第一章習題

習題1.1在英文字母中E出現的概率最大，等于0.105,試求其信息量。

解：E的信息量：％=1強2焉

=-log2P(E)=-log20.105=3.25b

習題L2某信息源由A,B,C,D四個符號組成，設每個符號獨立出現，其出

現的概率分別為1/4,1/4,3/16,5/16o試求該信息源中每個符號的信息量。

解：

〃=%=；=_電P(A)=_log?；=2b

P(A)4

335

IB=-log—=2.415Z?/=-log,—=2.415/?I=-log,—=1.678/?

216c16D16

習題1.3某信息源由A,B,C,D四個符號組成，這些符號分別用二進制碼組

0(),()1,1(),11表示。若每個二進制碼元用寬度為5ms的脈沖傳輸，試分別求出在

下列條件下的平均信息速率。

(1)這四個符號等概率出現；(2)這四個符號出現概率如習題

1.2所示。

解：(1)一個字母對應兩個二進制脈沖，屬于四進制符號，故一個字母的持續時

間為2x5ms。傳送字母的符號速率為

RB=---------=100Bd

B2x5x10-3r

等概時的平均信息速率為

Rb=RBlog2M=RBlog24=200b/s

(2)平均信息量為

H=llog244-llog244--^log2y+^log2y=1.977比特/符號

則平均信息速率為==100x1.977=197.7b/s

習題L4試問上題中的碼元速率是多少？

解：RR=—=—!—r=200Bd

BTB5*10-3

習題1.5設一個信息源由64個不同的符號組成，其中16個符號的出現概率均

為1/32,其余48個符號出現的概率為1/96,若此信息源每秒發出1000個獨立的符號,

試求該信息源的平均信息速率。

解：該信息源的熠為

M64??

〃(X)=-ZP(￡)log22七)=-ZaW)bg2P(巧)=16*高log232+48*旅log296

r=i1=13296

=5.79比特/符號

因此，該信息源的平均信息速率Rh=mH=1000*5.79=5790b/s。

習題1.6設一個信息源輸出四進制等概率信號，其碼元寬度為125us。試求碼

元速率和信息速率。

解：/?R=—=—!--=8000Bd

B/125*10-6

等概時，&=R“k)g2M=8000*log?4=16ZRs

習題1.7設一臺接收機輸入電路的等效電阻為600歐姆，輸入電路的帶寬為6

MHZ,環境溫度為23攝氏度，試求該電路產生的熱噪聲電壓的有效值。

解：V=j4kTRB=44*1.38*10-23*23*600*6*1()6=4.57*10*V

習題1.8設一條無線鏈路采用視距傳輸方式通信，其收發天線的架設高度都等

于80m,試求其最遠的通信距離。

解：由。2=8仍，得==,8*6.37*1()6*80=63849km

習題1.9設英文字母E出現的概率為0.105,x出現的概率為0.002。試求E

和x的信息量。

解：

p(E)=0.105

p(x)=0.002

1(E)=-log?P(E)=-log20.105=3.25bit

/(x)=-log2P(x)=-log,0.002=8.97bit

習題L10信息源的符號集由A,B,C,D和E組成，設每一符號獨立1/4出

現，其出現概率為1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。試求該信息源符號的平均信息量。

解：

H)l°g2P(七)二一;log2；一：log2：Tog2：一2log24=2.23〃〃符號

44XXXIoIo

習題1.11設有四個消息A、B、C、D分別以概率1/4,1/8,1/8,1/2傳送，每一消

息的出現是相互獨立的，試計算其平均信息量。

解：

H=WPCv,）log2p（x,）=一；bg2J-'log2:一:log2:一〈log2〈=1?75萬〃符號

44ooooZ2

習題1.12一個由字母A,B,C,D組成的字。對于傳輸的每一個字母用二進制

脈沖編碼，00代替A,01代替B,10代替C,11代替D。每個脈沖寬度為5ms。

（1）不同的字母是等概率出現時，試計算傳輸的平均信息速率。

113

p.,=—Pc=-Pn=-

（2）若每個字母出現的概率為4,4,10,試計算傳輸的平均

信息速率。

解：首先計算平均信息量。

（1）

”=一￡P（^；.）log2p（y）=4*（-1）*log2（=2山〃字母

平均信息速率=2（bit/字母）/（2*5ms/字母）=200bit/s

（2）

111111a3

H=-ZP（y）log2P（X）=--log2---log2---log2---log2-=1.985bit/字母

'■1JIJL

平均信息速率=L985（bit/字母）/（2*5ms序母尸198.5bit/s

習題L13國際莫爾斯電碼用點和劃的序列發送英文字母，劃用持續3單位的電

流脈沖表示，點用持續1單位的電流脈沖表示，且劃出現的概率是點出現的概率的

1/3。

（1）計算點和劃為信息量；

（2）計算點和劃為平均信息量。

解：令點出現的概率為々明劃出現的頻率為"可

匕）+九）";〃二&）

匕）=才4乙產1/4

(1)

/(/4)=-log2〃(A)=0.415人〃

7(B)=-log2p(B)=2hit

(2)

331！仍萬/符號

H=一￡〃(再)log2pU,)=-log---log=0.81

224

習題1.14設一信息源的輸出由128個不同符號組成。其中16個出現的概率為

第二章習題

習題2.1設隨機過程X。)可以表示成：

X(/)=2cos(2^r+0),一8Vz<00

式中，e是一個離散隨機變量，它具有如下概率分布：P(e=0)=0.5,p(a=兀［2)=05

試求比X(f)］和Rx(0,l)o

解：仇X(f)]=P(0=0)2COS(2R)+P(0=JI/2)2cos(2m+—)=COS(2R)-sin2m

2

coscut

習題2.2設一個隨機過程X")可以表示成：

X(f)=2cos(2R+。)，-co</<oo

判斷它是功率信號還是能量信號？并求出其功率譜密度或能量譜密度。

解：為功率信號。

Rx⑺=加2X(f)X?+r)力

=limrfg；f-7722cos(2m+0)*2cos[2%(1+r)+0dt

=2cos(2^r)=ej2;T,+e~j2,r,

p(f)=J=M?)"/2s辦二j>("2"+靖2箱)/及叱dr

=5(7—I)+b(/+I)

習題2.3設有一信號可表示為:

4exp(-/),tNO

%(/)={

0,t<0

試問它是功率信號還是能量信號？并求出其功率譜密度或能量譜密度。

解：它是能量信號，XQ)的傅立葉變換為：

X(&)=J力=J^Ae-'eiMdt=可^e^+jM},dt=-^―

?.2

則能量譜密度416

G(J)=\X(f^=1+ja\"l+4<f2

習題2.4X(r)=%)cos2;rt-x2sin2/rt,它是一個隨機過程，其中陽和w是相互統

計獨立的高斯隨機變量，數學期望均為()，方差均為。、試求：

(I)EIX(OJ,￡[X2(n]；(2)X(r)的概率分布密度；⑶&(M2)

解：(1)E[X(r)]=口陽cos2加-x2sin2加]=cos2M--sin2加.E(x2)]=0

Px(f)因為K和/相互獨立，所以￡卜1々]二同/[>￡卜]。

又因為可再]=H=0，er?=￡卜；]_爐卜]],所以且x；]=目用=/。

故E[X2(Z)]=(cos22^r+sin22^T)cr2=cr:

(2)因為M和石服從高斯分布，X(f)是2和々的線性組合，所以X(f)也服從高斯分

布，其概率分布函數p(》)=-二vo

yj27raI2b)

(3)7?X(Z1,/2)=E[X(IA)X(/2)]=E[(X)COS2犯一X2sin2犯乂Mcos2^7,-x2sin2^r2)]

=<y2[cos2犯cos2鞏+sin2mlsin2m2]

=(J~cos24(/2-/1)

習題2.5試判斷下列函數中哪些滿足功率譜密度的條件：

(l)J(/)+cos227tf；(2)a+*/—a)；(3)exp(?-/2)

解：根據功率譜密度。⑺的性質：①P(/)N0,非負性；②P(-f)=P(f)，偶函數。

可以判斷(1)和(3)滿足功率譜密度的條件，(2)不滿足。

習題2.6試求X(f)=Acosd的自相關函數，并根據其自相關函數求出其功率。

解：R(f,t+z)=E[X(r)X(Z+r)]=￡[Acos6；/*Xcos(6!X4-r)]

I,A?

=-/42E[COSCOT+cosco(2t+r)]=-^-coscyr=R(T)

-2

功率P=R(())=—

2

習題2.7設X?)和X2。)是兩個統計獨立的平穩隨機過程，其自相關函數分別

為RXi(7)和°試求其乘積X(/)=X]⑺X2⑺的自相關函數。

解：R^r,r+l)=E[X(/)X(m)]=E[X,(/)X2(r)X,(t+r)X2(t+r)]

=.X](E)X](r+r)]E[X2(t)X2(t+r)]=—⑺?

習題2.8設隨機過程X?)=〃?⑺cos",其中機⑺是廣義平穩隨機過程，且其自

相關函數為

10^/2,-10kHZ</<10kHZ

&(/)=

0淇它

(1)試畫出自相關函數Rx?)的曲線;Q)試求出X⑺的功率譜密度G(/)和功率P。

1+r,-1<r<0

解：(l)R()h-()<r<l

0,其它

其波形如圖2-1所示。

(2)因為X⑺廣義平穩，所以其功率譜密度PX3)CRX，)。由圖2-8可見，0k)

的波形可視為一個余弦函數與一個三角波的乘積，因此

*)=%胤。+9))+3(口―g)]*；Sa2(/xl

2

￡匚4(必或s=E(o)*

習題2.9設信號的傅立葉變換為X(f)二切包。試求此信號的自相關函數

兀f

%(工)。

解：。⑺的能量譜密度為GS=|X(7)「二

1+F,-l<r<0

其自相關函數&⑺=JUG(/)d寸卬=1一『()<r<l

0,其它

習題2.10已知噪聲〃(。的自相關函數R〃(r)=&e則，k為常數。

⑴試求其功率譜密度函數4(/)和功率P;⑵畫出凡上)和匕(/)的曲線。

解：(1)^(/)=fZWe-j-dT=JZ^e-^dT==

JJ2k+(17if)

P=R@=k/2

(2)凡⑺和￡⑺的曲線如圖2-2所示。

圖2-2

習題2.11已知一平穩隨機過程X⑴的自相關函數是以2為周期的周期性函數:

R（r）=l—忖，-l<r<l

試求X⑴的功率譜密度心（一）并畫出其曲線。

解：詳見例2-12

習題2.12已知一信號x⑴的雙邊功率譜密度為

10-4/2,-10kHZ</<10kHZ

&（/）=

。里它

試求其平均功率。

1Q，42

解：P=\ZPX(/)#=2j710/#=2*10"f=j*⑹

習題213設輸入信號=，將它加到由電阻R和電容C組成的高

0,r<0

通濾波器（見圖2-3）上，RC=io試求其輸出信號y⑴的能量譜密度。

解：高通濾波器的系統函數為

H⑴=X(f)=2cos(2R+。)，-CO</<CO

輸入信號的傅里葉變換為

X（f）=--!——

\+jl7TfT

T

輸出信號y⑴的能量譜密度為

22Rr圖2-3RC高通濾波器

cy(/)=|r(/)|=|x(/)H(/)|=

(R+------)(1+------)

R兀fCj^fr

習題2.14設有一周期信號x⑴加于一個線性系統的輸入端，得到的輸出信號為

y⑴■［公Q)/力］式中，z■為常數。試求該線性系統的傳輸函數H⑴.

解：輸出信號的傅里葉變換為Y(f>r*/24尸X(/),所以H⑴=Y⑴/X(f)=j2漢"

習題2.15設有一個RC低通濾波器如圖2-7所示。當輸入一個均值為0、雙邊

功率譜密度為久的白噪聲時，試求輸出功率譜密度和自相關函數。

2

解：參考例2■參

習題2.16設有一個LC低通濾波器如圖2-4所示。若輸入信號是一個均值為0、

雙邊功率譜密度嶺的高斯白噪聲時，試求

(1)輸出噪聲的自相關函數。(2)輸出噪聲的方差。

解：(1)LC低通濾波器的系統函數為

2

j2wfC1

乙…世i—4/cc

j^fC圖2-4LC低通濾波器

輸出過程的功率譜密度為4(。)=月⑻I”(⑼廣=1

2\-a)2LC

對功率譜密度做傅立葉反變換，可得自相關函數為4(r)=C%exp(-C忖)

4LL

(2)輸出亦是高斯過程，因此

/=R°(0-R°(0)=空

習題2.17若通過圖2-7中的濾波器的是高斯白噪聲，當輸入一個均值為0、雙邊

功率譜密度為*的白噪聲時，試求輸出噪聲的概率密度。

解：高斯白噪聲通過低通濾波器，輸出信號仍然是高斯過程。由2.15題可知

E(y(t))=o,%2=與(。)=含

4/\C

所以輸出噪聲的概率密度函數

,、1/2JCRCX

Pv(x)=Iexp(-----------)

\2RC

習題2.18設隨機過程自⑺可表示成卻)=2cos(2m+6),式中8是一個離散隨變

量，且p(夕=0)=1/2、p(夕=1/2)=1/2,試求四氫DI及"?1)°

解：￡1^(1)J=1/2*2cos(2^+0)+1/2*2cos(2^+^/2)=1;

4(0,1)=￡[^(0)^(1)]=1/2*2cos(0)2cos(2^+0)+l/2*cos(7/2)2cos(2乃+萬/2)=2

習題2.19設Z(/)=%cos叼-X?sin叼是一隨機過程，若乂和是彼此獨立且

具有均值為0、方差為/的正態隨機變量，試求：

(D回Z(r)]、E[Z2(t)],

(2)Z")的一維分布密度函數/'(z)；

(3)仇乙」2)和),

解：

(1)

E[Z(t)]=E[X]cos叼一X?sinw()t]=coswotE[Xf]-sinwotE[X2]=0

因為x和X2是彼此獨立的正態隨機變量，X1和X?是彼此互不相關，所以

E[XiX2]=0

222222222

E[Z(r)]=^X,cosw;/-X2sinw()t\=cosH；/E[X,]+sin>v(/E[X2]

又以XJ=0；O(XJ=E[X「]-E[X22]=/=E[X；]二/

同理反Xz4nb?

代入可得耳Z2Q)]=/

(2)

2

由E[Z(t)]=0.E[Z\t)]=a又因為ZQ)是高斯分布

、f[Z(t)]=-j=^exp(一二)

可得D[Z(t)]=a2而o2/

(3)

B&4)=R(34)一￡[Z(r,)]E[Za2)]=R(t、，G)

=￡{(X[coswoti-X2sin，J(Xicosvvor2-X2sin%r2)]

=E[(X~cos%]coswot2+X2~sin/4sinwot2)J

22

=acosw()(t}-t2)=(ycosw()r

令

習題2.20求乘積Z?)=XQ)y⑺的自相關函數。已知XQ)與丫⑺是統計獨立的平

穩隨機過程，且它們的自相關函數分別為段⑺、號”)。

解：

因X")與丫⑺是統計獨立，故可xw=Eix]￡iy]

R7(r)=E[Z(r)Z(r+r)]=E[X(t)Y(t)X(t+r)Y(t+r)]

=E[X(t)X(t+r)]E[Y(t)Y(t+r)]=RX(T)RY(T)

習題2.21若隨機過程z（r）=m（/）8sw+d）,其中〃2。）是寬平穩隨機過程，且自相關

l+r,-l<r<0

R〃O=,I-r,0<r<1

函數此⑺為°，其它夕是服從均勻分布的隨機變量，它與相⑺彼

此統計獨立。

(1)證明Z"）是寬平穩的；

(2)繪出自相關函數七①）的波形;

(3)求功率譜密度與（卬）及功率So

解:

(1)Z⑴是寬平穩的o虱Z。)]為常數;

E[Z(t)]=E[m(t)cos(wQt+0)]=E[m(t)]E[cos(w0t+0}\

12/

=(一JCOS(MV+e)de]￡fz([)]=o

24o

Rz&，G)=E[Z(f,)Z(r2)]=E[/n(r,)cos(%r,+^)w(/2)cos(w0r2+<9)]

=E\m(ix)in(t2)]E[cos(+6)cos(w()t2+，)]

=此。2F）只與才2=個有關:

令G=4+r

E{cos(%%+0)cos[%(乙+7)+(]}

E{cos(/%+e)[cos(%G+e)cos%T-sin(%/]+9)sinWOT}

2

=cosvvor*Efcos(vv;/,+^)1-sin吸)c*E[cos(哪+6)sin(/%+夕)]

=cos%r*F{^[l+cos2(\v()t}4-0]}-0

=gcos(%r)

RzJo）=-COS（%r）*R?\T）

所以2只與「有關，證畢。

（2）波形略；

—(14-r)cos(iVgr),-l<r<0

Rz⑺=gcos(vvT)*R,”⑺=?

0—(l-r)cos(vt^T),0<r<1

0,其它

%（卬）oRz?）

而七”）的波形為

可以對凡”“）求兩次導數，再利用付氏變換的性質求出凡＜「）的付氏變換。

R,；⑺=必+1）-2"）+5（r-1）=匕,（卬）=—叱2）=（三）

w/22

=弓（卬）;圖2（中）+“2（中）］

?乙乙

功率S：S="（0）=l/2

習題2.22已知噪聲〃⑺的自相關函數""）一2""一"蹄，/為常數：求月仆'）和S；

解：

exp（一咖）=▼、

因為卬+。

2

&（7）=?exp（_a忖）=匕（卬）=,

所以211卬-+（

S=/?(0)=-

J

習題2.234⑺是一個平穩隨機過程，它的自相關函數是周期為2S的周期函數。

在區間（-1,1）匕該自相關函數氏⑺句一忖。試求4⑺的功率譜密度4（刈o

/?（r）=l-|r|<=>S?2（-）

解：見第2.4題2

因為心⑺=￡：=〃（—2,z）所以么i）=R（力*心⑺

據付氏變換的性質可得弓（的=玲（2后（卬）

而多⑺二2二次"2〃）=?ZL—m

2

P.（vv）=PR（W）FS（W）=So"上）*乃，'3（卬一、笈）=Sa（——竺）*\>：0卬-〃乃）

故‘’212-

習題2.24將一個均值為0,功率譜密度為為“。/2的高斯白噪聲加到一個中心角

頻率為叱、帶寬為B的理想帶通濾波器上，如圖

（1）求濾波器輸出噪聲的自相關函數；

（2）寫出輸出噪聲的一維概率密度函數。

解：

5（卬）二|"（卬）2以卬）=今”（卬）

（1）z

土G”、.(vv)oSa(vvor)

因為“"，故G2B”(MO3S〃(B")

乂H(w)=G23式卬)*[3(卬+wc)+b(w-wj

5(卬+叱.)+5(w—w)o-cos(M^.r)

c71

工⑺啟g如C）

由付氏變換的性質

可得

2(卬)=￡，(卬)=2M(卬)*俗(卬+1)+3(w-wc)

<=>R(r)=7?0BSa(B-rr)cos(vt;.r)

(2)仇以川二0；R(0)=E《2Q)]=B〃。；R(g)=￡2⑥⑺]=0

所以/=7?(0)-R3)=迎

乂因為輸出噪聲分布為高斯分布

1t2

/^0(/)]=-=—exp(---)

可得輸出噪聲分布函數為3所。加。

習題2.25設有RC低通濾波潛，求當輸入均值為0,功率譜密度為%〃的白噪聲

時，輸出過程的功率譜密度和自相關函數。

解：

1

jwC1

H(W)=

R+—L向RC+1

八Uc

exp(一.〔巾=芋

⑵因為卬'+。

Po(卬)=y*(J..1o%(「)=含exp(一縣)

所以2(卬RC)+14RCRC

習題2.26將均值為0,功率譜密度為〃。/2高斯白噪聲加到低通濾波器的輸入端,

(1)求輸出噪聲的自相關函數；

(2)求輸出噪聲的方差。

解:

R

“(卬):-------

R+jwL

2(墳)=月(卬)|"(卬)『=￡*R2二哂20%⑴=券exp(一粵)

(1)

⑵￡1%(01=0,

/=R(0)_RQ)=R(0)=鬻

習題2.27設有一個隨機二進制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續時為脈沖

幅度取±1的概率相等。現假設任一間隔]內波形取值與任何別的間隔內取值統計無

關，且過程具有寬平穩性，試證:

。，忖〉刀，

⑴

Rq=4i~\r\/T]r\<T

(1)自相關函數hh

2

(2)功率譜密度"(助=Th[Sa(7rfTh)]

解：

(1)%?)=凰g)g+丁)]

①當M>零時,如)與卻+「)無關，故為⑴=0

②當忖〈I時，因脈沖幅度取±1的概率相等，所以在21內，該波形取-1

的概率均為了。

?1、11、-11、1-1

(A)波形取-1-1、11時,

T凡(r)=E[i(tK(t+r)]=l*l=l/4

在圖示的一個間隔[內，4

(B)波形取-11、1-1時，

7號(r)=比卻)加+r)]=l*-小

在圖示的一個間隔〃內，',匕

I-<r&?)=￡1a)&+7)]=2*；+2*；(4目一4)二1-4

當同工立時，447；,7；,Th

。，忖>1

&⑺=

i-\r\/T]T\<T

故bh

(2)

22ATc2/MZ\Ar

u>—Scr(—)

24,其中2為時域波形的

2

R?)<=>〃^卬)=TbSa(^-)

面積。所以'>2

習題2.28有單個輸入、兩個輸出的線形過濾器，若輸入過程，"⑺是平穩的，求

。⑺與⑺的互功率譜密度的表示式。（提示：互功率譜密度與互相關函數為付利葉

變換對）

解：

a

&N）=\W-B）k（p）d。

00

凡2（5+7）=￡依&旗&+「）］

8

=耳卜7&-a)。(a)da卜7(。+7-p)h^p)dp\

=jJh]+a-pyladp

0o

%(M=JRn(T)e-^dT=\dr\da\[似a)似尸)(?+。一夕)《小2月

所以-<x?-00-00-00

令v=7十a-〃

00

%(卬)=Jh(a)e^da\力(4)"川口竹=H；(w)H2(w)P^w)

-00

習題2.29若夕,）是平穩隨機過程，自相關函數為0”），試求它通過系統后的自

相關函數及功率譜密度，

解：

h(t)=5(，)+6。-7)oH(w)=1+e~jwT|H(w)|=(2+2cosvvT),/2

F^(w)=\H(w)[E(W)=2(1+coswT)^(vv)

=22(w)+2cosvvT*?(卬)=2?(卬)+(6一向『+^M'r)E(w)

<=>2R式工)+/(7―7)+&(匯+T)

習題2.30若通過題2￡的低通濾波器的隨機過程是均值為0,功率譜密度為〃。/2

的高斯白噪聲，試求輸出過程的一維概率密度函數。

解：

E[/?o(/)]=O.

4（卬）二區*——!~7。&（7）=exp（-同）=/='

21+（M，RC）2°4RCRC4RC

又因為輸出過程為高斯過程，所以其一維概率密度函數為

/W=-r^=exp(

2)

<2而2<T

第四章習題

習題4.1試證明式品（7）="￡*/-%）。

/w="ac

證明：因為周期性單位沖激脈沖信號多⑺二周期為（，其傅里葉

ns-x

00

變換Ac（①）=2乃2F/U-響）

〃=-00

而月書"…$

所以AQ（^）=—X

/$W=-Q0

18

即An（/）=-Z^-^）

〃=-00

習題4.2若語音信號的帶寬在300?400Hz之間，試按照奈奎斯特準則計算理

論上信號不失真的最小抽樣頻率。

解：由題意，/〃=3400Hz/=300Hz,故語音信號的帶寬為

^=3400-300=3100Hz

3

fn=3400Hz=lx3100+^-x3100=〃8+3

即n=1,A:=3/31o

根據帶通信號的抽樣定理，理論上信號不失真的最小抽樣頻率為

A=2B(l+-)=2x31()0x(1+—)=6800Hz

n31

習題4.3若信號s?)=sin(314,)/314，。試問：

(1)最小抽樣頻率為多少才能保證其無失真地恢復？

(2)在用最小抽樣頻率對其抽樣時，為保存3min的抽樣，需要保

存多少個抽樣值？

解：5(r)=sin(314r)/314z,其對應的傅里葉變換為

R314,同4314

S（69）=*

0,其他

信號s⑺和對應的頻譜S(o)如圖4-1所示。所以幾=%/2乃=314/24=50Hz

根據低通信號的抽樣定理，最小頻率為￡=2兀=2x50=100Hz,即每秒采100

個抽樣點，所以3min共有：100x3x60=18000個抽樣值。

習題4.4設被抽樣的語音信號的帶寬限制在300?3400Hz,抽樣頻率等于

8000Hz。試畫出己抽樣語音信號的頻譜，并在圖上注明各頻率點的坐標值。

圖4-2習題4.4圖

習題4.5設有一個均勻量化器，它具有256個量化電平，試問其輸出信號量噪

比等于多少分貝？

解：由題意M=256,根據均勻量化量噪比公式得

(5,/N,\B=201gM=201g256=48.16dB

習題4.6試比較豐均勻量化的A律和〃律的優缺點。

答：對非均勻量化：八律中，A=87.6；〃律中，4=94.18。一般地，當4越大時,

在大電壓段曲線的斜率越小，信號量噪比越差。即對大信號而言，非均勻量化的〃律

的信號量噪比比4律稍差；而對小信號而言，非均勻量化的〃律的信號量噪比比4

律稍好。

習題4.7在八律PCM語音通信系統中，試寫出當歸一化輸入信號抽樣值等于

0.3時，輸出的二進制碼組。

解：信號抽樣值等于0.3,所以極性碼9=1。

查表可得0.3G(1/3.93,1/1.98)，所以0.3的段號為7,段落碼為110,故c2c3c4=110o

第7段內的動態范圍為：。L98T3.93)「工,該段內量化碼為〃，則

1664

HX—+—=03,可求得〃乏3.2,所以量化值取3。故。&60與二0011。

643.93

所以輸出的二進制碼組為11100011。

習題4.8試述PCM、DPCM和增量調制三者之間的關系和區別。

答：PCM、DPCM和增量調制都是將模擬信號轉換成數字信號的三種較簡單和常

用的編碼方法。它們之間的主要區別在于：PCM是對信號的每個抽樣值直接進行量

化編碼：DPCM是對當前抽樣值和前一個抽樣值之差(即預測誤差)進行量化編碼；

而增量調制是DPCM調制中一種最簡單的特例，即相當于DPCM中量化器的電平數取

2,預測誤差被量化成兩個電平+△和?A,從而直接輸出二進制編碼。

第五章習題

習題5.1若消息碼序列為1101001000001,試求出AMI和HDB3碼的相應序列。

解：AMI碼為+1-10+100-100000+1

+1-10+100-1000-10+1

HDB3碼為

習題5.2試畫出AMI碼接收機的原理方框圖“

解：如圖如20所示。

圖5-1習題5.2圖

習題5.3設8Q)和g2?)是隨機二進制序列的碼元波形。它們的出現概率分別是。和

(1-P)o試證明：若「=---------------=k,式中，左為常數，且0<Zvl,則此序列中將

無離散譜。

證明：若P=------!------=k,與t無關，且OvAvl,則有

1一處⑺/火2?)

/-I

82⑴

即Pgl(t)=pg2(t)-g2(t)=(p-l)g2(t)

Pgl(t)+(l-P)g2(t)=O

所以穩態波為此)=。+(1-P)?2”一〃力

=￡[咫|(/_〃()+(1_尸皿2(，_"()]=0

即1.(卬)=0。所以無離散譜。得證！

習題5.4試證明式"(。=—4sin(2;zW)/H,(/+VV)sin(2^)d/\

證明：由于%?)=[:HA/)/?浜h.，由歐拉公式可得

九⑹二L(f)(cos2/+jsin2中)時

=￡M(/)cos2W+j￡乩(/)sin2?

由于“A/)為實偶函數，因此上式第二項為0,且

4a)=2「N(/)cos(23W

令，f=f'+W,df=df\代入上式得

%⑺=2pH(r+W)cos[2〃(/'+W)”4r

J-w]

=2j：H](/+W)cos2小cos2/zW4+嘰H](/+W)sin2于sin2/iWtdf

由于a(/)單邊為奇對稱，故上式第一項為o,因此

/?,⑺=2sin2iW「.M(/-W)sin27rft用

J-IV

=4sin211時：H](f4W)sin2中用

習題5.5設一個二進制單極性基帶信號序列中的“1”和“0”分別用脈沖gQ)［見圖5-2的

有無表示，并且它們出現的概率相等，碼元持續時間等于丁。試求：

(1)該序列的功率譜密度的表達式，并畫出其曲線；

(2)該序列中有沒有概率/=1/7的離散分量？若有,試計算其功率。

解:

(1)由圖5-21得

g")的頻譜函數為:

由題意，P(O)=MI)=尸=1/2,且有g4)=g?),g2(t)=0,所以

GQ)=G(/),G2(/)=O?將其代入二進制數字基帶信號的雙邊功率譜密度函數的表達式中，

可得

1001+(1-P)G^y^

PG'm2

Ps(f)=-P(l-Pg(/)-G2(f)\'

1—一<801

2

=lp(l_p)lc(/)l+Jll(1_p)Gl

1

4T4G卜翡㈱巾用

2

4(wTAJ4m兀

+^-tsa

1616~~T

曲線如圖5-3所示。

圖5.3習題5.5圖2

(2)二進制數字基帶信號的離散譜分最為

2

R(w)哈41二>4

16：等學

當m=±l時，f=±l/T,代入上式得

22

R(w)=而+"+而物71

16T162>

因為該二進制數字基帶信號中存在f=VT的離散譜分量，所以能從該數字基帶信號中提取碼

元同步需要的f=l/T的頻率分量。該頻率分量的功率為

222

7171AA2A

S--Sa4一二十丁—一丁

16啖s。717171

習題5.6設?個二進制雙極性基帶信號序列的碼元波形g(f)為矩形脈沖，如圖5-4所示，

3

其高度等于1，持續時間干=773,T為碼元寬度；且正極性脈沖出現的概率為士，負極性脈沖

4

出現的概率為工。

4

(1)試寫出該信號序列功率譜密度的表達式，并畫出其曲線；

該序列中是否存在/=］的離散分量？若有，試計算其功率。

圖5-4習題5.6圖

解：(1)基帶脈沖波形g(1)可表示為：

1|t|<r/2

0其他

T

g⑺的傅里葉變化為：