第一章

3.如果排列X/2…當是奇排列,則排列居叫7…再的奇偶性如何?

解：排列X/1…占可以通過對排列為馬…Z經過(〃-1)+(〃-2)+…+2+1=〃(7)

次鄰換得到，每一次鄰換都改變排列的奇偶性，故當如六為偶數時，排列X“X“T…匹為

奇排列，當&m■為奇數時，排列…玉為偶排列。

2

4.寫出4階行列式的展開式中含元素a”且帶負號的項.

解：含元素q3的乘積項共有(一1)&3。22。31。44，(-1)'。13。22434。41，(一1)%13。2口32〃44，

(-1)'《3生1。34。42，(-1)'%3。24。32〃41，(-1)'〃[3見必陷42六項，各項列標排列的逆序數分別

為z=7(3214)=3,2二43241)=4,/=r(3124)=2,/=r(3142)=3,Z=r(3421)=5,

t=r(3412)=4,故所求為-1%%。31a抬，一皿3%臼4。42，-1%3。24〃32"。

0…010

0…200

5.按照行列式的定義，求行列式???????????????的值.

n-1…000

0…00n

解：根據行列式的定義，非零的乘積項只有(-1)'&,一任.,T…。1]見”，

其中/=匯[(〃-1)(〃-2)-21//]=("1)5一2),故行列式的值等于：

2

2xx12

1x1-1

6.根據行列式定義，分別寫出行列式的展開式中含一的項和含X3的項.

32x1

111X

解：展開式含一的乘積項為(-1)'〃“〃22〃33〃44=(一1)。2-X-XX=2X

含X3的乘積項為(-1)'2M33%4=(-1)G?1?X?X=-*

8.利用行列式的性質計算下列行列式:

234111111

與-州

23414+10234112

解：(1)1104-37]10

341o外+(々+為+口)3412)1-1

…i

42341230-31-1

11111111

r.+012012-1=10xlxlx(-4)x(-4)=160

410i+W

00o00-4

004000

2141124111241

3-121-13213562

⑵…i二0（第二行與第

123221323-3-50

2

5062\0562D562

四行相同）

aabb211111

與一叫

⑶2aa+b2b田3a+b2b)b-a2b-2a

f2-2s

11abb23ab-ah2-a2

1+x111xx001100

I1-x11-x11I1-x11

(4)=x

I11+X1LG（）0XX)011

1111-x111—x1111-x

123

567

9.若=0,求x.

00x

004

1231500

56760015X4

解:轉置x-4(5x72)

00x一7x42635

004835

12

即有:-4(5x-12)=0=>x=—

5

11.利用行列式按行或列展開的方法計算卜冽行列式:

解：（2）

二(1一〃)[(1一〃)。,+=(1—〃+〃2)。+一,其中:

\-aa

=(\-a)2+a=l-a+a2,〃=|1-1=1.帶入上式即可。

3=-11-

bed

bda

12.設4階行列式=求44+^24+/34+444,

bca

bdc

ahc\

cbd\

解：顯然，行列式按第四列展開,即得Au+A24+/34+A44O注意到該行列

dbc\

ahd\

式的第四列與第一列元素成比例，其值為0,故44+44+44+/44=0?

Zvj+x2+x3=0

14.當4、〃取何值時，齊次線性方程組（+-+x3=0

x}+2/2+x3=0

有非零解？

11Z-1

1-2〃

解：當系數行列式。二/J1=0=-//(2-1)=0

一〃

12〃11

時，齊次線性方程組有非零解，于是要求4=1或〃=0

15.計算下列行列式:

111--?1

01+Q[11

011+%…1（加邊法）

????????

011…1+

1+^J-11???1

111???1

-1a,10…0

0a,10…01

——10a、…0=（第二列的一倍……第〃+1列

00a-■?0

?????????2%

??????

-100…cin

000???an

〃1

的」-倍都加到第一列）按第一列展開（i+￡—…%

an=曰a,

xy0???00

xy0y0…0

0xy?-?00

（）

0xx?y--?0

..............按第一■列展開工x+小㈠產

??????

00

X00???y

y0

3

(2)(1,2,3)2=(lx3+2x2+3xl)=(10)

2r2x(-1)2x2]4

⑶1(-1,2)=1x(-1)1x22

13x(-1)3x2,6

’131

1400-12，68]

(4)

<1一1341-3<20一6,

<40-2J

“J

“13

⑸%2a23%

4

'121103252、

■)

010012-101-4

(6)

00200-2300-43

、00051000-31000-%

3.求，，其中〃

〃=2時，A

〃=3時，A

設〃=%時,

1n0

故：由數學歸納法知,對任意的自然數〃，有4"二010

001

4.矩陣A稱為反對稱矩陣，若力=_彳/。已知A為〃階反對稱矩陣，B為為〃階對稱矩陣,

試問BA-AB是對稱矩陣還是反對敵矩陣？試證明你的結論。

答：BA-AB是一個對稱矩陣。證明如下：

因為：(BA-AB)，=(BA)T-(AB)r=ATBT-BTAT=(--B(-A)=BA-AB

所以：BA-AB是對稱矩陣。

5（部分原題,部分類似題）.求下列矩陣的逆矩陣（請注意伴隨矩陣的計算公式）:

12

(\2、cos。-sin。、

⑴⑵⑶34-2

25,sin0COS0J

15-4

%00

00

⑷（〃以2…。產⑴

(00

解：⑴???M=lw0,故/t存在

(

A~'=，3"二5-2

PI「21

(2)???|川二1工0,故4T存在

(3)?/?|二2工0,故/T存在

4=-44=2,4二°

413=一32,423=14,，33=一2

110

（4）由對角矩陣的性質知力7

01

6（部分原題，部分類似題）.解下列矩陣方程:

<25]r4420，31、

⑴%=⑶X

3)<22-11、0~\)

21-1

7-13、

⑵X210(4)

132)

r010、(\00、-43

100X00120-1

<00b11-20

<25Y74-6、3-5V42-23、

解:WX=

V(2>;-12208,

-i

、（2-1

]-13、

⑵X=20

、432J

J1

101、r-221]

11-13)

-23-2_82

3143)5

2-33°,<-33>

「14、，320Y'123110

⑶丫二

㈠2,<0-1b1211i八o-iJU2

r11

1660、

12302）0

<4

010、1-430OY,

(4)%=10020-1001

(00L1-20八010;

7.設4=0（A為正整數），證明（七一/）'E+4+T+…+T-（請注意證明過程

的邏輯性要正確）

證明：由于力無=0,于是有

兩端同時右乘（E-4）T得

111]、

11-1-1

8.設矩陣/二;（1）求42；（2）證明矩陣A可逆，并求出4"；（3）

1-11-1

1-1-1

求（/廠解:

1、，4000、

-10400

-10040

1J10004,

4000

400,,

（2）因為卜詞.|旬二0二4"工0,所以，力工0,故A可逆。

04011

0004

又因為

-4000、4/41/41/41/4)

0400AA1/41/4-1/4-1/4

A2==4E;即力—=E/故/=—=

0040441/4-1/41/4-1/4

k0004,j/4-1/4-1/41/4,

(3)/>=>忸=16E；

/娟"Q丁=/=?,,(/尸=也

9（本題為類似題）.設方陣/滿足才一/一2￡二°,證明/及4+2E都可逆，并求

及（4+2E）二

證明：由，一力一2月二。得/2一%二2后

于是|才-力|=2,^\A\\A-E\=2,故|/艮0,所以力可逆;

又由42—4—2E=O得/+2E=42

于是M+2?=，卜/270,故4+2E也可逆.

由

A2-A-2E=O->A(A-E)=2EfA-]A(A-E)=2A-XEfA-1=一K)；

又由

42—4-2￡=。=>(4+2￡)4—3(4+2￡)=-4七=(4+2石)(4一3七)=一4￡

n(A+2E)-\A+2E)(A-3E)=-4(4+2E)-1n(4+2七尸=-(3E-A).

4

10.利用逆矩陣解下列線性方程組（注：第一題的方程次序不同，但方程組是同一個方程,

請注意用逆矩陣解法，不可以用消元法）：

+2X2+3X3=1,x(-x2-=2,

⑴2x}+2X2+5xy=2,⑵2再-JV2-3X3=1,

3x)+5X2+x3=3;3x)+2X2-5X3=0.

r123、

解：（1）方程組矩陣表示形式為225“2

<35b6

記方程組為：Ax=b,則三=力一力，

12311Floo1

又,「(4勾=225

2—0100

3513J[0010

3、川(1、々二1

52=0,所以有<&=0

<3>。4二0

（\

（2）方程組矩陣表示形式為2

記方程組為：Ax=b,則與=力一3,

1-1-121005

又?:(45)=

2-1-31J0100

32-500013

司二5

從而有<x2=0

七=3

'03

11.設4=11.（注：請注意矩陣的左乘與右乘的單邊性,

C2

不可搞亂）

及解：由48=4+23可得（/-2E）8=4,故

又

433033100033

???[(/-2￡),4]=1-10110010-213

-121-123001110

033、

故：B=(A-2E)7A=-123

110；

120

12.設A和X滿足XA-￥E=A2-X,其中4=340求矩陣X

567

解：由￡4+七=力2-x得X(力+E)=42-E

220

又由于A+E=350,所以|力+q=32/0,故A+E是可逆矩陣。

568

020

從而有：X=(A2-E\A+EY=(J-E\A+E\A+EY=(A-E)=330

566

12.(本題是第12題的類似題，請注意區別解法的不一樣，再次提醒注意矩陣左乘和右乘

」or

的區別，不可隨意左乘和右乘).設力二020,且4B+E=A?+B,求B.

1101>

解：由+E=+8得(/一E)8=/2—￡

’001、

由于/-E=010,于是|力-同=-1/0,故力一￡可逆.所以

Jooj

13.設m次多項式/(r)=〃o4?〃/+〃2N+…+%/,其中〃0工0,記

n

f(A)=+…+anA,則/(4)為矩陣A的設m次多項式。

(1)若/(4)=0;證明矩陣A可逆，并求出4"；

(2)設A=Pe；證明：Ak=PNP-'；八A)=Pf(A)P”；

2n

解：(1)???/(4)=0；.?.有a0E+a.A+a.AatlA=0

=4可逆，且A~'E+A+A2+…+

(2)vA=P\P~]；

有A*=(PAP-1y=(PAP-1\p\p-])?--(PAP-1)=P\kP-1

?個括.相乘

而f(A)=a.E+外4+%力2+…+Q〃4〃

14.設矩陣A的伴隨矩陣是4、證明:

(1)若|*=0；則|/|二。；

⑵-1

證明：(1)用反證法證明.假設|/卜0則有/(4尸二￡

又由于44*=:忸

所以以=4E=AA^Ay1=|/忸(才尸=0?￡(/尸=0

.?.4=0,這與卜*卜0矛盾

故當|旬二0時，有|/|=0.

由于4t=」才，

⑵則44*=|/忸,于是\A\Z=|4

若何工0則以［=?「|；若M=O,則由⑴知M|=o,此時命題也成立.故有

⑷*r

4A

15.設矩陣A二個72,其中&是〃,x〃矩陣，證明矩陣A可逆的充要條件是：

U刀22

4”力22均可逆。并求廣：

'AA

證明：因為A=2,其中4是劣X力矩陣，

所以：|川=|4小區2|，故M』Oo|4i|uO且M/wO。即矩陣A可逆的充

要條件是：41，122均可逆。

設岸其中X,是〃jX%.矩陣；且AX=E；則

41X”+力12占14lX[2+彳12丫22

AX=人］1'“占2］」4=E

o心」|_八七」一［力22、21422八

解得:

A-1占24：-4%困

即：o蜀

0A

16.設n階矩陣A及s階矩陣B均可逆，求

B0

解:因為：設n階矩陣A及s階矩陣B均可逆;所以：4"及4?均存在。設

X=71蓼2，其中X”是SXS方陣；X）,是〃X〃方陣；且

%AX

。=E；即22=E,顯然可取:

BOj|_%

21BXinBXn

,故

y21=j-'；yI2=^-；y1I=A^22=0,

oAT]_[o

B01-JA-}0

17.已知A,B為三階對稱矩陣,且滿足24T8=8-4￡;其中E為三階單位矩陣。

證明：（1）矩陣A-2E可逆，并求出（/一2七/

-1-20-

（2）若矩陣8=120,求矩陣A。

002_

證明：（1）又?:24-B=B-4E;

」.A可逆，二邊同時左乘A知：23=48-44;

=（/一2E）可逆，且（/一2E）-1=-

4

又「A,B為三階對稱矩陣；Ar=A,Br=B；而且又已知

2A“B=B—4E;

即：…三。故（4—2￡）T=與盧

1-20-3-20

(2)B=120，二.3-4E=1-20

00200-2

-20-20

故(4—2E)T=if-20=>(A-2E)=S1-20

800-200-2

,110

10044

3

0100

-8

n+2r200I8

00

2

10

44-220

_3

故：(A—2E)=80-1-30

8~8

00-4

00

2

說明：本題解題切記要用上對稱矩陣的概念和性質,多余的結論不用證明，只做題目

要求的內容。如B可逆是不必要在此提出的。

18.設矩陣X滿足4X=/T%+2X,其中

11

A=-11

1

11-11

解：:A=-111;B=10；A^X=A-]B+2X

1-110-1

112-22

VHI=-11=4,所以代入上式得:22-2X=B

1-222

2-22

=X=22-2B.

-222

%

lOo%

2-2211%

o1O

2行初等變換,

由于2-210o-x

%。

-2220-1O1

%

_

21

%1

;

---

所以二4

x%O

一

101

19.設三階矩陣A,B滿足A2B-A-B=E,其中E為三階單位矩陣，A=020

-201

求|B|。

解：?.?A°B-A-B=E；

[A1-E)B=A^Ei

又

A2-E

101101100-102100-202

020020010040010030

-201-201001-40-1001-40-2

32—同=36W0,所以/2—E是可逆矩陣;

M+EL18J

故|42_q.忸?M+用=忸|=匕

A2-E362

202

20.設A,B均為三階矩陣，E為三階單位矩陣，已知AB=2A+B；B=040求

202

(4-4。

解：?;AB=2A+B=>(A-E)B=2A=>(A-E)B=(1A-2E)+2E

001

=（4—￡）仍丁）二￡；所以（力一E）可逆，巨（力一￡尸=”產010

100

習題三

2.設a+夕=(2,3,-1,0,4),a-4=(—6,8,11,1,4),求a,夕.

解：a=；［(2,3,-1,0,4)+(-6,8,11,1,4)］=f-2,p5,J-,4L

2122y/

i(5］、

P--［(2,3,-l,0,4)-(-6,8,l1,1,4)］=4,一-.-6,--,01

3.設3(/-a)+2(%+。)=。3-2a,其中因=(1,2,34),a2=(0,-2,1,-1),

4=(1,0,-2,1),求a.

解：由

3(%-a)+2Q+a)=%-2。

n3%一3。+2a?+2。=a；-2ana=-3al-2a2+ay

4.把向量夕表示為向晟組%,%，%。4的線性組合：

(1)a)=(1,1,1,1),a2=(1,1,1,0),a3=(1,1,0,0),a4=(1,0,0,0)>夕=(0,2,0,7)；

解：設k}ax+k2a2+k3a%+k4a4=p

TT

(2),a2=(1,2,1,3,1),4=(l,l,0,l,0)T,a.,=(2,2,0,0,0),

p=(0,l,0,l,0)T.

解：設匕a+k2a2+ka+k4a4=0

5.設外,%，…，％是互不相同的數，%=(1嗎，。；產“。)，

%=(1,。2，4，…，。片)，……%=(］，明,片,…,"*)?證明：任一〃維行向量都可由

向量組四,見，…，氏線性表示.

解：設尸二伯,…為任意的〃維行向量，并設占%+&%+…+%〃％,=￡，

由此得到一個以尢，魚，…尤為未知量，〃個方程的線性方程組，其系數行列式為范德蒙

行列式，且不等于0(因為4,外，…,明是互不相同的數)，由克萊姆法則知，該線性方程組

有唯一解，故尸可由四,線性表示，且表示方法唯一。

6.判斷卜列向量組的線性相關性：

⑴%二(1,1,0,0)，(x2=(1,0,1,0)，%=(0,0,1,1)，%=(1,0,0,1)；

解設

%*2+&=0匕二0

k.=0

1=>\42二0

勺岡+ka++ka=0=>?\囚,。2，。3，。4線性無

22AA%2+M=0幺=0

&+〃4=°k4=0

關。

TTT

(2)aI=(4,3-1,1-1)，a2=(2,l-3,2-5),a3=(l,-3,O,l,-2),

%=(1,52-2,6)，

解：仿⑴。

(abc、

7.證明：上三角矩陣A=Ode的行向量組線性相關的充要條件是主對角

［。0/>

線上的元素至少有一個為零.

解：矩陣力的行向量線性相關的充要條件是齊次線性方程組Jbk\+dh=G有非零解,

M+ek2+幾=0

。00

而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數行列式。=bd0=adf=O,故

cef

矩陣A的行向量線性相關的充要條件是A的主對角線上的元素至少有一為零。

8.設⑶=%?，Pi=az1f力3=031a4，P\=a41al.證明向量組

四,夕2，自，夕4線性相關?

解：要證明四*2,夕3,凡線性相關，就要找到不全為零的數配攵2M3,右，使得

3+k2fi2+k3fl3+k4fi4=0

上式的左端可寫成

kM+k2p2+4鳳+kA-&Q+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+%)+%(a4+.)

K+%=o001

4+%,=()1100

令4由于其系數行列式。二八=0,故有非零解。即存在不全

&十43=00110

k3+k4=00011

為零的數4,七，％，&，

使（%]+h）4+（尢+42）氏+（%2+%3）。3+（%3+%4）%=0成立，亦即

k\/3\+k2P2+小鳳+左444=°成立,

所以,用血血血線性相關。

9.設向量組%,。2，%線性無關.證明：向量組%+。2，。2+%，%+%也線性無

關.

證明：設左|（%+%）+&（%+%）+%3（。3+，）=°，即

(占+質)四+(/i+0)%+(%2+%3)。3=0，

kx+k3=0k、=0

解得卜2=0，故向量組

因為a},a2,a3線性無關=><仁+質=0

k2+k3=0%3=0

?1+a2,a2十。1線性無關。

1o.判斷下列各命題是否正確：

（1）若向量組四,4,…,a”是線性相關的，則向量a可由向量組a,,…，a”線性表

示.（錯）

（2）若向量力不能由向量組a,“線性表示，則向量組四。2,…，巴?，可線性

無關.（錯）

（3）若k\,k?,…,⑥不全為0時，k}a}+k2a2+???+kmamwo,則向最組

%,修，…,線性無關.（錯）

（4）若向量組%,4，…"〃和向量組夕，尸2,…，瓦分別線性相關，則有不全為。的

數匕，42,…，&.，使得

-4+:%+???+,%=0，—+知％=0

同時成立.（錯）

11.利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個極大無關組:

9123、<1-133、

1-1330123

(1)初等行變換（行階梯形）=>4的列向量組

2024—0011

、2I-12；<0001?

線性無關,列向量組的極大無關組就是它本身。

’11221、’11221、

0215-10215-1

(2)初等行變換（行階梯形）n力的

203-1300-22-2

J104一”0000,

列向量組的一個極大無關組為四,%,。3（或者或者等等）

12.求卜.列向量組的秩及一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示:

(1)s=(1,2,1,3),a2=(4-1-5,-6),。3=(1,-3,-4,-7)；