專題9.7三角形的中位線兩大題型

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對三角形的中位線兩大題型的理

解！

【題型1一條中位線的問題】

1.（2023上?遼寧鐵嶺?八年級統考期末）如圖，菱形為BCD中，E、F分別是48、AC的中點，若EF=3,則

菱形48co的周長為（）

A.24B.18C.12D.9

2.（2023上?重慶忠縣?八年級統考期末）在如圖所示的中，點在邊A8上，MAC的平分線融1CE

于匕乙ABC的平分線8HJ.CO于〃，若48=8,FH=2,則△Z1BC的周長為（）

3.（2023下?黑龍江伊春?八年級校聯考期末）如圖，四邊形4BCD中，AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=

4,<0=6.M是BO的中點，則CM的長為（）

A.3B.2C.D.3

2

4.（2023上?重慶九龍坡?八年級重慶實驗外國語學校校考期末）如圖，在a/lBC中，CF、BE分別平分/力。8

和Z48C,過點A作力。_LCF于點。，作AG_L8E于點G,若AB=9,AC=8,BC=7,則GD的長為（）

D

A.5.5B.5C.6D.6.5

5.（2023下?陜西渭南?八年級統考期末）如圖，點。是撥WCD的對角線的交點，。。=力。，點七、F分別

是0C、OD的中點，連接BE,過點尸作FPIIBE交邊AB于點、P,連接PE,則下列結論中不一定正確的是（）

A.CD=2APB.PF1ACC.BE=PFD.2/.BAC=Z.DAC

6.（重慶市萬州區2023-2024學年八年級上學期期末數學試題）如圖，OE是△4BC的中位線，N4C8的角

平分線交DE于點F，若AC=6,BC=14,則。尸的長為.

7.（2023上?廣東河源?八年級統考期末）如圖，在菱形A8C。中，AB=8,乙B=45。，E,尸分別是過CD,

8c上的動點，連接4E,EF,G,H分別為4E,E/的中點，連接GH,則GH的最小值為.

8.（2023上?山東煙臺?八年級校考期末）如圖,8ABCD中,AB=3,BC=4,8E平分4BC,交4。于點E,

CF平分48CD,交4。于點K交EE于點O,點G,H分別是OF和。￡的中點，則GH的長為

9.：2023上?山東淄博?八年級淄博市淄川實驗中學校考期末）如圖，在△力BC中，4B=5,AC=3,AD.AE

分別是其角平分線和中線，過點C作CG1力D于F,交4B于G,連接E尸，則線段EF的長為.

10.（2023上?江蘇南京?八年級期末）如圖，在菱形48CD中，對角線4C,BD交于點、O,點七為48的中點,

點F在。。上，DF=OF,連接EF交OA于點G,若OG=1,連接S^BEC=12,則線段CE的長為.

11.（2023下?四川宜賓?八年級統考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=6,乙1=120。，

點F、點N分別為CD、⑷5的中點，點E在邊4D上運動，將沿EF折疊，使得點。落在。處，連接

12.（2023下?河南潦河?八年級統考期末）如圖,在矩形4BCD中，點E,尸分別時邊小從的中點,連接EC,

FD,點、G,H分別時EC,尸。的中點，這接GH,苦48=4,BC=6,則G”的長度為.

（2）求證：CE=CD；

⑶用等式表示線段力町AC,4F間的關系，并證明.

【題型2多條中位線的問題】

1.（2023下?安徽蕪湖?八年級統考期末）如圖，在四邊形ABC。中，LBAD+LADC=270°,點、E、尸分另U

是71。、BC上的中點，EF=3,則為82+。。2的值是（）

2.（2023下?河南商丘?八年級統考期末）邊長為4的正方形A8CD中，點E、F分別是88、8c的中點，連接

EC、FD,點G,，分別是EC、。尸的中點，連接G",則G”的長為（）

C.2D.V2

3.（2023F?四川成都?八年級成都嘉祥外國語學校校考期中）如圖，EL4BCD中,BD=12,Z.AOB=60°,

點F為AB中點，點E為AO邊上一點,若力￡=。5+。3,則石尸的長為（）

A.5B.3V2C.2V5D.3百

4.（2023下?浙江臺州?八年級校聯考期中）如圖,線段48=6,點P是線段48上的動點,分別以。P、BP為

邊在A8作等邊△HPC、等邊XBPD,連接CD,點M是。。的中點，當點P從點A運動到點。時，點M經過的路

徑的長是（）

D

M

A.3B.2.8C.2.5D.2

5.（2023上?四川達州?八年級四川省渠縣中學校考期末）如圖，中,ZC=90°,AC=BC=2,取

8c邊中點E,作EDIIAB.EF||4C得到四邊形ED",它的面積記作判取BE中點5,作品。】IIFB,瓦月花尸,

得到四邊形E1O1F&,它的面積記作S2,照此規律作下去，則$2024=.

6.（2023下?山東濟寧?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形04B】C的對角線

4C和0當交于點Mi；以弧力】為對角線作第二個正方形42482Mi，對角線41Ml和4”交于點乂2；以必為

對角線作第二個正方形心為。3/，對角線A1/和交于點心；……依此類推，這樣作的第2023個正方

7.（2023下?云南文山?八年級統考期末）如圖，△ABC的三邊長分別為a,b,c,以它的三邊中點為頂點組

成一個新三角形，以這個新三角形三邊中點為頂點又組成一個小三角形，依次類推，第2023次組成的三角

形的周長.

8.（2023下?廣東陽江?八年級校聯考期中）如圖，AD=4,在4D邊上有一動點C,分別以4C、CO為邊在力。

邊的上方作等邊△4BC和等邊ACDE,連接8E,取8E邊.上的中點尸，連接CF,則6的最小值為

9.（2023下?廣東佛山?八年級校考期末）如圖1所示，△48。是等邊三角形，點。和點E分別在邊48和4c上

（D,E均不在所在線段的端點上），且AO=4E,點M,P,N分別是線段OE,DC,8c上的中點，連接

PM,PN.

A

備用圖

⑴請說明PM=PN.并求出ZMPN的大小;

⑵把△4DE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀并說明理由；

⑶把△力DE繞點A在平面內自由旋轉，若4。=4,AB=10,請直接寫出△PMN的最大面積.

10.（2023上?遼寧遼陽?八年級校考期末）如圖，在四邊形4BCD中，E,￡分別是/ID,8C的中點，G,H

分別是對角線BD,4c的中點，依次連接七，G,F,H,連接EF,GH.

⑴求證：四邊形EG尸”是平行四地形；

（2）當A8=CD時，EF與G”有怎樣的位置關系？請說明理由；

11.（2023下?湖南長沙?八年級統考期末）定義：對于一個凸四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的

新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”，如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做

“中正四邊形〃.

⑴線段P尸與PG的數量關系是,位置關系是;

⑵把△AOE繞點力順時針方向旋轉到圖2的位置，連接PF,PG,FG,判斷aPPG的形狀，并說明理由；

（3）勞力。=3,AB=7,△40E繞點力在平面內旋轉過程中，請直接寫出△FPG的面積取得最大值時50的長.

14.（2023上?江西南昌?八年級校考期中）【綜合與實踐】

老師讓同學們以“兩個大小不等的等腰直角三角板的直角頂點重合，并讓一個三角板固定，另一個繞直角頂

點旋轉”為主題開展數學活動.如圖1，△力8c和都是等腰直角三角形，乙C=90。，點。，E分別在邊

BC,AC上，連接力。，點M,P,N分別為DE,AD,4B的中點,試判斷線段PM與PN的數量關系和位置關

系.

甲小組發現：PM=PN,PM1PN.并進行了證明，下面的兩個片段是截取的部分證明過程：片段前后證

明過程已省略）：

AA

圖1圖2

【片段點P,W分別是4D,QE的中點，

PMWAE,PM=^AE.（理由1）

【片段2】???乙8&4=90。，.?.乙4OC+乙Q4O=90。（理由2）.

反思交流

⑴①填空：理由1：;

理由2：：

③圖1中，MN與AB的位置關系是_.

(2)乙小組受到甲小組的啟發,繼續進行探究，把△CDE繞點C逆時針方向旋轉到如圖2的位置.請判斷△PMN

的形狀并證明：

⑶兩小組的同學繼續探究：把△CDE繞點C在平面內自由旋轉，當CO=4,C8=10時，直接寫出線段MN

長度的最大值.

15.(2023下?湖北武漢?八年級武漢外國語學校(武漢實驗外國語學校)校考期中)如圖1：平面直角坐標

⑵如圖2,若8點坐標為(6,2百)，。點坐標為(8,0),以。3,3。為邊構造矩形連AD,求AO的長;

⑶如圖3,點M、N、Q分別為A8,0C,08的中點，點P為MN的中點，且MP=5,PQ=3,求0C.

專題9.7三角形的中位線兩大題型

【蘇科版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高.覆蓋面廣.選題有深度.可加強學生對三角形的中位線兩大題型的理

解！

【題型1一條中位線的問題】

1.（2023上?遼寧鐵嶺?八年級統考期末）如圖，菱形為8c。中，E、尸分別是48、AC的中點，若"=3,則

菱形n8C0的周長為（）

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【分析】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，山三角形的中位線定理可得8C=2EF=6,然后根

據菱形的性質即可求解.

【詳解】解：尸分別是AB、4c的中點，

團BC=2EF=6,

團四邊形4BCD是菱形，

團4B=BC=CD=AD=6?

13菱形4BCD的周長=4x6=24,

2.（2023上?重慶忠縣?八年級統考期末）在如圖所示的△A8C中，點D,E在邊A8上，的平分線"1CE

于凡的平分線3H_L于〃，若48=8,FH=2,則△ABC的周長為（）

c

F

ADEB

A.10B.12C.18D.20

【答案】D

【分析】本題考查了全等二角形的判定和性質，二角形的中位線定理.證明△&4“三△￡/”(A5A),推出4C=

AE,CF=EF,同理=CH=HD,得到尸，是△CDE的中位線，進一步計算即可求解.

【詳解】解：EL4F平分N84C,RAF1CF,

azf/lF=Z.EAF,AF=AF,Z.CFA=LEFA=90°,

(?!△CAF三△EAF(ASA),

團4c=4E,CF=EF,

同理可證8c=8。，CH=HD,

團尸，是4CDE的中位線，

WE=2FH=4,

0A4BC的周長為+AC+BC=2AB+DE=20,

故選：D.

3.(2023下?黑龍江伊春?八年級校聯考期末)如圖，四邊形4BCD中，AC1BC,AD\\BC,BC=3,AC=

4,4。=6.M是BO的中點，則CM的長為()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】B

【分析】延長8c至I]E使BE=4%則四邊形力CED是平行四邊形，根據三角形的中位線的性質得到CM=

=根據跟勾股定理得到的長，于是得到結論.

【詳解】：延長81至IJE使BE=AD,

團4DII8C,

（3四邊形ABED是平行四邊形，

團BE=4。=6,AB=DE

（3BC=3,AD=6,

（3C是BE的中點，

團M是80的中點，

團CM=-DE=-AB,,

22

0/4C1BC,

西B=>JAC2+BC2=V42+32=5,

=-DE=-AB=-,

222

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關

健

4.（2023上?重慶九龍坡?八年級重慶實驗外國語學校校考期末）如圖，在△218。中，CF、BE分別平分44cB

和，ABC,過點A作AD1CF于點。，作AG18E于點G,若AB=9,AC=8,BC=7,則G。的長為（）

A.5.5B.5C.6D.6.5

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理以及等腰三角形的判定與性質，關鍵是掌握三角形中位線定理:

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.問題的難點在于過關鍵點作輔助線構造AAPQ.

延長力。，交C8的延長線于點P,延長AG,交BC的延長線于點Q,依據等腰三角形的判定與性質，即可得到

0Q的長；再根據三角形中位線定理，即可得到DG的長等于PQ的長的一半.

【詳解】如圖所示，延長A。，交C8的延長線于點P,延長4G,交8c的延長線于點Q,

(3C八8E分別平分N/ICB和44BC,

(3Z/1CD=乙PCD,Z.ABG=乙QBG,

又(L401CF,AG1BE,

^/.ADC=cPDC,LAGB=乙QGB,

團/CAP=乙P,乙BAG=乙Q,

(MC=PC=8,48=QB=9,

又SC=7,

團PQ=BQ+PC-BC=9+8—7=10,

血4c=PC,CO平分N/CP,

團點。是4P的中點，

同理可得，點G是AQ的中點，

團DG是AAPQ的中位線，

團OG=^PQ=5,

5.（2023下?陜西渭南?八年級統考期末）如圖，點。是團4BCD的對角線的交點，OD=AD,點、E、尸分別

是0C、。。的中點，連接見F,過點尸作“IIBE交邊AB于點、P,連接PE,則下列結論中不一定正確的是（）

D

B

A.CD=2APB.PFLACC.BE=PFD.2Z.BAC=LDAC

【答案】D

【分析】如圖，連接EF,由三角形的中位線定理結合平行四邊形的性質可證明四邊形BEFP為平行四邊形，

可得CD=2EF=2BP=2AP,可判斷A選項；由平行四邊形的性質可得。8=BC,再結合等腰三角形的性

質可判斷B選項：由四邊形8E”為平行四邊形，可得=可判斷C選項：只有當EL48CD是矩形時，

2^BAC=^DAC,可判斷D選項.

【詳解】解：如圖，連接E凡

回E、F分別是。。、。。的中點，

0FF||CD,EF=^CD,

回四邊形ABCD是平行四邊形，

^AB||CD,AB=CD,

團PB||EF,

XEFPIIBE,

團四邊形BEFP為平行四邊形，

^CD=2EF=2BP=2AP,故A正確，不符合題意;

在團A8CD中，08=00,BC=AD,0D=AD,

回08=BC,

又(2E為。C中點，

(2BE1AC,

^PFLAC,故B正確，不符合題意；

團四邊形BE”為平行四邊形，

團BE=PF,

故C正確，不符合題意；

回0D=AD,

0Z.D/1C=LAOD=Z.B0C,

又HcBOC=^BAC卜乙43。，

當2484C=NO/1。時，KU^/IC=/.ABO,

WA=0B=0D=OC,則此時即WCO是矩形，

即：只有當團ABC。是矩形時，2，BAC=iZMC,故結論錯誤，符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質，矩形的判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質，熟練掌握相

關圖形的性質是解決問題的關鍵.

6.（重慶市萬州區2023-2024學年八年級上學期期末數學試題）如圖，DE是A/IBC的中位線，N/1CB的角

平分線交DE于點凡若AC=6,BC=14,則OF的長為.

【答案】4

【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，角平分線的定義，等邊對等角，根據三角形中位線定理和定

義得到DE=\BC=7,CE=\AC=3,DEIIBC,進而證明zEFC=zECF得至ijEF=EC-3,則=DE-

EF=4.

【詳解】解：團DE是△71BC的中位線，AC=6,BC=14

0DE=-BC=7,CE=-AC=3,DE||BC,

22

^LEFC=Z.BCF,

團/ACB的角平分線交DE于點心

=Z.BCF,

^Z.EFC=乙ECF,

0EF=EC=3,

0Dr=DE-EF=4,

故答案為：4.

7.（2023上?廣東河源?八年級統考期末）如圖，在菱形48。。中，AB=8,=45°,E,F分別是過CD,

8C上的動點，連接力￡,EF,G,〃分別為AE,E廣的中點，連接GH,則G"的最小值為.

【答案】2夜

【分析】連接力F，利用三角形中位線定理，可知G”=［力凡求出AF的最小值，當4F18C時，根據垂線段

最短，即可解決問題.

胤4B=BC=8,

0G,“分別為4E,EC的中點,

回G，是尸的中位線，

0GH=-AF,

2

當4F1BC時，4F最小,GH得到最小值,

則，力尸8=90°,

團4B=45°,

回△人"是等腰直角三角形，

=曰48=^x8=4近，

?GH=2A/2,

即GH的最小值為2e，

故答案為：242.

【點睛】本題考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、等腰宜角三角形的判定與性質、垂線段最短等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型.

8.（2023上?山東煙臺?八年級校考期末）如圖，團48。。中，AB=3,BC=4,8E平分交力。于點E,

CF平分NBCD,交AD于點、F,交EE于點O,點G,”分別是OF和OE的中點，則G”的長為

FE

AD

，

【答案】1

【分析】本題考查了平行四邊形的性質及三角形中位線定理，根據平行四邊形的性質得出為B=CD=

3,BC=AD=4,ADWBC,根據平行線的性質及角平分線定義推=△4?氏乙DCF=LDFC,根據

等腰三角形的判定及線段的和差求出EF=2,根據三角形中位線的判定與性質求解即可.

【詳解】解：團4BCD中，AB=3,BC=4,

EL4B=CD=3,BC=AD=4,ADWBC,

BZ.AEB=乙CBE,乙DFC=Z-BCF.

團BE平，）?44BC,CF平，｝4BCD,

0Z/WE=LCBE,Z.BCF=Z.DCF,

^LABE=LAEB,乙DCF="FC,

團AB=AE=3,DC=DF=3,

^AE+DF=AD+EF,

0EF=2,

團點G,，分別是。F和。E的中點，

團6”是也OEF的中位線，

團G"=R=1

故答案為：1.

9.（2023上?山東淄博?八年級淄博市淄川實驗中學校考期末）如圖，在A/IBC中，AB=5,AC=3,AD.AE

分別是其角平分線和中線，過點C作CG14D于F,交力B于G,連接EF,則線段EF的長為.

【答案】1

【分析】本題考查了三角形的中位線定理以及等腰三角形的判定與性質，首先證明AACG是等腰三角形，則

AG=AC=3,FG=CF,則￡尸是^BCG的中位線，利用三角形的中位線定理即可求解.

【詳解】解：國4。為的角平分線，CGLAD,

團Zk/ICG是等腰三角形，

團AG=AC,

團4c=3,

回AG=AC=3,

團4F為4C4G的角平分線，

RFG=CF,即點尸為CG的中點,

團4E為A/IBC的中線，

(3點E為C8的中點，

回EF是△8CG的中位線，

0EF=-/?(?,

2

團AB=5,

^BG=AB-AG=5-3=2.

0FF=^x2=l.

2

故答案為：1.

10.(2023上?江蘇南京?八年級期末)如圖，在菱形A8CD中，對角線AC,BD交于點O,點石為的中點,

點?在0。上，DF=OF,連接E/交。力于點G,若OG=1,連接CE,=12.則線段CE的長為.

【答案】3V5

【分析】取4。中點M，連接EM,可證明EM是48。的中位線，得到EM=：08,EM10At因此。尸=EM,

推出AEMG三△FOG,得到MG=0G=L從而求出。力的長，得到力。的長，求出CM的長，由三角形面枳

公式求出。8長,得到EM的長,由勾股定理即可求出CE的長.

【詳解】解：取A。中點M,連接EM,

B

回四邊形ABCD是菱形，

^BD1OA,OD=OB,OA=OC,

回點E為的中點，M為力。中點，

團EM是△48。的中位線，

0E/4=\0B,EMWBD,

LAC,乙MEG=iOFG,

Wf=OF,

WF=^0D=^0B,

22

0E/4=OF,

回NMEG=40戶G,Z.MGE=Z.OGF,

0AEMGm△FOG(AAS).

團MG=OG=1,

團0"=20G=2,

004=20M=4,

團4c=20A=8,

回力E=BE,

05岫八。=2XSABEC=2X12=Z4?

^AC-OB=24,

回。B=6,

團EM=\OB=3,

團CM=OM+OC=2+4=6,

囹CE=VCM?+EM7=36.

故答案為：3Z.

【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，勾股定理等知識，靈活運

用相關知識解決問題是解題關鍵.

11.（2023下?四川宜賓?八年級統考期末）如圖，在平行四邊形A8CD中，48=4,AD=6,cA=120°,

點F、點N分別為CD、48的中點，點E在邊AD上運動，將△￡1/）/沿EF折卷，使得點。落在D'處，連接B。',

點M為8。中點，則MN的最小值是

【答案】V7-1

【分析】根據三角形中位線定理可得MN=］力），可知當AD'取得最小值時，MN取得最小值，根據折疊可

知D'在以點尸為圓心，。尸的長為半徑的半圓弧上運動，當點D'運動到線段49上時;此時乂》取得最小值，

最小值為力產一。兒過點尸作尸，,力。于點H,根據30。的直角三角形的性質可得HD的長，根據勾股定理求

出F/7的長，再在口△477中，根據勾股定理求出"?的長，進一步可得/W'的最小值，即可求出MN的最小

值.

【詳解】解：連接力。'，

KE一―一一nH"一一D、

???點N為48的中點，點M為的中點,

???MN為△8/0，的中位線,

MN=-AD,,

???當4。'取得最小值時，MN取得最小值,

在平行四邊形A8C0中，AB=CD,ABWCD,

Z.A+Z.D=180°,

VAB=4,AD=6,乙/1=120°,

ACD=4,乙。=60°,

???點F為線段CD的中點，

DF=CF=2,

根據折疊可知=DF=2,

???點D'在以點尸為圓心，D尸的長為半徑的半圓弧上運動，

當點D'運動到線段力F上時，此時,1。取得最小值，最小值為4尸-。'凡

過點F作FH。于點H,如圖所示：

則/FHD=90°,

Z.HFD=30°,

ADH=-DF=1,

2

在山△/）”產中，根據勾股定理，得FH=422一￡=足,

AD=6,

.-.AH=6-1=5,

在RtZkA尸”中，根據勾股定理，得4t='AH?+FH?=2夜,

的最小值為2b一2,

???MN的最小值為夕一1,

故答案為：V7—1.

【點睛】本題考查了翻折變換，線段最小值問題，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，直角三角形的

性質，找出線段人少最小時點。'的位置是解題的關鍵.

12.（2023下?河南漂河?八年級統考期末）如圖，在矩形4BCD中，點E,尸分別時邊AB,8C的中點，連接EC,

FD,同G,，分別時EC,FU的中點，這接G",苦AB=4,=6,則G”的長度為.

【答案】苧

【分析】連接C”并延長交4）于點P,連接PE,由矩形的性質得乙4=90。，ADIIBC,AD=BC=6,從而

得到40PH=乙FCH,通過AAS證明△DPHdFC”可得PD=CF=3,PH=CH,由勾股定理進行計算可

得EP=g,再由三角形中位線定理即可得到G"的長.

【詳解】解：如圖，連接CH并延長交40于點尸，連接尸￡，

?.?四邊形力BCD是矩形，

:.LA=90°,AD||BC,AD=BC=6,

:.￡DPH="CH,

?:點E,F分別時邊A8,BC的中點，AB=4,BC=6,

AE=-AB=2,CF=-BC=3,

22

???點”為DF的中點，

:.DH=FH,

《DPH=乙FCH

4DHP=Z.FHC，

(DH=FH

???△DPH三△尸CH(AAS),

:.PD=CF=3,PH=CH,

???AP=AD-PD=6—3=3,

PE=\]AE2+AP2=V22+32=V13,

???點G是CE的中點，CH=PH,

.??G，是△CEP的中位線，

1CLV13

*'?GH=—PE=—?

22

故答案為：零.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質、三角形全等的判定與性質、勾股定理、三角形中位線定理，熟練掌

握以上知識點，添加適當的輔助線，構造三角形，是解題的關鍵.

13.(2023下?江蘇泰州?八年級統考期末)如圖,在內△ABC中，Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,點D、

E分別為邊BC、4c的中點，連接DE,點尸為邊48上一動點，且CF=DE,則力尸的長為

【分析】根據三角形的中位線定理，可知。進而可知CF=4/1B,則有兩種可能，利用宜角三角

形斜邊中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，即可解答.

【詳解】解：回點。、E分別為邊BC、4?的中點，

WE=-2AB,

又區C尸=DE,

^CF=^AB,

2

在ABC中，Z.ACB=90°,AC=3,BC=4,

(MB=>JAC2+BC2=V32+42=5,

即CF=[AB=I，則有以下兩種情況:

種:當尸點運動到43中點時,

團ZiABC是直角三角形，LACB=90°,

mCF=-2AB,

團點尸是AB中點，則力尸=：A8=2.5,

種：如圖,作交AB于點H,

團s08c==

ci,ACBC3X412

me

H=--A--B--=—5=—5,

^AF=

2

I22

在RtACH"中，HF=VCF2-CH2=一偌）=0.7,

在Rt△CH/中，AH=y]AC2-CH2=J3?一（）丫=1.8,

SAF=AH-HF=1.8-0.7=1.1,

綜上所述：力尸的長為2.5或1.1,

故答案為：2.5或1.1.

【點睛】本題考查了三角形的中位線、勾股定理以及直角三角形斜邊中線，解題的關健在于運用分類討論

思想進行求解.

14.（2023上?上海靜安?八年級上海田家炳中學校考期末）如圖，直角△ABC中，NA=90°,AB=AC=2,

點D是8c邊的中點，點E是力8邊上的一個動點（不與4,B重合），DF1DE交AC于點F,設BE=x,FC=y.

（1）求證：DE=DF；

⑵寫出y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域;

⑶寫出x為何值時，EF||BC?

【答案】（1）見詳解

(2)y=2—x,0<x<2

(3)x=1

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，正確證明三△FDN是關鍵.

（1）取A8的中點記為H,取AC的中點記為N.根據三角形中位線的性質可得DH=DN,根據余角的性質可

得&EDH=LFDN,根據ASA可證AEOH三△尸DN,根據全等三角形的性質即可證明DE=DF；

（2）根據全等三角形的性質可得HE=N/,從而得到y關于x的函數關系式，以及x的定義域；

（3）連接HN,根據三角形中位線的性質可得x為1時，EF||BC.

【詳解】（1）解：取4B的中點記為H,取AC的中點記為M連接DN

=90°,點。是BC邊的中點，

團DH,DN都是三角形中位線

WN||AB,DN=^AB,DH||AC,DH=^AC

BAB=AC=2,

回OH=DN=1,

團/NOH=90%

團乙NDF+乙NDE=90°,乙NDE+EDH=90°,

團4EDH=乙FDN,

在AED"與AFCN中，

(/,EDH=乙FDN

DH=DN,

zEHD=乙FND

0AEDH三AFDN,

回OE=OF；

(2)解：EDH"FDN,

團HE=NF,

^x--AB=-AC-y

22，

BPy=2-x

13E是4B邊上的一個動點（不與4、B重合），

00<x<2；

（3）解：連接HN,當E與H重合時，EFIIBC,

團此時x=BH=T,

回當％=1時，EF||BC.

15.（2023上?北京東城?八年級匯文中學校考期末）在△4BC中，AC=BC,/.ACB=90°,點D在AB邊

上（不與點A,B合），分別過人C作AB,。。的垂線交于點E,連接BE.過C作CFBE交4B于點F.

⑴依題補全圖形；

（2）求證：CE=CD；

⑶用等式表示線段/E,AC,4尸間的關系，并證明.

【答案】（1）見解析

（2）證明見解析

（3）AF+^AE=^-AC,證明見解析

【分析】（1）依題意作圖即可；

（2）根據等腰三角形的性質可得乙EAC==45。，再根據同角的余角相等可得出即

可利用ASA證明△ECA=△DCB,即可得出結論；

（3）取A8的中點為Q,連接CQ交BE于點H,過點C作4E的垂線交延長線于點K,先利用ASA證明△FQC三

△HQ8,得出FQ=HQ,再證明HQ是△￡48的中位線，可得出HQ=：/1E,然后證明四邊形/KCQ為正方形,

則有AC=V^4Q,進而可得出結論.

【詳解】（1）解；依題意補全圖形如下;

c

(2)證明：中，AC=BC,/-ACB=90°,

:.2FAC=Z.DBC=45°

又?；EALAB.

LEAF=90°,

￡EAC=LEAF-^.FAC=90°-45°=45°,

￡EAC=Z-DBC=45°,

???/.ECD=Z-ECA4-^ACD=90°,^ACB=乙DCB+Z-ACD=90°,

:.Z.ECA=Z.DCB,

在AEC4和△DCB中，

(Z.ECA=Z.DCB

jAC=BC,

{/.EAC=乙DBC=45°

??.△EC4三△DCB(ASA),

CE=CD；

(3)解：線段AE,AC,力尸間的關系為：AF+^AE=^-AC,證明過程如下:

取的中點為Q,連接CQ交BE于點”，過點C作力E的垂線交廷長線于點K,如圖所示:

?:CF18E父A8于點F,

即=90°,

又?：乙HQB=90°,Z-BHQ=Z.CHG

:.乙GCH=乙QBH,

在么FQC和AHQB,

dQC=(HQB=90°

CQ=BQ,

乙GCH=乙QBH

???△FQC空△"QB(ASA),

???FQ=HQ,

???Z.EAB=Z.HQB=90°,

:.EA||HQ,

又二AQ=BQ,

HQ是△EA8的中位線，

??.HQ=^AE,

???FQ=\AE,

???△ABC中，AC=BC,LACB=90°,

.?.△4BC為等腰直角三角形，

???Q為/IB的中點，

二CQ垂直平方力8,

則＜Q=BQ=CQ,^AQC=90°,

又：Z.EAF=90°,Z.AKC=90°,

四邊形AKCQ為正方形，

AC=V2AQ,

:.AC=V2(AF+FQ)=V2(AF-]--AE),

2

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，三角形的中位線，同角的余角相等,

等腰直角三角形的性質，解題的美鍵是能正確作出輔助線以及能熟練掌握三角形的判定方法.

【題型2多條中位線的問題】

1.(2023下?安徽蕪湖?八年級統考期末)如圖，在四邊形力BC。中，ZBAC+乙1DC=27O。，點￡、F分別

是?I。、BC上的中點，EF=3,則力勿+。。2的值是()

【答案】B

【分析】連接AC,取AC的中點M,連接EM,FM,根據三角形的中位線定理可以得到EM||DC,MF||AB,

EM=^DC,MF=\AB,推導出匕EMF=90。，再利用勾股定理解題即可求出答案.

【詳解】連接力C,取AC的中點M,連接EM,FM,

0ZEM/1=Z-DCA,Z.B=乙MFC,

0ZEMF=匕EMA+Z.AMF

=LEMA+2LACF+4MFC

=WCA+Z-ACF+乙B

=LDCB+乙B

=360°-(/.BAD+/.ADC}

=360°-270°

=90。，

二EM2+MF2=EF2=32=9,

^AB2+DC2=(2EM)2+(2FM)2=4EF2=4x9=36,

故選A.

【點睛】本題考查三角形的中位線定理，勾股定理，作輔助線利用平行線構造直角三角形是解題的關鍵.

2.(2023下?河南商丘?八年級統考期末)邊長為4的正方形4BCD中，點E、尸分別是48、BC的中點，連接

EC、FD,點G,H分別是EC、DF的中點,連接GH,則GH的長為()

【答案】D

【分析】連接AC、B。交于點。，連接G。、HO,可得GO、，。分別是MCE、回8。產的中位線，從而求出

GO,〃。的長，在通過證明團GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的長.

【詳解】解：連接AC、B。交于點O,連接GO、HO,如圖所示，

團點E、尸分別是AB、8C的中點.

I3AE=-AB=2,BF=-BC=2.

22

團點。是正方形ABC。對角線的交點.

團點O是4C、8。的中點.

(3點G是EC的中點.

團G。是(MCE的中位線.

0GO=1A￡=1,且GQM8.

同理，”0=1,且“必BC.

0ELABC=9O°.

財而4c.

^GO^HO.

團團GO〃=90°.

在R周G。”中，

GH=>/GO2+HO2=Vl2+I2=V2.

故選：D.

【點睛】本題考查了正方形的性質與三角形的中位線性質定理，通過作輔助線把G”歸納到直角三角形中是

解題的關鍵.

3.（2023K四川成都?八年級成都嘉祥外國語學校校考期中）如圖，EL4BC。中,BD=12,Z.AOB=60°,

點F為48中點，點E為4。邊上一點，若AE=OE+OB,則EF的長為（）

A.5B.3V2C.2V5D.36

【答案】D

【分析】由平行四邊形/BCO的X寸角線71C、8。交于點。，80=12,得。8=0。=[=6,在4。上截取

AI=0B=6,連接引，取8/的中點H,連接EH、FH,可證明/￡=0E,根據三角形的中位線定理得EHII0B,

EH=^0B=3,FHIIAI,FH=^AI=3,延長EH到點G,使G”=EH=FH=3,連接尸G,則EG=2EH=6,

可證明是等邊三角形，則曰G=~H=3,Z-HFG=60°,再證明乙”?E=30°,則NEFG=90°,所以

EF=>JEG2-FG2=3V3.

【詳解】???平行四邊形ABC。的對角線AC、8。交于點。，BD=12,

團OB=OD=-BD=6,

在H。上截取小=。3=6,連接引，取8/的中點〃，連接EH、FH,

DtC

\hAE=IE+A1=OE+OB,

0/E=OE,

團取B/的中點，，

AIH=BH,

團點"為AB中點，

a4『=BF,

EHIIOB,EH=\OB=3,FH||AI,FH=^AI=3,

延長E"到點G,使GH=EH=FH=3,連接FG,則EG=2EH=6,

0ZFHG=4AEG=Z-AOB=60°,

??.△FGH是等邊三角形，

回/G=FH=3,乙HFG=60°,

Bz/YFE=LHEF.

^2LHFE=乙HFE+乙HEF=乙FHG=60°,

???乙HFE=30°,

0ZEF6=乙HFE+乙HFG=90°,

0EF=y/EG2-FG2=3A/3,

故選:D.

【點睛】此題重點考看平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、平行線的性質、等邊三角形的判定與性

質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

4.（2023下?浙江臺州?八年級校聯考期中）如圖，線段48=6,點P是線段4B上的動點，分別以4P、BP為

邊在A8作等邊△4PC、等邊ABPD,連接CD,點M是。。的中點，當點P從點A運動到點B時，點M經過的路

徑的長是（）

D

M

A.3B.2.8C.2.5D.2

【答案】B

【分析】分別延長AC、BD交于點H,易證四邊形HCPD為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌

跡為三角形H/1B的中位線N/.最后運用中位線的性質求出N/的長度即可解答.

【詳解】解：如圖：分別延長4C，80交于點"，則是等邊三角形，

^AHB=60。,

團等邊AAPC、等邊△9PD,

(UZ/4CF=乙BDP=60°

^ACP=41HB=60°,^BDP=4AHB=60°,

WHWPC,CHWPD

回四邊形，CPD為平行四邊形，

(3〃P與C。互相平分.M為CO的中點，

團M也正好為PH中點，即在夕的運動過程中，歷始終為。〃的中點，

團M的運行軌跡為三角形從48的中位線N/.

^Nj=-AB=3.

2

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、等邊三角形的性質平行四邊形的判定與性質，正確作出輔助

線，發現點M移動的規律，判斷出其運動軌跡是解答本題的關鍵.

5.(2023上四川達州八年級四川省渠縣中學校考期末)如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,取

BC邊中點E,作EDIIABfEFII4C,得到四邊形EDA凡它的面積記作舟；取版中點%，作壇。]||“當印陀尸,

得到四邊形與。/居，它的面積記作S2,照此規律作下去，則S2024=.

【答案】_2_

、口木,42023

【分析】本題考查了三角形中位線定理、等腰直角三角形的性質，探究規律.根據三角形中位線定理可求

出51的值，進而可得出另的值，找出規律即可得出土024的值.

【詳解】解：由題意得SMBC=：X2X2=2.

團E為BC的中點，ED||AB,

???DE是△48c的中位線，

DE=-AB,

2

：?SQDCE=[SAABC=-?

同理SABEF=（SHABC=p

???=2----=1.

團取BE中點%,作E1MF8,4川田F,得到四邊形EM/F1,

圉S囚邊形EiD/R=[S四邊形ED"'

c1c

S]=7Si,

同理可得S3=衿=專Si，

==

因$202442023Si42023X1=4202J,

故答案為：

6.（2023下?山東濟寧?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形。/1$傳的對角線

&C和。々交于點必；以弧為為對角線作第二個正方形424/2用1，對角線4Ml和42々交于點乂2：以&為

對角線作第三個正方形43453M2,對角線4M2和力383交于點M3；……依此類推，這樣作的第2023個正方

形對角線交點M2023的坐標為.

【答案】（2220231

【分析】根據正方形性質求出CM1=&M],Z.C0A1=2MI&AI=90。,推出42MlIIOC,得出0/=4陽

根據三角形中位線求出i42Ml=；℃=[xl=gOA2=A2A1=^0A1=^x1=1?即可求出Mi的坐標，同理求

43M2="2%=；X；=/，A2A3=A3A1=^A2A1=^x1=。/13=；+：=：=得出的坐標,根據

以上規律求出即可.

【詳解】解:自四邊形04B】C和四邊形必力潭2