滬教版數學九年級上冊21.4二次函數的應用（第3課時）教案科目授課時間節次--年—月—日（星期——）第—節指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節名稱）滬教版數學九年級上冊21.4二次函數的應用（第3課時）教案教學內容滬教版數學九年級上冊21.4二次函數的應用（第3課時）教案

本節課主要內容包括：二次函數的圖像與性質，二次函數在幾何中的應用，二次函數在實際問題中的應用，二次函數的求解方法。通過本節課的學習，學生能夠掌握二次函數的圖像與性質，學會利用二次函數解決實際問題。核心素養目標分析本節課旨在培養學生數學建模、邏輯推理、數學運算和直觀想象的核心素養。學生將通過分析二次函數的圖像和性質，學會將實際問題抽象為數學模型，運用邏輯推理解決數學問題，并通過數學運算得到準確的答案。同時，通過直觀想象，提高學生對函數圖形的理解和運用能力。教學難點與重點1.教學重點

-理解二次函數圖像與性質的關系：學生需要明確二次函數的頂點、對稱軸和開口方向如何影響其圖像的形狀。

-應用二次函數解決實際問題：重點在于如何將實際問題轉化為二次函數模型，并利用函數的性質解決問題，如求最大值或最小值。

2.教學難點

-二次函數圖像的直觀理解：學生可能難以直觀地理解二次函數圖像的對稱性和開口方向對函數值的影響。

-模型建立與實際問題的關聯：將實際問題轉化為二次函數模型的過程可能對學生來說較為抽象，需要通過具體例子幫助學生建立聯系。

-復雜問題中的二次函數求解：在解決復雜問題時，學生可能需要應用多個數學工具，如導數、不等式等，這要求學生具備較強的綜合運用能力。

-函數性質在實際問題中的應用：學生需要理解如何利用二次函數的增減性、對稱性等性質來分析實際問題中的變化趨勢。例如，在研究拋物線運動軌跡時，如何利用函數的對稱性來簡化計算過程。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有滬教版數學九年級上冊教材，特別是21.4章節的內容。

2.輔助材料：準備與二次函數圖像相關的圖片、圖表，以及二次函數在實際問題中的應用案例視頻。

3.實驗器材：準備一些簡單的幾何工具，如直尺、圓規等，用于學生繪制二次函數圖像。

4.教室布置：設置分組討論區，以便學生進行小組合作學習；確保實驗操作臺或黑板空間充足，方便展示和討論。教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發興趣：展示一些二次函數在實際生活中的應用實例，如拋物線運動軌跡、建筑設計等，引導學生思考這些現象背后的數學原理。

-回顧舊知：簡要回顧二次函數的基本概念，包括二次函數的一般形式、圖像特點等，幫助學生復習相關知識點。

2.新課呈現（約20分鐘）

-講解新知：

-詳細講解二次函數的圖像與性質，包括頂點坐標、對稱軸、開口方向等。

-通過具體例子說明二次函數圖像的繪制方法，如利用頂點式或交點式。

-舉例說明：

-以拋物線運動軌跡為例，講解如何利用二次函數求解物體在特定時間內的位置。

-以建筑設計為例，講解如何利用二次函數求解建筑物的最大承載面積。

-互動探究：

-引導學生分組討論，探討二次函數在實際問題中的應用場景。

-安排學生進行小組實驗，通過繪制二次函數圖像，觀察函數性質的變化。

3.鞏固練習（約20分鐘）

-學生活動：

-學生獨立完成教材中的練習題，加深對二次函數圖像與性質的理解。

-學生嘗試將實際問題轉化為二次函數模型，并利用函數性質解決問題。

-教師指導：

-教師巡視課堂，觀察學生的學習情況，及時給予學生指導和幫助。

-教師針對學生的練習情況，進行個別輔導，解答學生的疑問。

4.拓展延伸（約10分鐘）

-教師引導學生思考二次函數在更高維度中的應用，如三維空間中的二次曲面。

-學生分享自己在拓展延伸過程中的發現和思考。

5.總結與反思（約5分鐘）

-教師總結本節課的主要知識點，強調二次函數在實際問題中的應用價值。

-學生反思自己在學習過程中的收獲和不足，提出改進措施。

6.布置作業（約5分鐘）

-教師布置課后作業，包括教材中的練習題和拓展延伸題。

-學生根據作業要求，自主完成作業，鞏固所學知識。

教學過程中，教師應注重啟發式教學，引導學生積極參與課堂活動，培養學生的創新思維和解決問題的能力。同時，關注學生的學習差異，給予不同層次的學生適當的指導和幫助。學生學習效果學生學習效果

1.理解與掌握二次函數的圖像與性質

-學生能夠準確識別二次函數的圖像特點，包括頂點、對稱軸、開口方向等。

-學生能夠根據二次函數的系數和常數項，判斷函數圖像的形狀和位置。

-學生能夠描述二次函數圖像與實際問題的關聯，如拋物線的對稱性和開口方向對物體運動軌跡的影響。

2.應用二次函數解決實際問題

-學生能夠將實際問題轉化為二次函數模型，并利用函數的性質進行求解。

-學生能夠求解二次函數的最大值或最小值，解決如建筑設計中的最大承載面積問題。

-學生能夠利用二次函數解決實際問題，如物體運動軌跡的計算、地形分析等。

3.增強數學建模能力

-學生通過本節課的學習，能夠將實際問題抽象為數學模型，提高數學建模能力。

-學生能夠根據實際問題，選擇合適的二次函數模型，進行求解和分析。

-學生在解決實際問題時，能夠運用二次函數模型進行邏輯推理和計算，提高解決問題的能力。

4.提升邏輯推理和數學運算能力

-學生在分析二次函數圖像和性質的過程中，鍛煉了邏輯推理能力。

-學生在解決實際問題時，需要運用數學運算技巧，如代數運算、三角函數等，提升了數學運算能力。

-學生通過課堂練習和作業，熟練掌握了二次函數的運算方法，為后續學習打下堅實基礎。

5.培養直觀想象和空間思維能力

-學生通過繪制二次函數圖像，培養了直觀想象能力，能夠更好地理解函數的性質。

-學生在解決空間問題時，能夠運用二次函數模型進行計算和分析，提升了空間思維能力。

-學生在觀察和描述二次函數圖像的過程中，鍛煉了空間感知能力，為后續學習立體幾何奠定基礎。

6.提高團隊合作和溝通能力

-學生在小組討論和實驗探究中，學會了與他人合作，共同解決問題。

-學生在分享和討論自己的學習成果時，提高了口頭表達和溝通能力。

-學生通過互相學習和交流，學會了傾聽他人意見，拓寬了思維視野。教學反思與改進教學反思與改進

這節課下來，我覺得挺有收獲，但也發現了一些需要改進的地方。

首先，我覺得在導入環節，我通過展示一些實際生活中的二次函數應用案例，比如拋物線運動軌跡的圖片，確實激發了學生的興趣。但是，我發現有些學生對于這些案例的理解還不夠深入，他們在將實際問題與數學模型之間建立聯系時顯得有些吃力。這可能是因為他們對現實世界的觀察和抽象思維能力還有待提高。所以，我打算在未來的教學中，增加一些現實生活中的實例，同時設計一些引導性問題，幫助學生更好地理解和應用這些實例。

其次，我在講解二次函數圖像與性質時，盡量用簡潔明了的語言，并結合圖表進行講解。我發現學生們對于二次函數的圖像特點理解得還不錯，但在具體應用時，比如如何根據實際問題確定二次函數的頂點坐標，他們還是有些困惑。這可能是因為我沒有足夠的時間來詳細解釋每個步驟的原因。因此，我計劃在未來的教學中，為這類問題設計一些詳細的步驟圖，或者制作一些教學視頻，讓學生在課后可以反復觀看。

在互動探究環節，我安排了小組討論和實驗探究活動，目的是讓學生通過合作學習來加深對知識的理解。但是，我發現部分小組在討論過程中，有些學生參與度不高，可能是因為他們對某些概念不夠熟悉，或者不知道如何表達自己的觀點。為了解決這個問題，我打算在未來的教學中，提前為學生提供一些討論指南，幫助他們更好地參與到小組活動中來。

鞏固練習環節，我布置了一些課后作業，旨在讓學生通過練習來鞏固所學知識。但是，我發現有些學生的作業完成質量不高，可能是因為他們對某些知識點掌握得不夠扎實。為了提高作業質量，我計劃在未來的教學中，對作業進行分層設計，讓學生根據自己的學習情況選擇合適的練習，同時加強對作業的批改和反饋。

最后，我覺得在教學過程中，我還可以更加注重學生的個體差異。有些學生可能對二次函數的理解比較快，而有些學生則需要更多的指導和幫助。因此，我打算在未來的教學中，采用更多的差異化教學方法，比如個別輔導、小組合作學習等，以滿足不同學生的學習需求。典型例題講解例題1：已知二次函數的圖像開口向上，對稱軸為x=2，頂點坐標為(2,-3)。求該函數的表達式。

解答：由題意知，二次函數的一般形式為y=a(x-h)2+k，其中(h,k)為頂點坐標。代入頂點坐標(2,-3)，得到y=a(x-2)2-3。由于圖像開口向上，系數a>0。假設a=1，則函數表達式為y=(x-2)2-3。驗證這個函數是否滿足題意，即頂點坐標是否為(2,-3)。代入x=2，得到y=(-3)2-3=6-3=3，與頂點坐標不符。因此，需要重新設定a的值。由于頂點坐標的y值已經確定為-3，可以嘗試將a設為1/4，得到y=(x-2)2/4-3。代入x=2，得到y=(-3)2/4-3=9/4-3=9/4-12/4=-3/4，與頂點坐標不符。繼續調整a的值，最終找到合適的a=1/2，得到函數表達式y=(x-2)2/2-3。驗證后，該函數滿足題意。

例題2：已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個交點，且這兩個交點的橫坐標之和為-2，乘積為-6。求該函數的表達式。

解答：設兩個交點的橫坐標分別為x?和x?，根據題意有：

x?+x?=-2

x?*x?=-6

由二次函數的根與系數的關系可知，對于函數y=ax2+bx+c，其根的和為-x?/x?，根的積為c/a。因此，有：

-x?/x?=-2

c/a=-6

由第一個等式得到x?/x?=2。結合第二個等式，得到c=-6a。將c代入函數表達式中，得到y=ax2+bx-6a。由于x?和x?是函數的根，可以將它們代入函數表達式中，得到兩個方程：

a*x?2+b*x?-6a=0

a*x?2+b*x?-6a=0

由于x?+x?=-2，可以將x?表示為x?=-2-x?，代入上述方程中，得到：

a*x?2+b*x?-6a=0

a*(-2-x?)2+b*(-2-x?)-6a=0

展開并整理上述方程，得到一個關于x?的二次方程。解這個方程，找到x?的值，進而得到x?的值。最后，將x?和x?的值代入函數表達式中，得到二次函數的表達式。

例題3：已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像開口向上，且函數在x=1時的值為0。求該函數的最大值。

解答：由于函數開口向上，其頂點為函數的最小值點。由于函數在x=1時的值為0，說明x=1是函數的一個根。因此，函數可以表示為y=a(x-1)2+c。由于函數開口向上，最大值發生在頂點處，即x=1。將x=1代入函數表達式中，得到y=a(1-1)2+c=c。因此，函數的最大值為c。

例題4：已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像與y軸的交點為(0,3)，且函數在x=2時的值為-1。求該函數的表達式。

解答：由于函數與y軸的交點為(0,3)，說明當x=0時，y=3。因此，c=3。函數可以表示為y=ax2+bx+3。由于函數在x=2時的值為-1，代入得到-1=a*22+b*2+3。整理得到4a+2b+3=-1，即4a+2b=-4。現在有兩個未知數和兩個方程，需要另一個條件來解這個方程組。由于函數圖像是開口向上的拋物線，可以假設a=1（這是一個假設，因為我們只需要一個正數來滿足開口向上的條件）。代入上述方程，得到4+2b=-4，解得b=-4。因此，函數的表達式為y=x2-4x+3。

例題5：已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個交點，且這兩個交點的橫坐標分別為-1和3。求該函數的表達式。

解答：由于兩個交點的橫坐標分別為-1和3，說明函數在x=-1和x=3時的值為0。因此，函數可以表示為y=a(x+1)(x-3)。展開得到y=ax2-2ax-3a。由于這個函數是開口向上的拋物線，可以假設a=1（同樣，這是一個假設，因為我們只需要一個正數來滿足開口向上的條件）。因此，函數的表達式為y=x2-2x-3。板書設計①二次函數的基本形式

-y=ax2+bx+c

-a≠0

②二次函數的圖像與性質

-開口方向：a>0時，開口向上；a<0時，開口向下。

-對稱軸：x=-b/(2a)

-頂點坐標：(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=c-b2/(4a)

③二次函數圖像的