第1頁/共1頁數學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名，考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式計算可得.【詳解】.故選：B2.若角滿足，則角為（）A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】由和tan2θ>0可得cos2θ>0，求得的范圍，繼而分類討論得到所在象限.【詳解】因，由tan2θ=sin2θcos則為第一象限角，即,也即.當時，,即為第一象限角；當時，，即為第三象限角.綜上，角為第一或第三象限角.故選：D3.在中，已知，則C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】分析】利用正弦定理求出，再求出對應角.【詳解】由正弦定理可得，即，解得，則或.故選：D4.已知向量，不共線，，且與共線，則m＝（）A.2 B.－2 C.1 D.－1【答案】B【解析】【分析】應用向量共線定理表達條件，結合數乘運算法則及向量相等條件列方程組求解即可.【詳解】因為與，則存在唯一的實數t，滿足，即，整理可得，已知向量，不共線，等式成立等價于，解方程組，可得.故選：B.5.已知平面向量滿足，，若向量與的夾角為，則（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】首先求出，再由夾角公式求出，最后根據數量積的運算律計算可得.【詳解】因為，又，所以，所以，即，所以，解得（負值已舍去）.故選：A6.若函數的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，且為奇函數，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得的最小正周期，即可求出，從而表示出的解析式，再根據其奇偶性求出.【詳解】因為函數的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，所以的最小正周期，又，所以，所以，則，又為奇函數且，所以，所以，所以的最小值為.故選：A7.如圖，在中，，且BF與CE交于點M，設，則（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】【分析】分別利用和三點共線表示出，再利用平面向量的基本定理列方程組，解出即可.【詳解】因為三點共線，且，所以，又因為三點共線，且，所以，可得，解得，所以.故選：C8.已知正三角形的邊長為，點，都在邊上，且，，為線段上一點，為線段的中點，則的最小值為（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可得，從而轉化為求的最小值，當時取得最小值，利用等面積法求出，即可得解,【詳解】因為，即為的中點，又，所以為的中點，又正三角形的邊長為，所以，依題意，，所以，所以當時取得最小值，如圖，此時點在的位置，連接，則，又，，所以，所以，所以.故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若非零向量滿足，，則B.C.若為單位向量，則D.向量可以作為平面內的一個基底【答案】AC【解析】【分析】根據平面向量共線定理判斷A、D，根據平面向量線性運算法則判斷B，根據數量積的運算律判斷C.【詳解】對于A：因為為非零向量，，所以存在非零實數，使得，又，所以存實數使得，所以，所以，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為為單位向量，所以，所以，，所以，故C正確；對于D：因為，所以，即，所以向量不可以作為平面內的一個基底，故D錯誤.故選：AC10.已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.若將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象，則為奇函數【答案】ABC【解析】【分析】由圖象過點代入計算可判斷A選項，由圖象過點代入可得的范圍，結合兩點以及的橫坐標的長度判斷周期，可確定的值，從而判斷B，由AB可求出解析式，結合誘導公式可判斷C，根據圖象的平移求出解析式，可判斷D.【詳解】解：由圖象可知，函數過，代入則有，所以，又，所以，故A正確；又圖象過點，所以，所以，可得，，因為，所以，即，故B正確；由AB可知：，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度可以得到，為偶函數，故D不正確；故選：ABC11.已知函數，則（）A.的圖象關于直線對稱 B.是周期函數C.對任意的恒成立 D.在上單調遞減【答案】BCD【解析】【分析】計算可判斷A選項，代入可判斷B選項，由三角函數的有界性可判斷C選項，根據同增異減的原則可判斷D選項.【詳解】解：，故A不正確；，所以是周期函數，故B正確；由三角函數的有界性可知：，，所以，故C正確；時，單調遞增，且，又在上單調遞減，所以由同增異減的原則可知在上單調遞減，所以在上單調遞減，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊，折扇的扇面可看作從一個圓面中前下扇形制作而成如圖，扇面的兩條弧長分別為，的長度為，則扇環的面積為______．【答案】【解析】【分析】設所在扇形的半徑為，圓心角為，根據弧長公式求出，再由扇形的面積公式計算可得.【詳解】設所在扇形的半徑為，圓心角為，則，解得，所以扇環的面積為.故答案為：13.南水北調中線工程源頭位于丹江口水庫，重點解決河南，河北，北京，天津的水資源短缺問題．如圖所示，B，E，F為山的兩側處于同一水平線上的三點，在山頂A處測得點B，E，F的俯角分別為60°，75°，45°，計劃沿直線BF開通引水隧洞，現已測得，則隧洞BE的長度為______．參考數據：．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理解，求出，再解求出即可.【詳解】在中，由圖可知，，由正弦定理可得：，又因為，解得，在中，由圖有，，則由正弦定理可得：，解得故答案為：14.已知在平行四邊形ABCD中，，過點B作于點E，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先設，，再用表示，利用模長求出，，再結合得出的范圍，然后利用公式即可求出其范圍.【詳解】設，，則，，因，則，，得，，因，且不共線，則，則a?b>5聯立a?b>54解得，得，則，因，則，故的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為頂點，軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與以為圓心的單位圓相交于點，，且點的坐標為．單位圓與軸的非負半軸交于點，的面積是的面積的倍．（1）求的值；（2）求值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先求出點的坐標，再根據三角函數的定義得解；（2）依題意可得，即可求出，再由平方關系求出，最后由誘導公式化簡，代入計算可得.【小問1詳解】因為在單位圓上，且位于第一象限，所以且，解得，所以，所以，；【小問2詳解】因為的面積是的面積的倍，所以，又，所以，即，又，解得或（舍去）；所以.16.已知向量，，且在方向上的投影數量為．（1）求；（2）若與的夾角是銳角，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求出，，再由在方向上的投影數量為計算可得；（2）首先求出與的坐標，依題意且與不共線，即可求出參數的取值范圍.【小問1詳解】因為，，所以，，又在方向上的投影數量為，所以，解得；【小問2詳解】由（1）可知，所以，，因為與的夾角是銳角，所以且與不共線；當時，即，解得；當與共線時，，解得；綜上可得實數的取值范圍為.17.已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原來的圖象重合．（1）若，求的值域；（2）求函數的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據周期性求出的值，即可得到解析式，根據周期性轉化為求出的值域即可；（2）由，結合的值域及二次函數的性質計算可得.【小問1詳解】因為函數的圖象向左平移個單位長度后與原來的圖象重合，所以，所以，又，所以，所以，且其最小正周期，所以在上的值域與的值域相同，由，則，所以，所以當時的值域為.【小問2詳解】因為，又，所以，所以，即函數的值域為.18.已知函數的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在區間上的單調性；（3）若函數在區間上恰有2個零點，求b的取值范圍．【答案】（1）（2）的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.（3）【解析】【分析】（1）由最值確定的取值，由兩個最值點的距離確定周期，求出，代入特殊點可求出，從而求出解析式；（2）代入，求出整體的范圍，依據正弦函數單調區間求出的具體范圍，確定單調性；（3）化簡函數，求出函數的第二零點和第三零點，可確定的范圍.【小問1詳解】由圖象可知，解得：，又由于，所以，由圖象及五點法作圖可知：，所以，因為，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，因為，所以，當時，即時，單調遞增，當時，即時，單調遞減，所以的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.【小問3詳解】，函數在區間上恰有2個零點，等價于在區間上恰有2個零點.時，，令，則圖象的第二個零點為，即，第三個零點為，即，所以.19.在中，已知角A，B，C對邊分別為a，b，c，D為邊上一點．（1）若，，求；（2）若，平分，，求的取值范圍；（3）若于點，且，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，即可得到，結合得到、，最后由余弦定理計算可得；（2）由等面積法得到，再由余弦定理得到，再由基本不等式求出的范圍，最后利用換元法及函數的性質計算可得；（3）設，則，由余弦定理得到，再由面積公式得到，從而得到，在中過點