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定積分在物理學上的應用上頁下頁鈴結束返回首頁一、變力沿直線所作的功

例1

電量為+q的點電荷位于r軸的坐標原點O處,

它所產生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r

a處移動到r

b(a<b)處,

求電場力對單位正電荷所作的功.

解

在r軸上,

當單位正電荷從r移動到r+dr

時,

提示：根據物理學,

在電量為+q的點電荷所產生的電場中,

距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為下頁于是所求的功為下頁一、變力沿直線所作的功

例1

電量為+q的點電荷位于r軸的坐標原點O處,

它所產生的電場力使r軸上的一個單位正電荷從r

a處移動到r

b(a<b)處,

求電場力對單位正電荷所作的功.

解

在r軸上,

當單位正電荷從r移動到r+dr

時,

例2

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體.

在等溫條件下,

由于氣體的膨脹,

把容器中的一個活塞從點a處推移到點b處.

計算在移動過程中,

氣體壓力所作的功.

解

所以作用在活塞上的力為在點x處,因為V

xS,

提示：由物理學知道,

一定量的氣體在等溫條件下,

壓強p與體積V的乘積是常數k

,

即下頁于是所求的功為

下頁

例2

在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體.

在等溫條件下,

由于氣體的膨脹,

把容器中的一個活塞從點a處推移到點b處.

計算在移動過程中,

氣體壓力所作的功.

解

在點x處,因為V

xS,

所以作用在活塞上的力為因為這薄層水的重力為9.8

32dx,

例3

一圓柱形的貯水桶高為5m,

底圓半徑為3m,

桶內盛滿了水.

試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？

在區間[0,5]上點x處任取一薄層水,其的高度為dx.

解

作x軸如圖.此即功元素.

dW

9.8

32

xdx所以把這薄層水吸出桶外所需作的功近似為=88.2

x

dx,

于是所求的功為首頁二、水壓力

例4

一個橫放著的圓柱形水桶,

桶內盛有半桶水.

設桶的底半徑為R,

水的比重為

,

計算桶的一個端面上所受的壓力.

解

取坐標系如圖.

在水深x處于圓片上取一窄條,

其寬為dx,

桶的一個端面上所受的壓力為背景知識首頁三、引力

例5

求長度為l、線密度為

的均勻細直棒對其中垂線上距棒a單位的質量為m的質點M的引力.

解

取坐標系如圖.引力在

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