試題PAGE1試題2024北京十二中初二（下）期中數學（滿分100分，時間120分鐘）一、選擇題（共24分，每題2分）1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.3.直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，若，，則b的值為（）A.4 B.8 C.12 D.1444.下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A.， B.，C.， D.，5.如圖，在中，D，E，F分別是邊，，的中點，若，，則四邊形的周長為（）A.13 B.21 C.26 D.526.如圖，點在數軸上，其表示的數為，過點作，且，以點為圓心，為半徑作弧，與數軸正半軸交于點，則點表示的實數為（）A. B. C. D.47.在平行四邊形中，有兩個內角的度數比為，則平行四邊形中較小的內角是（）A. B. C. D.8.矩形具有而菱形不具有的性質是（）．A.兩組對邊分別平行 B.對角線相等C.對角線互相平分 D.兩組對角分別相等9.如圖，矩形的兩條對角線相交于點O．若，，則邊的長為（）A. B.2 C. D.110.某工廠要制作一些等腰三角形的模具，工人師傅對四個模具的尺寸按照腰長、底長和底邊上高的順序進行了記錄，其中記錄有錯誤的是（）A.26，10，24 B.10，16，6 C.17，30，8 D.13，24，511.下列命題正確的是（）A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線相等且互相平分的四邊形是菱形C.對角線垂直且互相平分的四邊形是矩形D.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形12.如圖，在中，，F是的中點，作于E，連接、，下列結論不成立的是（）A. B.C. D.二、填空題（共20分，每題2分）13.若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_________．14.計算的結果等于___________．15.在平行四邊形ABCD中，∠A+∠C＝100°，則∠A＝__．16.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是___．17.如圖，在中，點D、E分別是的中點，若，則_________．18.如圖，在平行四邊形中，，對角線交于點O，點E為邊的中點．若，則的長為______．19.下列命題：①如果兩個實數相等，那么它們的平方相等；②如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么；③平行四邊形的對角線互相平分．其中逆命題是真命題的是__________（填寫所有正確結論的序號）．20.如圖，在中，，，，D，E分別是邊和上的點，把沿著直線折疊，若B恰好落在中點M上，則長為______．21.如圖，在正方形中，邊長為2的等邊三角形的頂點E，F分別在上，則的面積為______．22.如圖，四邊形和四邊形都是正方形，E是延長線上一個動點，點G在射線上（不與點C重合），H是的中點，連接．若，則的最小值為______________．三、解答題（共56分，第23題，每小題3分，第24-26題，每題4分，第27-30題，每題5分，第31-32題，每題6分）23.計算；（1）；（2）；（3）；（4）．24.閱讀材料，并完成任務．“平行四邊形的判定”這節課上，研究了平行四邊形的三個判定定理之后，老師問：“還有其它能夠判定平行四邊形的方法嗎？”小雨說：“我發現一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”．老師說：“這個命題是真命題”．要證明這個命題是真命題，需要先分清命題的題設和結論．然后畫出相應的圖形、寫出已知和求證，最后完成證明，請你在下表中完成相應的任務．已知：，求證：畫圖：證明：25.如圖，在中，對角線相交于點O，于點A，，，求平行四邊形的邊的長．26.在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．證明四邊形是菱形27.下面是小明設計的作矩形ABCD的尺規作圖過程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如圖，1、以點A為圓心，BC長為半徑作弧；2、以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D與點B在直線AC異側）；3、連接AD，CD．所以四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據小明設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（括號里填推理的依據）．證明：∵AB＝______，BC＝______，∴四邊形ABCD是平行四邊形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形（________）．28.如圖，在菱形中，對角線，交于點O，過點A作的垂線，垂足為點E，延長到點F，使，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．29.如圖，每個小正方形的邊長都是1，，，，均在網格的格點上．（1）判斷是否為直角：______．（填寫“是”或“不是”）（2）直接寫出四邊形的面積為______．（3）找到格點，并畫出四邊形（一個即可），使得其面積與四邊形面積相等．30.在學習完二次根式后，數學興趣小組開始自主研究根式方程的解法，針對關于x的根式方程，小組成員展開討論（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．材料一：小健同學：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉化為一元方程；小康同學：對，就是要往解的形式轉化，現在關鍵就是要把根號化去；小聰同學：我有辦法，方程左右兩邊同時平方就可以化去根號；小明同學：對，平方可以化去根號，但可能不屬于同解變形，得注意驗根……材料二：解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：將代入原方程，成立．∴原方程的解為．通過以上材料，完成下列問題：（1）解關于x的方程；（2）解關于x的方程．31.如圖，在正方形中，是邊上的一點（不與，重合），點關于直的對稱點是點，連接，，直線，交于點，連接．（1）在圖1中補全圖形，________（填“”“”或“”）；（2）猜想和的數量關系，并證明．（3）用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．32.在平面直角坐標系xOy中，對于兩個點P，Q和圖形W，如果在圖形W上存在點M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么稱點P與點Q是圖形W的一對相好點．（1）如圖1，已知點A（1，3），B（4，3）．①設點O與線段AB上一點的距離為d，則d的最小值為___________，最大值為___________．②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（－2，0）這三個點中，與點O是線段AB的一對相好點的是_____________．（2）直線平行AB所在的直線，且線段AB上任意一點到直線的距離都是1，若點C（x，y）是直線上的一動點，且點C與點O是線段AB的一對相好點，求x的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共24分，每題2分）1.【答案】C【分析】最簡二次根式滿足的條件是∶被開方數不含能開得盡方的因數或因式；被開方數不能是小數或分數；分母中不能出現二次根式．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，不符合題意；B、，不是最簡二次根式，不符合題意；C、，是最簡二次根式，符合題意；D、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，解決本題的關鍵是要熟練掌握滿足最簡二次根式的條件．2.【答案】D【分析】本題考查了二次根式的加、減、乘、除、四則運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．根據二次根式的運算法則逐項判斷即可．【詳解】解：A、與不是同類項二次根式，不能合并，故A錯誤；B、，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、，故D正確，故選：D．3.【答案】C【分析】根據題意，已知直角三角形的一條直角邊和斜邊長，求另一直角邊時直接利用勾股定理求斜邊長即可．【詳解】解：由勾股定理的變形公式可得：，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理的運用，屬于基礎題.本題比較簡單，解答此類題的關鍵是靈活運用勾股定理．4.【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題關鍵．【詳解】解：A、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；B、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；C、四邊形中，一組對邊平行，另一組對邊相等，不能判定是平行四邊形．故本選項符合題意；D、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項不符合題意；故選：C．5.【答案】C【分析】根據D，E，F分別是邊，，的中點，可判定四邊形是平行四邊形，再根據三角形中位線定理，即可求得四邊形的周長．【詳解】解：∵D，E，F分別是邊，，的中點，∴，，，，∴，故選：C【點睛】本題考查平行四邊形的判定，三角形中位線定理，熟練運用中位線定理是解題的關鍵．6.【答案】C【分析】勾股定理求得的長，結合數軸即可求解．【詳解】解：在中，，∴，∴以點為圓心，為半徑作弧，與數軸正半軸交于點，則點表示的實數為，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，實數與數軸，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．7.【答案】D【分析】由平行四邊形的性質得出，推出，再由，求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴平行四邊形中較小的內角是，故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的鄰角互補是解題的關鍵．8.【答案】B【分析】根據矩形與菱形的性質對各選項解析判斷后利用排除法求解：【詳解】A．矩形與菱形的兩組對邊都分別平行，故本選項錯誤，不符合題意；B．矩形的對角線相等，菱形的對角線不相等，故本選項正確，符合題意；C．矩形與菱形的對角線都互相平分，故本選項錯誤，不符合題意；D．矩形與菱形的兩組對角都分別相等，故本選項錯誤，不符合題意．故選B．9.【答案】A【分析】根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，在根據勾股定理求出．【詳解】，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．10.【答案】A【分析】如圖，記等腰三角形的腰長為，底長為，底邊上的高為，由勾股定理得，，即記錄的數據應該滿足，對各選項計算判斷即可．【詳解】解：如圖，記等腰三角形的腰長為，底長為，底邊上的高為，由勾股定理得，，即記錄的數據應該滿足，A中，記錄錯誤，故符合要求；B中，記錄正確，故不符合要求；C中，記錄正確，故不符合要求；D中，記錄正確，故不符合要求；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，等腰三角形的性質．解題的關鍵在于正確的運算求解．11.【答案】D【分析】本題考查了命題真假的判斷以及平行四邊形、菱形、矩形和正方形的判定，根據定義：符合事實真理的判斷是真命題，不符合事實真理的判斷是假命題，不難選出正確項．根據平行四邊形的判定方法對A進行判斷．根據菱形的判定方法對B進行判斷；根據矩形的判定方法對C進行判斷；根據正方形的判定方法對D進行判斷．【詳解】解：A.對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，故選項A說法不正確；B.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故選項B說法不正確；C.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，故選項C說法不正確；D.對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形，說法正確；故選：D．12.【答案】D【分析】利用平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性質得出對應線段之間關系進而得出答案．【詳解】解：∵F是的中點，∴，∵在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選項A不符合題意；延長，交延長線于M，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵F為中點，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故選項B不符合題意；∵，∴，設，則，∴，，∴，∵，∴，故選項C不符合題意，∵，∴，∵，∴，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，解決本題的關鍵是得出．二、填空題（共20分，每題2分）13.【答案】x≥5【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】∵在實數范圍內有意義，∴x?5?0，解得x?5．故答案為：x≥5【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數a?0，同時也考查了解一元一次不等式．14.【答案】2【分析】直接利用平方差公式求解即可．【詳解】解：;故答案為：2．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，同時也涉及到了二次根式的運算性質以及乘方運算等內容；該題較基礎，解決本題的關鍵是牢記平方差運算公式即可．15.【答案】50°．【分析】根據平行四邊形的性質即可求解.【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝100°，∴∠A＝50°，故答案為：50°．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，解題的關鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質.16.【答案】AB=DC（答案不唯一）【分析】根據平行四邊形的判定定理添加條件即可求解．【詳解】∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∴根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，可添加的條件是：AB=DC（答案不唯一）．還可添加的條件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．17.【答案】6【分析】由點D、E分別是的中點，得到是的中位線，進而得到，即可求解，本題考查了三角形中位線的判定與性質，解題的關鍵是：熟練掌握三角形的中位線．【詳解】解：∵點D、E分別是的中點，∴，∴，故答案為：6．18.【答案】3【分析】先利用勾股定理求出，再證明為的中位線，則．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，即點O為的中點，又∵點E為邊的中點，∴為的中位線，∴，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．19.【答案】②③【分析】先寫出原命題的逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：①原命題的逆命題為：如果兩個實數的平方相等，那么這兩個數相等，是假命題，不符合題意；②原命題的逆命題為：如果三角形的三邊滿足，那么這個三角形是直角三角形，是真命題，符合題意；③原命題的逆命題為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，是真命題，符合題意；故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了判斷一個命題的逆命題真假，熟練掌握勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定，實數的性質是解題的關鍵．20.【答案】【分析】在中，利用勾股定理求得，結合點M是中點可得，由翻折可知，在中運用勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，，，，點M是中點，，由翻折可知，在中，，，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理解直角三角形；解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質，并運用勾股定理正確計算．21.【答案】1【分析】根據正方形的性質和等邊三角形的性質分別得到，，由此可證明得到，進一步證明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．22.【答案】【分析】延長交于點M，證明，則，得到，設，則，，在中，由勾股定理得到，進一步得到，即可得到的最小值．【詳解】解：延長交于點M，∵四邊形是正方形，，∴，，∵四邊形都是正方形，E是延長線上一個動點，∴，，∴，∵H是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，，在中，，∵，∴，∴，即，∴，∴，即的最小值為．故答案為：【點睛】此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，證明是解題的關鍵．三、解答題（共56分，第23題，每小題3分，第24-26題，每題4分，第27-30題，每題5分，第31-32題，每題6分）23.【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）．【分析】本題主要考查二次根式的混合運算法則，掌握二次根式的性質和二次根式的運算法則，是解題的關鍵．（1）先化簡二次根式，再根據二次根式的加減混合運算法則，即可求解；（2）先化簡二次根式，再根據二次根式的乘除混合運算法則，即可求解；（3）根據二次根式的四則混合運算法則，即可求解；（4）先利用平方差公式計算，再根據二次根式的混合運算法則，即可求解．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：；【小問4詳解】解：．24.【答案】見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定、平行線的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定，會根據題意和圖形正確寫出命題的題設和結論是解答的關鍵．先根據題意和圖形寫出已知，再根據平行線的判定與性質，以及平行四邊形的判定解答即可．【詳解】解：已知：，，求證：四邊形是平行四邊形．畫圖：證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．25.【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理等知識．由平行四邊形的性質可知，，，，，在中，由勾股定理得，求的值，在中，由勾股定理即可求得的長．【詳解】解：由平行四邊形的性質可知，，，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得．26.【答案】見解析【分析】根據是的中點，，易證得，即可得，又由在中，，是的中點，可得，證得四邊形是平行四邊形，繼而判定四邊形是菱形。【詳解】證明：如圖，，，是的中點，是邊上的中線，，，在和中，，（），，，，∴四邊形是平行四邊形，，是的中點，，∴四邊形是菱形.【點睛】本題考查了菱形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．根據圖形求解是關鍵．27.【答案】（1）見解析（2）CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】（1）根據要求作出圖形即可．

（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【小問1詳解】解：如圖，四邊形ABCD即為所求．【小問2詳解】證明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對分別相等的四邊形是平行四邊形），

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．

故答案為：CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．28.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）證明，且，，可得，證明四邊形是平行四邊形，結合，可得結論；（2）證明，，，可得，求解，可得，結合，再求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，且，∵，∴，即，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】∵四邊形是菱形，∴，，，∵，∴，在中，由勾股定理可得：∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是菱形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，熟記特殊四邊形的判定與性質是解本題的關鍵．29.【答案】（1）不是（2）14（3）見解析（答案不唯一）【分析】（1）先利用勾股定理分別求出的長，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得；（2）利用分割法求解即可得；（3）先利用平行四邊形的性質找到格點，再利用等高模型畫出圖形即可．【小問1詳解】解：，，，，不是直角，故答案為：不是．【小問2詳解】解：四邊形的面積為，故答案為：14．【小問3詳解】解：如圖，點和四邊形即為所求．【點睛】本題考查了勾股定理與網格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于常考題型．30.【答案】（1）；（2）無解【分析】仿照例題，兩邊平方，得到整式方程，解整式方程，再檢驗即可求解．【小問1詳解】解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：將代入原方程，成立．∴原方程的解為；【小問2詳解】解：兩邊平方得：．解得：．檢驗：當時，，即是增根．∴原方程無解．【點睛】本題考查了解無理方程，掌握解無理方程的步驟是解題的關鍵．注意一定要驗根．31.【答案】（1）補全圖形見解析，（2），證明見解析（3），證明見解