金華十校2025年4月高三模擬考試數學試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考試注意：1.考生答題前，務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題卷上.2.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題卷上對應題目的答案涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.3.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卷上相應區域內，答案寫在本試題卷上無效.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實數的值為（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】【分析】由向量平行的坐標公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由可得，解得.故選：A2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡集合，根據補集運算和集合間關系判斷.【詳解】因為，，所以.故選：D.3.點繞原點按逆時針方向旋轉到達點，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用三角函數的定義，結合誘導公式求解.【詳解】以原點為角的頂點，軸的非負半軸為角的始邊，令角的終邊過點，則角的終邊過點，且，于是，，，所以點的坐標為.故選：B4.一組不全相等的數據，去掉一個最大值，則下列數字特征一定改變的是（）A.極差 B.中位數 C.平均數 D.眾數【答案】C【解析】【分析】對A，根據極差的定義判斷；對B，舉反例說明；對C，根據平均數的定義，利用反證法證明；對D，舉反例說明.【詳解】對于A，去掉最大值后，新極差為原次大值與最小值之差，若原次大值等于最大值，則極差不變，若原次大值不等于最大值，則極差改變，故A錯誤；對于B，去掉最大值后，中位數可能改變，可能不變，如原數據為，中位數為2，去掉3后，數據為，中位數還是2，故B錯誤；對于C，設原平均數為，且按照從小到大的順序，假設去掉最大值后平均數不變，則，所以，解得，由于原數據不全相等，則，故矛盾，所以平均數一定改變，故C正確；對于D，眾數不一定改變，如數據為，眾數為2，去掉4后，眾數仍為2，故D錯誤.故選：C.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數換底公式以及運算性質，利用作商法結合對數函數的單調性比較大小即可.【詳解】由題意可知，.則，所以.則，所以.所以.故選：D.6.如圖，，是棱長為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先還原幾何體，然后根據三棱錐表面積的求法求得正確答案.【詳解】還原正方體如下圖所示，，，，所以四面體的表面積為.故選：B7.某美妙音樂的模型函數為，則關于該函數下列說法正確的是（）A.最小正周期為 B.是偶函數C.在區間上單調遞增 D.最大值為【答案】C【解析】【分析】應用周期的定義可判斷A；用奇函數和偶函數的定義可判斷B；應用求導判斷C；特值分析判斷D.【詳解】A選項：，A選項錯誤；B選項：，B選項錯誤；C選項：，當時，，，，函數單調遞增，C選項正確；D選項：，當時，，此時，，，即三項無法同時取到最大值，D選項錯誤.故選：C.8.過拋物線：的焦點且斜率為的直線與交于，兩點，線段，的中點分別為，，為坐標原點，直線，與拋物線的另一個交點分別為，，記點，到軸距離分別為，，則（）A. B.C.軸 D.若，則【答案】C【解析】【分析】設，,的直線方程，求出,進而求出，判斷選項A,B,求出直線方程，表達出,判斷選項C,再根據,求出的值，判斷選項D.【詳解】設，,的直線方程，因為線段的中點分別為,所以，根據中位線性質，則，，由拋物線的定義可得，，，故A,B錯誤；設直線方程：，聯立可得，，則，故，同理可得又,則故，故則，故軸故C正確；由,則，則，再由，故則或（舍去），故故，則，故D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數，互為共軛復數，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據共軛復數的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設，則，A選項，，所以A選項正確.B選項，，所以B選項正確.C選項，，，所以C選項正確.D選項，設，則，則，所以D選項錯誤.故選：ABC10.已知中角，，所對的邊分別為，，，滿足，則下列條件能使成為銳角三角形的是（）A. B.， C.， D.，【答案】BC【解析】【分析】由已知可求，對于A，由內角和判斷；對于BCD，由余弦定理判斷即可.【詳解】因為，由余弦定理可得，所以，因為，所以，對于A，當時，，此時成為直角三角形，故A錯誤；對于B，當，時，由余弦定理可得，所以，所以，所以為銳角，由，所以，此時成為銳角三角形，故B正確；對于C，當，時，由余弦定理可得，解得，所以，所以為銳角，由，所以，此時成為銳角三角形，故C正確；對于D，當，時，由余弦定理可得，即，由于，方程無實根，所以不存，故D正確.故選：BC11.幾何體的體積可以看成面積的積累，因此可以得到：“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，則兩個幾何體體積相等”.旋轉體體積也可看作平面區域面積繞與其不相交的軸（可為其邊界）旋轉的積累，因每個點旋轉的周長不一致，平面區域旋轉的長度可用該區域的重心旋轉長度替代，于是可得到旋轉體體積計算方法：旋轉體體積=旋轉區域面積重心旋轉的圓形軌跡周長.如圖1，記圓面繞軸旋轉形成的幾何體體積為，記半圓面重心坐標為.如圖2，陰影部分為函數與圍成的區域，記該區域繞軸，軸旋轉形成的幾何體體積分別為，.則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用定義及圓的周長、面積公式計算可得A，將該半圓面繞旋轉形成球體結合定義計算即可判定B；結合B的結論及圖2陰影部分與半個單位圓面積的關系即可判定C；構造半徑為1的圓柱減去圖2陰影區域的旋轉體的縱截面，再構造縱截面為半個單位圓及其內切圓，通過計算得同一截面截取該兩個旋轉體的面積相同計算即可判定D.【詳解】對于A，易知它的重心即其圓心，由定義可知，故A錯誤；對于B，易知該半圓面繞旋轉所得的幾何體為半徑為1的球體，其體積，故B正確；對于C，根據條件易知半圓面繞橫軸旋轉形成的幾何體體積為，設點，則，所以圖2陰影面積小于半徑為1的半圓面積，即，故C正確；對于D，圖（1）陰影區域滿足，其繞縱軸旋轉形成的幾何體體積記為，圖（2）陰影區域滿足，其繞縱軸旋轉形成的幾何體體積記為，設縱坐標為的平面去截這兩個幾何體，聯立得，其截圖（1）對應旋轉體的截面面積為，聯立得，其截圖（2）對應旋轉體的截面面積為，則，易知，而，故D正確；故選：BCD【點睛】思路點睛：第三項，主要在于判定該拋物線與單位圓的覆蓋面積關系；第四項，結合祖暅定理構造拋物線與半個單位圓及其內接圓形成截面恒等的結構很關鍵.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】##【解析】【分析】由正弦的和差角公式代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，即，所以.故答案為：13.已知數列為等差數列，為其前項和，滿足，，則的值為________.【答案】3【解析】【分析】設出等差數列的公差，根據求和公式建立方程組，求得首項與公差，利用通項，可得答案.【詳解】設等差數列的公差為，則，化簡可得，解得，所以.故答案為：.14.函數在點，處的切線分別記為，，且，過點作軸的平行線與交于點，則________.【答案】##【解析】【分析】切線平行得到，再結合切線方程得到點坐標，進而可求解.【詳解】，因為，所以，又，所以，所以切線方程：，切線方程：，將，代入，可得：，又，所以，所以點坐標為所以，又，所以，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有，兩道謎語，張某猜對謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對謎語的概率為0.5，猜對得獎金元.（1）猜兩道謎語，求張某僅猜對其中一道的概率；（2）若規定只有在猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道，求的值，使得張某先猜謎語和先猜謎語所獲得的獎金期望相同.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式即可計算求解.（2）分別計算兩種不同順序下的期望值，建立方程求解即可.【小問1詳解】設張某僅猜對其中一道謎語事件M，猜對A謎語為事件A，猜對B謎語為事件B則.【小問2詳解】設張某先猜A謎語獲得的獎金為元，先猜B謎語獲得的獎金為元，則的取值分別是0，10，，的取值分別是0，，，，，，所以；，，，所以.由得，解得.16.已知函數.（1）當時，求函數的極值；（2）若方程有且只有一個實數根，求實數的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值.（2）或.【解析】【分析】（1）把代入，利用導數求出函數的極值.（2）求出函數，利用導數探討其單調性及極值，再按分類處理函數的零點為1個的條件求解.【小問1詳解】當時，函數的定義域為，求導得，當時，，當時，，所以當時，函數取得極小值，無極大值.【小問2詳解】函數的定義域為，求導得，令，則，當時，；當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數取得極小值，①若，當時，，函數在有唯一零點；當時，，函數在無零點，因此當時，有唯一零點；②若，當從大于0的方向趨近于0時，函數的值趨近于負數，即當時，，函數在上無零點；當從大于的方向趨近于時，函數的值趨近于正無窮大，當趨近于正無窮大時，函數的值趨近于正無窮大，則當且僅當，有唯一零點，由，得，即，令，求導得，當時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此，則方程有唯一解，于是時，有唯一零點，所以實數的取值范圍為或.17.如圖，為圓錐的頂點，為底面圓的直徑，為圓周上一點，為劣弧的中點，.（1）求證：；（2）在線段上且，當平面時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，即可證明；（2）解法一：在上取點，使得，連接，由線面平行的性質定理可得，然后設與交于點，連接，即可得到就是平面與平面夾角，代入計算，即可得到結果；解法二：以為坐標原點，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】證明：如圖，連接，因為為的中點，所以，又因為平面，故，，平面，所以平面，平面，則.【小問2詳解】解法一：在上取點，使得，連接，則，又平面，平面，故平面，又平面，且，平面，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，則，又，所以，所以，則，設與交于點，連接，則，又因為，所以，所以就是平面與平面夾角，因為，所以，所以即平面與平面夾角的余弦值為.解法二：如圖，以為坐標原點，，為，軸正方向建立空間直角坐標系，設，則，，，設，則，設，則因為，，設平面的法向量為由，可取，又因為平面，所以，即得，于是，，則，所以，又，設平面的法向量為，則，可取，又平面的一個法向量為，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.如圖，雙曲線：的虛軸長為2，離心率為，斜率為的直線過軸上一點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若雙曲線上存在關于直線對稱的不同兩點，，直線與直線及軸的交點分別為，.（i）當時，求的取值范圍；（ii）當時，求的最小值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由虛軸及離心率可得，即可得雙曲線方程；（2）令，設直線為：，將直線BC方程與雙曲線方程聯立，由韋達定理可得，.（i）代入，可得，，結合，可得，最后由可得答案；（ii）由，結合，，，可得關于的表達式，然后由基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題知，解得，雙曲線E的標準方程為；小問2詳解】令，設直線為：，與聯立得，當時，設，則由韋達定理，及題意可得：則，，.（i）當時，，，由，得，又因為，即，所以；（ii）由題知，.因為，所以，又，，則，，又，則，則，當取得，此時滿足題意.綜上，的最小值為.【點睛】關鍵點睛：對于雙曲線中所涉及的范圍問題，常利用雙曲線上點的橫坐標范圍，判別式，點與雙曲線位置關系求解；對于最值問題，常先找到所求量關于某變量的表達式，再利用函數知識或基本不等式求解.19.已知定義域為的函數滿足：記（表示從中任取兩個作乘積再求所有乘積的和，如）.（1）求，的值；（2）為互不相同的自然數，求；（3）求的值.【答案】（1），（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據題意，由函數的定義代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，由函數的定義可得，然后分奇偶討論代入計算，即可得到結果；（3）根據題意，由的定義可得，