試題PAGE1試題2024北京三帆中學初二（下）期中數學注意：（1）時間100分鐘，滿分100分；（2）請將答案填寫在答題紙上．一、選擇題（每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.下列各式中，最簡二次根式是（）A. B. C. D.2.下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）A.1，1，2 B.2，3，4 C.1，， D.9，12，133.下列計算正確的是（）A. B.C. D.4.某城市中有如圖所示的公路，它們互相垂直，公路的中點與點被湖隔開，若測得的長為，的長為，則兩點間的距離為（）A. B. C. D.5.如圖，一次函數的圖象與x軸交于點，與的圖象交于點，則下列說法正確的是（）A.關于x，y的方程組的解是B.方程的解是C.方程的解是D.不等式的解集是6.下列說法正確的是（）A.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形C.對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形D.對角線互相垂直的四邊形是菱形7.如圖，在平面直角坐標系中，正方形的頂點B在x軸上，頂點C在y軸上，且，，則正方形的面積是（）A.4 B.9 C.13 D.58.如圖1，已知點E，F，G，H是矩形各邊的中點，，．動點M從某點出發，沿某一路徑勻速運動，設點M運動的路程為x，過點M作于點Q，則的面積y關于x的函數關系的圖象如圖2所示，那么這條路徑可能是圖中的（）A. B.C. D.二、填空題（每小題2分，共16分）9.若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_______．10.某校合唱團有30名成員，下表是合唱團成員的年齡分布統計表：年齡（單位：歲）13141516頻數（單位：名）416x對于不同的x，下列關于年齡的統計量不會發生改變的是______．（請填入正確的序號）①平均數②中位數③方差④眾數11.如果一次函數的圖象經過第三象限，且與y軸正半軸相交，那么k______0，b______0．12.如圖，點P是正方形的對角線上一點，，，垂足分別為點E，F，連接，，若，則______．13.等腰三角形周長為20cm，底邊長ycm與腰長xcm之間的函數關系是_________，自變量x的取值范圍是_________．14.如圖，矩形中，，，為上一點，將沿翻折至，與相交于點，且，則的長為______．15.將直線向上平移3個單位可得直線．將直線向______（填“左”或“右”）平移______個單位所得直線的解析式為．16.如圖1，四邊形是菱形，連接，動點P從點A出發沿折線勻速運動，回到點A后停止．設點P運動的路程為x，線段的長為y，圖2是y與x的函數關系的大致圖象，則菱形的面積為______．三、解答題（共68分）17.計算：（1）（2）18.如圖，在中，點E、F分別在、上，且．求證：四邊形是平行四邊形．19.如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．在圖中已標出線段，A，B均為格點，按要求完成下列問題．（1）以為對角線畫一個，且C，D為格點，點C在線段AB的上方；（2）則（1）中的周長是______，面積是______；（3）僅用無刻度直尺畫出上圖中的一條中位線（保留所有畫圖痕跡）．20.如圖，直線（）經過點，且與直線相交于點．（1）求m、k和b的值；（2）過點且垂直于x軸的直線與，分別交于C，D兩點．①當時，求的面積；②當點C位于點D上方時，直接寫出n的取值范圍是______．21.如圖，在中，M、N是上兩點，，連接、、、，且．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求的長．22.2024年4月，某校舉辦了藝術節活動，戲劇老師為調查八年級學生對某種傳統劇目H的了解情況，從南、北兩個校區各隨機抽取41名學生進行知識測試，并對成績進行收集、整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．南校區八年級H知識測試得分的頻數分布表；（數據分成6組：，，，，，）；南校區八年級H知識測試得分頻數1013m631合計41b．南校區八年級H知識測試得分在這一組的是：70.270.570.771.071.071.171.271.871.972.573.073.874.5；c．南、北兩個校區八年級H知識測試得分的平均數，中位數如下：平均數中位數南校區八年級73.8n北校區八年級7474.4根據以上信息，回答下列問題：（1）表中m和n的值分別為______，______；（2）若南校區八年級共有410名學生參加H知識測試，估計南校區八年級本次H知識測試80分以上（含80分）有多少人？（3）在南校區八年級抽取的學生中，記H知識測試得分高于他們的平均分的人數為；在北校區八年級抽取的學生中，記H知識測試得分高于他們的平均分的人數為，比較與的大小，并說明理由．23.圖1是藝術節期間初二年級學生在數學活動課上折疊正方體的一個面，學生們稱之為“折紙中的弦圖”．其中最中心的四邊形可以作為勾股定理的“無字證明”，也就是不需要代數運算，而是通過對于正方形的分割與拼接，就能得到直觀的證明，英國佩里加爾就曾經這樣命名了“水車翼輪法”（圖2）．該證法是用線段，將正方形分割成四個全等的四邊形，再將這4個四邊形和正方形拼成大正方形（圖3）．（1）若正方形的邊長是6，，則正方形的面積為______，的長為______；（2）若的直角邊分別用a、b來表示，則的長可以表示為______；（用含a、b的代數式表示）；（3）某學生發現這種無字證明不需要分割成四個全等的四邊形，只需要在右圖中畫出這種互相垂直的分割線段，然后再將分割后的四邊形進行平移拼接，例如四邊形1平移到大正方形中1的位置，請你畫出剩下的三個平移后的四邊形，并用2、3、4分別表示．24.在函數的學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合函數圖象研究函數性質的過程．以下是研究函數性質及其應用的部分過程，請按要求完成下列各題：x……01234……y……a25b521……（1）寫出表中a、b的值：______，______；描點、連線，在答題卡上所給的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象．（2）結合函數圖象，下列說法正確的有______．（請填入所有正確結論的序號）①該函數圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為y軸；②該函數圖象不經過第三象限；③當時，y隨x的增大而減小；④若點，為該函數圖象上不同的兩點，則；⑤該函數圖象與直線、以及x軸圍成區域的面積大于14：（3）結合所畫函數圖象，直接寫出不等式的解集是______．25.已知：如圖1，等腰三角形中，．以A為頂點作，其中，．連接、，取的中點G，連接．（1）如圖1，寫出一個與相等的角______；（2）如圖2，若，，且點D在邊上，E在邊上，直接寫出______；（3）若，，①如圖3所示，求與的數量關系；②在圖4，圖5中分別畫出取最大值與最小值時的示意圖，并直接寫出的最值．（可用含m的代數式表示）26.在平面直角坐標系中，對于直線和直線，在上取一點，在上取一點，若，以，為鄰邊作菱形，則菱形為的相關菱形，稱為的相關菱角，的對邊稱為的相關菱邊．特別地，當時，直線，即直線，代表軸．例如：如圖，，，，則菱形為的相關菱形，為的相關菱角，的對邊為的相關菱邊．（1）若菱形是的相關菱形，則的相關菱角的度數是______；（2）若菱形是的相關菱形，當點在的相關菱邊上時，求的值；（3）當的相關菱邊與（其中）的相關菱邊都經過點時，直接寫出的取值范圍．參考答案一、選擇題（每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.【答案】B【分析】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關鍵．根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式判斷即可．【詳解】解：A．，故不是最簡二次根式，不符合題意；B．是最簡二次根式，故該選項符合題意；C．，故不是最簡二次根式，不符合題意；D．，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：B．2.【答案】C【分析】本題考查勾股定理的逆定理，三角形三邊的關系，由勾股定理的逆定理可得，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A.，不能構成三角形，不能構成直角三角形；B.，不能構成直角三角形；C.，能構成直角三角形；D.，不能構成直角三角形；故選C．3.【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質、分母有理化，根據二次根式的性質及分母有理化逐一判斷即可求解，熟練掌握其性質是解題的關鍵．【詳解】解：A、，則錯誤，故不符合題意；B、，則錯誤，故不符合題意；C、，則錯誤，故不符合題意；D、，則正確，故符合題意；故選D．4.【答案】A【分析】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據直角三角形斜邊上的中線性質解題即可．【詳解】是公路的中點即兩點間的距離為故選：A．5.【答案】A【分析】本題考查了一次函數與一元一次不等式，一次函數與二元一次方程組，結合圖象，逐一判斷即可求解，利用數形結合思想解決問題是解題的關鍵．【詳解】解：A、兩直線的交點坐標為，關于x，y的方程組的解是，則正確，故符合題意；B、一次函數的圖象與x軸交于點，方程的解是，則錯誤，故不符合題意；C、兩直線的交點坐標為，方程的解是，則錯誤，故不符合題意；D、兩直線的交點坐標為，不等式的解集是，則錯誤，故不符合題意；故選A．6.【答案】B【分析】根據平行四邊形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判斷即可．【詳解】解；A.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故原選項說法錯誤，不符合題意；B.有一個角是直角的平行四邊形是矩形，說法正確，故此選項符合題意；C.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原選項說法錯誤，不符合題意；D.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原選項說法錯誤，不符合題意；故選：B【點睛】本題考查了正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定及矩形的判定的運用，解答時熟練的運用平行四邊形、菱形的判定方法和正方形、矩形的性質是解答的關鍵．7.【答案】D【分析】本題考查正方形的性質、坐標與圖形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．【詳解】解：過點D作于點E，則，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴正方形的面積是，故選D．8.【答案】D【分析】本題考查動點問題的函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．根據點E，F，G，H是矩形各邊的中點，，．得到，，進而得到，點M與點E，點H重合時，此時，的面積都為0，點M與點F，點G時重合，此時，的面積都為12，由圖2得出始點面積為12，當和時，面積都為0，由此即可解答．【詳解】解：點E，F，G，H是矩形各邊的中點，，．，，，如圖，連接，，當點M與點E，點H重合時，此時，三點再一條直線上，的面積都為0，當點M與點F時重合，此時，的面積為，當點M與點G時重合，此時，的面積為，由圖2得出始點面積為12，當和時，面積都為0，時，的面積先增大后減小，時，點M運動的路徑是，點M運動的路徑是．故選：D．二、填空題（每小題2分，共16分）9.【答案】【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴x-1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，即被開方數大于等于0．10.【答案】②④【分析】本題主要考查頻數分布表及統計量的選擇，由表中數據得出數據的總數是根本，熟練掌握平均數、中位數、眾數及方差的定義和計算方法是解題的關鍵．由頻數分布表可知后兩組的頻數和為10，即可得知總人數，結合前兩組的頻數知出現次數最多的數據及第15、16個數據的平均數，可得答案．【詳解】解：由表可知，年齡為15歲與年齡為16歲的頻數和為，則總人數為：，故該組數據的眾數為14歲，中位數為：歲，即對于不同的，關于年齡的統計量不會發生改變的是眾數和中位數；故答案為：②④．11.【答案】①.②.【分析】本題考查了一次函數的圖象，根據題意得，一次函數圖象經過一、二、三象限，進而可求解，熟練掌握一次函數的圖象與系數的關系是解題的關鍵．【詳解】解：依題意得：，，故答案為：；．12.【答案】【分析】本題考查了正方形的性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，連接，先證明，再證明四邊形是矩形即可求證．【詳解】連接，如圖，∵四邊形是正方形，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，故答案為：．13.【答案】①.##②.【分析】本題考查了等腰三角形、三角形的三邊關系定理、函數，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關鍵．根據等腰三角形的周長公式、三角形的三邊關系定理即可得．【詳解】由題意得：，得：，即y與x之間的函數關系式是；由三角形的三邊關系定理得：，即，解得，故答案為：，．14.【答案】2.4【分析】首先證明，由全等三角形的性質得到，，然后用表示出AP、CG、BG，最后根據勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC，CD=AB，根據題意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，設AP=EP=x，則PD=GE=3﹣x，DG=x，∴CG=4﹣x，BG=4﹣（3﹣x）=x+1，根據勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即32+（4﹣x）2=（x+1）2，解得：x=2.4，∴AP=2.4，故答案為：2.4.【點睛】本題考查的是翻折變換的性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質和勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質．15.【答案】①.右②.3【分析】本題考查了一次函數圖象的平移．設將直線向右平移m個單位所得直線的解析式為，再根據題意得到，據此計算即可求解．【詳解】解：設將直線向右平移m個單位所得直線的解析式為，整理得，∵平移后的解析式為，∴，解得，將直線向右平移3個單位所得直線的解析式為，故答案為：右；3．16.【答案】【分析】題目主要考查動點函數圖象，菱形的性質，勾股定理，理解題意，確定關鍵點的對應關系是解題關鍵．作，垂足為E，結合運動軌跡及運動圖象得出，當時，y有最小值，此時點P和點E重合，得到，勾股定理求出，然后利用菱形面積公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，作，垂足為E，∵四邊形是菱形，∴，∴，由圖象可得，，當時，y有最小值，此時點P和點E重合，∴，∴，，∴菱形的面積．故答案為：．三、解答題（共68分）17.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次根式的混合運算：（1）根據二次根式的混合運算法則即可求解；（2）根據二次根式的混合運算法則即可求解；熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．【小問1詳解】解：原式．【小問2詳解】原式．18.【答案】見解析【分析】此題考查了平行四邊形的性質和判定，首先得到，證明出，然后結合得到，進而證明即可．【詳解】∵在中，∴∴∵∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形．19.【答案】（1）見解析（答案不唯一）（2），12（3）見解析（答案不唯一）【分析】（1）利用網格的信息找到的中點O，利用平行四邊形對角線互相平分以及C，D為格點畫出即可．（2）結合網格利用勾股定理求出，，進一步求出的周長和面積即可．（3）利用網格的信息找到的中點E，連接即可．【小問1詳解】解：如下為所求：【小問2詳解】∵，，∴的周長是∶，的面積是：故答案為：，12．【小問3詳解】如下：即為所求．【點睛】本題主要考查了利用網格畫出平行四邊形以及用無刻度尺畫三角形的中位線，平行四邊形的性質以及中位線的定義，并利用網格求平行四邊形的面積以及周長．20.【答案】（1），，（2）①②【分析】本題考查了兩個一次函數的交點問題，正確理解題意、熟練掌握一次函數的相關知識是關鍵；（1）先求出點B的坐標，然后根據待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）①先求出點C，D的縱坐標，得到線段的長，利用計算即可解題；②解不等式，得到n的取值值范圍即可解題．【小問1詳解】解：把代入得，解得，∴，把和代入得：，解得，∴；【小問2詳解】①當時，，，∴，∴；②解不等式得：，∴n的取值范圍是．21.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查平行四邊形的性質，矩形的判定，含角的直角三角形的性質和勾股定理，掌握舉行的判定方法是解題的關鍵．（1）先根據平行四邊形的性質得到，，然后根據，，得到，即可證明結論；（2）根據角的直角三角形的性質得到，然后根據勾股定理解題即可．【小問1詳解】證明：∵是平行四邊形，∴，，又∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形；【小問2詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，又∵，，∴，∴，∴．22.【答案】（1），（2）人（3）【分析】本題主要考查了頻數分布表，中位數，用樣本估計總體等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．（1）根據頻數分布表的數據即可求出m，根據中位數的定義即可求出n；（2）用乘以樣本中南校區八年級本次H知識測試80分以上（含80分）的人數占比即可得到答案；（3）南校區八年級的中位數小于平均數，北校區八年級的中位數大于平均數，由此即可得到結論．【小問1詳解】解：，把南校區八年級H知識測試得成績排列后位于第位的數為，∴，故答案為：，；【小問2詳解】解：人，答：南校區八年級本次H知識測試80分以上（含80分）有人．【小問3詳解】解：∵南校區八年級的中位數小于平均數，北校區八年級的中位數大于平均數，∴南校區八年級測試得分高于他們的平均分的人數一定小于總人數的一半，北校區八年級測試得分高于他們的平均分的人數一定大于總人數的一半，∴．23.【答案】（1）16，（2）；（3）見解析【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，證明是解題的關鍵．（1）作于點，由題意，推出，在中，由勾股定理即可求解；（2）設，同（1）理，在中，，在中，，推出，解方程即可求解；（3）根據題意畫出圖形即可．【小問1詳解】解：如圖，作于點，∵將正方形分割成四個全等的四邊形，∴，∴，即，∵正方形，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，，∴正方形的面積為，故答案為：16，；【小問2詳解】解：同（1），作于點，設，則，∴，在中，，在中，，∴，解得，不妨設，則，故答案為：；【小問3詳解】解：如圖所示：24.【答案】（1）,，畫圖見解析（2）①②④⑤（3）或【分析】本題考查了函數的三種表示方式，數形結合思想，不等式解集的確定，熟練掌握函數的表示方法是解題的關鍵．（1）根據函數的表達式，代入計算即可．根據畫圖像的步驟畫出圖象即可．（2）結合圖象或表格的變化規律判斷即可．（3）根據函數的表格方式，列表確定公共點，結合圖象確定解集即可．【小問1詳解】當時,當時,；畫出函數的圖象如圖：故答案為:,；【小問2詳解】根據函數圖象：①該函數圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為軸；說法正確；②由于函數的圖象在軸上方，即圖象不過第三象限，說法正確；③當時，隨的增大而增大；說法錯誤；④點，為關于軸對稱，即，說法正確；⑤如圖，圖象與直線、以及x軸圍成區域的面積大于黑色邊框圈出的面