PAGEPAGE1第25講平面對量的數量積與平面對量應用舉例1.若向量a,b,c滿意a∥b且a⊥c,則c·(a+2b)= ()A.4 B.3 C.2 D.02.若向量a,b滿意|a|=|b|=2,a與b的夾角為60°,則|a+b|等于 ()A.22+3 B.2C.4 D.123.已知|a|=1,b=(0,2),且a·b=1,則向量a與b夾角的大小為 ()A.π6 B.π4 C.π3 4.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a方向上的投影為.

5.一質點受到平面上的三個力F1,F2,F3(單位:N)的作用而處于平衡狀態,已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分別為2和4,則F3的大小為.

6.[2024·濟南模擬]已知兩個非零向量a與b的夾角為銳角,則 ()A.a·b>0 B.a·b<0C.a·b≥0 D.a·b≤07.[2024·衡水中學月考]已知平面對量a,b的夾角為π3,且|a|=1,|b|=12,則|a-2b|= (A.1 B.3 C.2 D.38.[2024·安徽江南十校聯考]已知向量a與b均為單位向量,若2a-b也是單位向量,則向量a與b的夾角為 ()A.45° B.60°C.90° D.135°9.[2024·成都七中二診]若向量AB=12,32,BC=(3,1),則△ABCA.12 B.C.1 D.310.設向量a=(3,1),b=(x,-3),c=(1,-3),若b∥c,則a-b與b的夾角為 ()A.30° B.60°C.120° D.150°圖K25-111.[2024·龍巖模擬]如圖K25-1所示,△AOB為等腰直角三角形,OA=1,OC為斜邊AB上的高,點P在射線OC上,則AP·OP的最小值為 ()A.-1 B.-1C.-14 D.-12.[2024·賀州模擬]已知矩形ABCD中,AB=2,AD=3,點P為矩形內一點,且|AP|=1,則(PC+PD)·AP的最大值為 ()A.0 B.2 C.4 D.613.[2024·寧夏平羅中學四模]已知|a|=2,|b|=2,a與b的夾角為45°,且λb-a與a垂直,則實數λ=.

14.已知△DEF的外接圓的圓心為O,半徑為4,假如OD+DE+DF=0,且|OD|=|DF|,則向量EF在FD方向上的投影為.

15.[2024·貴州黔東南州一模]在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.D,E是線段AB上滿意條件CD=12(CB+CE),CE=12(CA+CD)的點,若CD·CE=λc2,則當角C為鈍角時,λ的取值范圍是 (A.-136,2C.-136,116.[2024·淮南一模]如圖K25-2所示,已知圓M:(x-4)2+(y-4)2=4,四邊形ABCD為圓M的內接正方形,E,F分別為邊AB,AD的中點,當正方形ABCD繞圓心M轉動時,ME·OF的取值范圍是 ()圖K25-2A.[-82,82] B.[-8,8]C.[-4,4] D.[-42,42]課時作業(二十五)1.D[解析]由a∥b及a⊥c,得b⊥c,則c·(a+2b)=c·a+2c·b=0.故選D.2.B[解析]|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos60°=4+4+2×2×2×12=12,所以|a+b|=23.故選B3.C[解析]cos<a,b>=a·b|a||b|=11×2=12,又向量a與b的夾角在區間[0,π]內,所以向量4.2[解析]由題意知a+b在a方向上的投影為(a+b)·a5.27[解析]易知F1+F2=-F3,所以|F3|2=|F1+F2|2=4+16+2×2×4×12=28,所以|F3|=276.A[解析]因為a·b=|a||b|cos<a,b>,兩個非零向量a與b的夾角為銳角,所以a·b>0,故選A.7.A[解析]因為平面對量a,b的夾角為π3,且|a|=1,|b|=12,所以|a-2b|=(a-2b)2=8.A[解析]由題意知(2a-b)2=2a2-22a·b+b2=2-22a·b+1=1,∴a·b=22=cos<a,b>,∴<a,b>=45°,故選A9.A[解析]∵AB=12,32,BC=(3,1),∴|AB|=1,|BC|=2,又AB與BC的夾角的余弦值為AB·BC|AB||BC|=32,∴∠ABC=150°,∴S△ABC=12×1×10.D[解析]因為b∥c,所以-3x=(-3)×1,所以x=3,所以b=(3,-3),a-b=(0,4),所以a-b與b的夾角的余弦值為-124×23=-3211.B[解析]設|OP|=t≥0,因為AP=OP-OA,則AP·OP=(OP-OA)·OP=OP2-OA·OP=t2-22t=t-242-18≥-18,當t=24時取等號,所以AP·OP的最小值為-112.B[解析]以點A為原點,以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,如圖.設P(x,y),因為|AP|=1,所以點P在第一象限內的以A為圓心的單位圓上,則x2+y2=1(x>0,y>0).依據三角函數定義,設P(cosα,sinα)0<α<π2,C(2,3),D(0,3),則PC=(2-cosα,3-sinα),PD=(-cosα,3-sinα),AP=(cosα,sinα),所以(PC+PD)·AP=2cosα-2cos2α+23sinα-2sin2α=432sinα+12cosα-2=4sinα+π6-2,當α=π3時,其取得最大值2,故選B.13.2[解析]由|a|=2,|b|=2,a與b的夾角為45°,得a·b=|a||b|cos45°=2×2×22=22.∵λb-a與a垂直,∴(λb-a)·a=λa·b-|a|2=22λ-4=0,解得λ=214.-6[解析]由OD+DE+DF=0,得DO=DE+DF.∴DO經過EF的中點,∴DO⊥EF.連接OF,∵|OF|=|OD|=|DF|=4,∴△DOF為等邊三角形,∴∠ODF=60°,∴∠DFE=30°,且EF=4×sin60°×2=43,∴向量EF在FD方向上的投影為|EF|·cos<EF,FD>=43cos150°=-6.15.A[解析]依題意知D,E分別是線段AB上的兩個三等分點,則有CD=23CB+13CA,CE=13CB+23CA,則CD·CE=2a29+2b29+59CB·CA,而CB·CA=a2+b2-c22,則CD·CE=2a29+2b29+518(a2+b2-c2)=λc2,化簡得18λ+59=a2+b2c2,由C為鈍角知a2+b2<c16.B[解析]因為圓M的半徑為2,所以正方形AB