7.5.1三角形內(nèi)角和定理第七章平行線的證明八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?北師大版平行線的性質(zhì)性質(zhì)定理命題證明步驟兩直線平行，同位角相等根據(jù)題意畫(huà)出圖形根據(jù)題意寫(xiě)出已知及求證寫(xiě)出證明過(guò)程兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)知識(shí)回顧學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.2.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問(wèn)題.課堂導(dǎo)入我們知道三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎?如圖，當(dāng)時(shí)我們是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.在紙上任意畫(huà)一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀測(cè)的結(jié)果不一定可靠，還需要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明.從上面的操作過(guò)程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？新知探究已知:如圖，△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=180°.分析：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作射線CE∥AB，這樣，就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.ABC

證明：作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，則你還有其他方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?∠1=∠A(

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

),∠2=∠B(

兩直線平行，同位角相等

).

又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).ABCE213D三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.ABC如圖，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.定理想一想在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處，他過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖)，他的想法可以嗎?ABCPQ證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作PQ∥BC，則ABC∠1=∠B(

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等

),∠2=∠C(

兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等

),∵∠1+∠2+∠3=180°(

平角的定義

),∴∠BAC+∠B+∠C=180°(

等量代換

).123PQ你還有其他方法來(lái)證明三角形內(nèi)角和定理嗎?證明：如圖，過(guò)D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.CBADEF多種方法證明的核心是什么？思考AB12345lACBlPm123456借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫(huà)成虛線.總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.例1如圖，在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).解：因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，

在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣75°﹣20°=85°.ABCD例2

如圖，△ABC中，D在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.模型總結(jié)隨堂練習(xí)1.在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°，則∠C=

.2.∠A=∠B+∠C，則這個(gè)三角形是

.3.直角三角形兩銳角的平分線相交所成角的度數(shù)為（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.都不對(duì)30°直角三角形C4

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°.所以3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.5.如圖，AD，AE分別為△ABC的高線和角平分線，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度數(shù).解：∵∠B=35°，∠C=45°且∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=100°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=50°.∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°.∵∠B+∠