建立起來的，

最根本的還是這個(gè)求和。求和最簡單，最容易計(jì)算，性質(zhì)也最簡單。所以成了分析的基本出發(fā)點(diǎn)。分析的妙處在于，通過分析可以將較復(fù)雜的對(duì)象劃分為較簡單的對(duì)象。比如2和3就比5簡單。單獨(dú)研究2的性質(zhì)，再單獨(dú)研究3的性質(zhì)，再通過簡單的求和，就可以把握5的性質(zhì)。把復(fù)雜的東西劃分成若干簡單對(duì)象的和，對(duì)各簡單對(duì)象搞各個(gè)擊破，再加起來，復(fù)雜的東西也就被掌握了。分析是西方思想中一個(gè)根本性的東西。西方人認(rèn)為，事物總是有因果的，看到了結(jié)果，要分析原因。所謂分析原因，就是找出一堆因素，說明這堆因素合起來導(dǎo)致了結(jié)果。西方人認(rèn)為，事物總是可以分析的。看到了整體，就要把那些合成這個(gè)整體的局部一一分析出來。

現(xiàn)代科學(xué)很大一部分就是這么回事。大學(xué)數(shù)學(xué)里，有很多內(nèi)容就是在講分析。數(shù)學(xué)里的分析還要把含義拓展，就是把一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象合理地表示成若干更簡單對(duì)象與實(shí)數(shù)系數(shù)之積的和。但微積分和線性代數(shù)各有側(cè)重。微積分研究的是無窮項(xiàng)求和。無窮項(xiàng)之和與有窮項(xiàng)之和是本質(zhì)不同的。但是無窮項(xiàng)之和是無法運(yùn)算的，至少不實(shí)際。所以要想辦法通過一種辦法用有窮項(xiàng)之和來近似的代替，這就是逼近。逼近成立的條件是收斂，就是說，只有從一個(gè)收斂的無窮項(xiàng)的開頭截出一部分來求和，才能被認(rèn)為是逼近。華人數(shù)學(xué)家項(xiàng)武義說，微積分就逼近這一板斧，但是無往而不利。微積分主要研究函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的因變量y會(huì)由于自變量x的變化而變化。這種變化也是要分析的。當(dāng)x從

x0變成x1時(shí)，y是怎樣從y0變到y(tǒng)1

的？按照上面的說法，“y的變化（y1-y0)”這一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，要用一系列比較簡單的“變化”相加來表示。數(shù)學(xué)家找到了一個(gè)收斂的“變化”對(duì)象的序列，排在頭一位的是一個(gè)線性的變化量，它的系數(shù)就是導(dǎo)數(shù)，它本身就是微分dy。數(shù)學(xué)家又發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x的變化量無窮小時(shí)，從這個(gè)無窮的、收斂的“變化”對(duì)象序列中，只要截出第一項(xiàng)，也就是微分dy，就無論如何可以精確描述y的變化了。曾在一本書上見過這樣的說法，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析的頂峰。不知道是不是有道理。我自己覺得是這么回事。有了泰勒公式，我們可以任意精確地算一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)上的值。畢竟只是實(shí)數(shù)求和嘛。但是為了表示泰勒公式，我們卻用了一個(gè)挺復(fù)雜的連加代數(shù)式。代數(shù)式不能象實(shí)數(shù)那樣簡單加起來得到一個(gè)對(duì)象，它只能表示成和的形式。這是我們意識(shí)到，在這個(gè)連加式中各對(duì)象存在某些特別的不同，使它們沒法簡單地加到一起。

因此我們有必要討論，把一些性質(zhì)不同的東西加到一起所形成的這個(gè)對(duì)象有什么性質(zhì)。

這就是向量。微積分研究如何把一個(gè)對(duì)象分解為無窮項(xiàng)同質(zhì)對(duì)象之和，線性代數(shù)研究“有限項(xiàng)異質(zhì)對(duì)象之和”這個(gè)新對(duì)象的性質(zhì)。一方面，上面說過，微積分到最后還是要化無窮為有窮，化精確為逼近；另一方面，異質(zhì)對(duì)象經(jīng)過某種處理可以轉(zhuǎn)化為同質(zhì)對(duì)象。比如不同次的冪函數(shù)是異質(zhì)對(duì)象，但是一旦代入具體數(shù)值則都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，變成了同質(zhì)對(duì)象。因此線性代數(shù)研究的問題對(duì)微積分很重要。故我認(rèn)為大學(xué)里應(yīng)先講線性代數(shù)，后講微積分。我們的微積分教學(xué)，將重點(diǎn)過分傾注在微分和積分的運(yùn)算上了，其實(shí)實(shí)踐中更為重要的是我們稱為“級(jí)數(shù)”的那部分內(nèi)容。即研究如何將一個(gè)量表達(dá)為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如何將一個(gè)函數(shù)表達(dá)為一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。線性代數(shù)把異質(zhì)對(duì)象之和（向量）作為研究的基礎(chǔ)，研究這些新定義的對(duì)象加起來又可以表示什么。其結(jié)論是，有限數(shù)量的向量連加起來，有可能具有這樣的能力，即同維的全部向量都可以表示成這些向量的和。這樣的一組具有充分表現(xiàn)能力的向量，是線性無關(guān)的向量，組成了一個(gè)向量空間，而它們自己構(gòu)成了這個(gè)向量空間里的一組基。回到分析的概念上，一個(gè)向量總可以表示為若干個(gè)同階向量之和，這就是向量的分析。但是并不是所有的這些分析都具有相同的價(jià)值。在某種運(yùn)算中，某種特別的分析能夠提供特別優(yōu)越的性，從而大大簡化運(yùn)算。比如在大多數(shù)情況下，將一個(gè)向量表示成一組單位正交基向量的和，就能夠在計(jì)算中獲得特別的便利。面對(duì)某個(gè)問題，尋找一個(gè)最優(yōu)越的分析形式，把要研究的對(duì)象合理地表示成具有特殊性質(zhì)的基對(duì)象與實(shí)數(shù)系數(shù)之積的和，這是分析的重要步驟，也是成功的關(guān)鍵。在這種表示式中，系數(shù)稱為坐標(biāo)。經(jīng)典的方法都是以找到一組性質(zhì)優(yōu)良的基為開端的，例如：傅立葉分析以正交函數(shù)系為基，因此具有優(yōu)良性質(zhì)，自1904年以來取代冪函數(shù)系，成為分析主流。在曲線和曲面擬合中，正交多項(xiàng)式集構(gòu)成了最佳基函數(shù)。

拉格朗日插值多項(xiàng)式具有一個(gè)特別的性質(zhì)，即在本結(jié)點(diǎn)上為1，在其他結(jié)點(diǎn)上為0。有限元中的形函數(shù)類似拉氏插值多項(xiàng)式。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的主振型迭加法，也是以相互正交的主振型為基，對(duì)多質(zhì)點(diǎn)體系位移進(jìn)行分析的。舉兩個(gè)例子：說到采樣，大家的第一反應(yīng)肯定是一個(gè)詞“2倍”（采樣定理）。學(xué)得比較扎實(shí)的，可能還會(huì)把為什么是2倍解釋清楚。但我對(duì)采樣的理解是：采樣實(shí)際上是在進(jìn)行正交分解，采樣值不過是在一組正交基下分解的系數(shù)。如果原信號(hào)屬于該組正交基所張成的線性子