PAGEPAGE15.1平面對(duì)量的概念及線性運(yùn)算、平面對(duì)量基本定理及坐標(biāo)表示【真題典例】挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.平面對(duì)量的基本概念與線性運(yùn)算1.了解向量的實(shí)際背景2.理解平面對(duì)量的概念,理解兩個(gè)向量相等的含義3.理解向量的幾何表示4.駕馭向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義2024天津,13向量的線性運(yùn)算和幾何意義平面對(duì)量的數(shù)量積★★☆2009天津,15兩個(gè)向量相等的含義利用數(shù)量積求兩向量的夾角2.向量共線問題駕馭向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義2024課標(biāo)Ⅱ,13向量平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算★☆☆3.平面對(duì)量基本定理了解平面對(duì)量基本定理及其意義2014福建,8平面對(duì)量基本定理平面對(duì)量的坐標(biāo)表示★★☆4.平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算1.駕馭平面對(duì)量的正交分解及其坐標(biāo)表示2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面對(duì)量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算3.理解用坐標(biāo)表示的平面對(duì)量共線的條件2012天津,8平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算利用坐標(biāo)表示向量的模★★★分析解讀高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以選擇題和填空題為主,重點(diǎn)考查向量的概念、幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件和向量的坐標(biāo)運(yùn)算,此類問題一般難度不大.向量的有關(guān)概念、向量的線性運(yùn)算、平面對(duì)量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等學(xué)問是平面對(duì)量的基礎(chǔ),高考主要考查基礎(chǔ)運(yùn)用,其中線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、平面對(duì)量基本定理是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn),要嫻熟駕馭.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一平面對(duì)量的基本概念與線性運(yùn)算1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),則與a-b同向的單位向量為()A.513,-1213B.-答案A2.在△ABC中,G為重心,記a=AB,b=AC,則CG=()A.13a-23bB.13a+23bC.23a-1答案A3.M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),23MB+MA+MC=0,D為AC中點(diǎn),則A.12B.1答案B考點(diǎn)二向量共線問題4.已知向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B在直線y=2x上,若AB∥a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

答案(-3,-6)考點(diǎn)三平面對(duì)量基本定理5.D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),則“0<λ<1,0<μ<1”是“點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部(不含邊界)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B6.已知△OAB,若點(diǎn)C滿意AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則1λ+1A.13B.23C.2答案D7.如圖所示,矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,E為AO的中點(diǎn),若DE=λAB+μAD(λ,μ為實(shí)數(shù)),則λ2+μ2=()A.58B.14答案A考點(diǎn)四平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,則實(shí)數(shù)m=()A.12B.-12C.1答案D9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,則t=.

答案±3煉技法【方法集訓(xùn)】方法1平面對(duì)量的線性運(yùn)算技巧1.在△ABC中,點(diǎn)D滿意AD=2AB-AC,則()A.點(diǎn)D不在直線BC上B.點(diǎn)D在BC的延長線上C.點(diǎn)D在線段BC上D.點(diǎn)D在CB的延長線上答案D2.(2013四川,12,5分)在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB+AD=λAO,則λ=.

答案2方法2向量共線問題的解決方法3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,則x=()A.-3B.-32C.23答案B4.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量λa+b與c共線,則實(shí)數(shù)λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案D5.在△ABC中,過中線AD的中點(diǎn)E作一條直線分別交AB,AC于M,N兩點(diǎn),若AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>0),則4x+y的最小值為.

答案9方法3平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算的解題策略6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,則實(shí)數(shù)λ=()A.-3B.13答案A7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量OA=(2,3),OB=(4,-1),且AP=3PB,則|OP|=.

答案7過專題【五年高考】A組自主命題·天津卷題組1.(2024天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案32.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|PA+3PB|的最小值為.

答案53.(2009天津,15,4分)在四邊形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|答案3B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一平面對(duì)量的基本概念與線性運(yùn)算1.(2024課標(biāo)Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34AC答案A2.(2015課標(biāo)Ⅰ,7,5分)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=4答案A3.(2014課標(biāo)Ⅰ,15,5分)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為答案90°考點(diǎn)二向量共線問題1.(2015四川,2,5分)設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=()A.2B.3C.4D.6答案B2.(2024山東,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,則λ=.

答案-33.(2024課標(biāo)Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=.

答案-6考點(diǎn)三平面對(duì)量基本定理1.(2014福建,8,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B2.(2015課標(biāo)Ⅱ,13,5分)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=.

答案1考點(diǎn)四平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算1.(2024課標(biāo)Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為()A.3B.22C.5D.2答案A2.(2024課標(biāo)Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D3.(2014廣東,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),則b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B4.(2024課標(biāo)Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=.

答案15.(2015江蘇,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為.

答案-3C組老師專用題組1.(2015安徽,8,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1B.a⊥bC.a·b=1D.(4a+b)⊥BC答案D2.(2015陜西,7,5分)對(duì)隨意向量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2014課標(biāo)Ⅰ,6,5分)設(shè)D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則EB+FC=()A.ADB.12AD C.BC答案A4.(2014福建文,10,5分)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)隨意一點(diǎn),則OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2025屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),2)已知A、B、C、D是平面內(nèi)隨意四點(diǎn),現(xiàn)給出下列式子:①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正確的有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)答案C2.(2024天津河北一模,7)若O為△ABC所在平面內(nèi)的任一點(diǎn),且滿意(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,則△ABC的形態(tài)為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形答案B3.(2024天津和平一模,7)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點(diǎn),若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為()A.65B.85答案B4.(2024天津河?xùn)|一模,7)設(shè)P是△ABC邊BC上的隨意一點(diǎn),Q為AP的中點(diǎn),若AQ=λAB+μAC(λ,μ∈R),則λ+μ=()A.14B.13C.答案C5.(2024天津和平二模,7)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知DE=12EC,BF=2FC,G為線段EF上的一點(diǎn),且EG=12GF,AG=λAB+μA.25B.12C.4答案D二、填空題(每小題5分,共45分)6.(2024天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60°,|AC|=2,點(diǎn)D在邊AB上,點(diǎn)E在邊BC上,AD=12AB,BE=23BC,若DE·BC=83答案57.(2025屆天津其次十中學(xué)第三次月考,7)已知正方形ABCD的邊長為2,E為BC的中點(diǎn),DF=2FC,則AE·BF=.

答案28.(2024天津部分區(qū)縣二模,14)在△ABC中,AB=62,AC=6,∠BAC=π4,點(diǎn)D滿意BD=23BC,點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn)),若AE=λAB+μAC(λ,μ∈R),則3λ+13μ答案259.(2024天津南開中學(xué)第六次月考,13)在平行四邊形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且AP=1,若AP=xAB+yAD,則3x+2y的最大值為.

答案210.(2024天津耀華中學(xué)一模,13)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=12AB=1,F是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng),E為圓弧DE與AB的交點(diǎn),若AP=λED+μAF,其中λ,μ∈R,則2λ+μ的取值范圍是答案[0,2]11.(2024天津河?xùn)|二模,14)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M在線段AC上,點(diǎn)P在線段BM上,且滿意AMMC=MPPB=2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120°,則AP·BC的值為答案-212.(2024天津試驗(yàn)中學(xué)熱身訓(xùn)練,13)已知△ABC的外接圓圓心為P,若點(diǎn)P滿意AP=25(AB+AC),則cos∠BAC=答案113.(2024天津新華中學(xué)模擬,14)在平面內(nèi),定點(diǎn)A,B,C,D滿意|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,動(dòng)點(diǎn)P,M滿意|AP|=1,PM=MC,則|BM|2的最大值是.

答案4914.(2024天津耀華中學(xué)二模,14)已知函數(shù)f(x)=|MP-xMN|(x∈R),其中MN是半徑為4的圓O的一條弦,O為原點(diǎn),P為單位圓O上的點(diǎn),設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為t,當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),t的最大值為3,則線段MN的長度為.

答案43三、解答題(共10分)15.(2025屆天津河西期中,19)設(shè)平面內(nèi)的向量OA=(-1,-3),OB=(5,3),OM=(2,2),點(diǎn)P在直線OM上,且PA·PB=-16,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求OP的坐標(biāo);(2)求∠APB的余弦值;(3)設(shè)t∈R,求|OA+tOP|的最小值.解析(1)設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P在直線OM上,可知OP與OM共線,而OM=(2,2),∴2x-