級高二下學期3月階段考數學（人教A版）試題D在答題卡上作答．第Ⅰ卷（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共分，在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求．1.（）A.14B.16C.18D.24【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合排列數和組合數的公式，準確計算，即可求解.【詳解】由排列數和組合數的公式，可得.故選：C.2.若橢圓C：的焦點和頂點分別是雙曲線EE）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的方程先求出雙曲線的焦點和頂點坐標，再結合即可求解.【詳解】由橢圓可得，，，且焦點在y軸上，可知橢圓的長軸頂點為，焦點為，所以雙曲線的焦點為，頂點為，設雙曲線方程為，可得，，則，第1頁/共18頁所以雙曲線的方程為.故選：A.3.已知隨機變量，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據正態分布的性質直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B4.“點在圓外”是“直線與圓相交”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系結合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結論.【詳解】由題意可知，圓的圓心為原點，半徑為，若點在圓外，則，則圓心到直線的距離為，此時，直線與圓相交，即“點在圓外”“直線與圓相交”；若直線與圓相交，則，可得，不妨取，，則，此時，點在圓內，在圓外”“直線與圓相交”.在圓外”是“直線與圓相交”的充分不必要條件.第2頁/共18頁故選：A.5.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種B.12種C.15種D.18種【答案】A【解析】【分析】在四盞熄滅的燈中，使用插空法即可求解；【詳解】四盞熄滅的燈產生的5個空中放入3盛亮燈，即不同的開燈方案有（種）故選：A6.已知點的坐標為，動點滿足，為坐標原點，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，從而的最大值為，得到答案.【詳解】點的坐標為，動點滿足，故點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，圓的方程為，圓心與原點的距離為，則的最大值為.故選：B7.已知是橢圓上兩點，分別為的左、右焦點，，則的離心率為（）A.B.C.D.第3頁/共18頁【答案】D【解析】，的周長為理，即可求出離心率.【詳解】由可知，，由得，點共線.又，設，連接，則，由橢圓的定義可知的周長為，則，解得，所以，再根據橢圓的定義可知，，則在中，，即，解得.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：由，設，得到，由的周長為，可得，再在中，利用勾股定理即可.8.有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現從乙袋子里隨機取出，則當變大時（）A.變小B.先變小再變大第4頁/共18頁C.變大D.先變大再變小【答案】A【解析】【分析】運用超幾何分布與兩點分布，求解離散隨機變量的期望，然后判斷選項.【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機取出個球，其中白球的個數服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機取一球，相當于從含有個白球的個球中取一球，取到白球的個數為，易知隨機變量服從兩點分布，故，所以，隨著的增加，減小.故選：A二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則（）A.B.所有項的系數和為1C.沒有常數項D.的系數為14【答案】BCD【解析】【分析】根據二項式系數計算判斷A，賦值法判斷B，根據通項公式判斷CD.【詳解】因為第4項與第5項的二項式系數相等，所以，解得，故A錯誤;令，可得展開式中所有項的系數和為，故B正確;在中，第項，取，即，所以不存在常數項，故C正確;取，即，所以，所以的系數為14，故D正確.故選：BCD第5頁/共18頁10.如圖，某電子實驗貓線路圖上有AB兩個紅綠指示燈，當遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復綠燈后，AB兩個指示燈工作相互獨立，且出現紅燈的概率分別為，A處遇到紅燈的次數為XAB兩處遇到紅燈的次數之和為Y，則（）A.B.一次實驗中，A，B兩處至少遇到一次紅燈的概率為C.D.當時，【答案】BD【解析】【分析】根據二項分布的概率公式和方差公式計算可判斷選項AC事件的概率公式可判斷選項B；應用數學期望公式可判斷選項D.【詳解】由題意可知：，所以,，故選項A、C錯誤.對于選項B：因為A，B兩個指示燈工作相互獨立，所以在一次實驗中A，B兩處都不遇到一次紅燈的概率為.根據對立事件的概率公式可得：一次實驗中，A，B兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故選項B正確.第6頁/共18頁對于選項D：根據題意可知：Y的所有可能取值有：，，.當時，,,.所以，故選項D正確.故選：BD.已知：的焦點為的準線為在拋物線過點且與交于，兩點，則（）A.若點的坐標為，則的最小值為3B.以線段為直徑的圓與直線相離C.點到直線的最小距離為D.可能為鈍角三角形【答案】AB【解析】【分析】由拋物線的定義可得A正確；設，直線的方程為，聯立曲線方程，然后用韋達定理求出弦長，再利用換元法求出中點到準線的距離可得B正確；由點到直線的距離公式結合二次函數可得C錯誤；由向量垂直的坐標表示結合韋達定理可得D錯誤.【詳解】對于A，作于，由拋物線的定義可得，當三點共線時取等號，故A正確；第7頁/共18頁對于B，設，直線的方程為，聯立，消去可得，，，設線段的中點為，則，，到準線的距離為，則，設，則，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相離，故B正確；對于C，設，由點到直線的距離公式可得，當時，距離的最小值為，故C錯誤；對于D，設，則，由B可得，所以，故D錯誤.故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知，設直線，，若，則______．【答案】【解析】【分析】由兩直平行得到，求解并驗證即可；第8頁/共18頁【詳解】因為直線，，，所以，即，當時，直線重合，舍去，當時，符合題意；故；故答案為：13.已知點在拋物線上，且到的焦點的距離為，則實數__________.【答案】##【解析】【分析】由拋物線定義求出，得到拋物線方程，再將點代入，即可求得.【詳解】由拋物線的定義可知，，解得，所以，將點代入得，，又,所以.故答案為：.14.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著10的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，假定其每次碰到小木釘后，向左下落的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，，10，則小球落入_________號格子的概率最大.第9頁/共18頁【答案】【解析】【分析】利用次獨立重復試驗中，小球掉入號格子的概率為，設小球掉入號格子的概率最大，則，再利用組合數公式，結合題目已知條件即可求解.【詳解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，小球掉入0號格子，需要向左10次，則概率為；小球掉入1號格子，需要向左9次，向右1次，則概率為；小球掉入2號格子，需要向左8次，向右2次，則概率為；小球掉入3號格子，需要向左7次，向右3次，則概率為；依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，設小球掉入號格子的概率最大，顯然，第10頁/共18頁則，即，即解得，又為整數，，則小球落入8號格子的概率最大.故答案為：.四、解答題：本大題共5個小題，共分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15一場小型晚會有個唱歌節目和個相聲節目，要求排出一個節目單．（1）個相聲節目要排在一起，有多少種排法？（2）個相聲節目彼此要隔開，有多少種排法？（3）第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目，有多少種排法？（4）前個節目中要有相聲節目，有多少種排法？（要求：每小題都要有過程，且計算結果都用數字表示）【答案】（1）2）3）4）.【解析】1）將個相聲節目進行捆綁，與其它個節目形成個元素，利用捆綁法可求得排法種數；（2）將個相聲節目插入其它個節目所形成的空中，利用插空法可求得排法種數；（3）第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目，則個節目排在中間，利用分步乘法計數原理可求得排法種數；（4）在個節目進行全排的排法種數中減去前個節目中沒有相聲節目的排法種數，由此可求得結果.1）將個相聲節目進行捆綁，與其它個節目形成個元素，然后進行全排，所以，排法種數為種；第11頁/共18頁（2）將個相聲節目插入其它個節目所形成的個空中，則排法種數為種；（3）第一個節目和最后一個節目都是唱歌節目，則其它個節目排在中間，進行全排，由分步乘法計數原理可知，排法種數為種；（4）在個節目進行全排排法種數中減去前個節目中沒有相聲節目的排法種數，可得出前個節目中要有相聲節目的排法種數為.【點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法、插空法、分步乘法計數原理以及間接法的應用，考查計算能力，屬于中等題.16.某校體育節組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．（1）志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；（2159名首選1006名首選4×10015名同學中再選3名同學做進一步調查．將其中首選4×100米接力的人數記作X，求隨機變量X的分布列和數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，.【解析】1）小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，利用組合知識和古典概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；（2）根據超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數學期望.【小問1詳解】記小明選擇60米袋鼠跳服務為事件，小明選擇3000米服務為事件，則，，所以，第12頁/共18頁即小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率為.【小問2詳解】由題知，的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得：，.得隨機變量X的分布列為：0123所以.17.如圖，在正四棱錐中，，為側棱SD的中點．（1）求證：；（2）求點到平面PAC的距離；（3）求平面SBC與平面PAC夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】第13頁/共18頁1）利用空間向量的坐標運算證明垂直關系；（2）利用空間向量的坐標運算求點到直線的距離；（3）利用空間向量的坐標運算求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連接交于點，連接,因為是正四棱錐，所以平面，且平面，所以,又因為為正方形，所以,所以以方向為軸建立如圖所示空間指標坐標系，因為，所以,,所以,,所以,所以，，所以.【小問2詳解】設平面的一個法向量為，,所以，即，令，可得，第14頁/共18頁所以點到平面PAC的距離為.【小問3詳解】設平面的一個法向量為，,所以，即，令，可得，設平面SBC與平面PAC夾角為，則由圖可知為銳角，所以即為所求.18.已知過點的雙曲線的漸近線方程為.的右焦點作與坐標軸都不垂直的直線交的右支于兩點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若雙曲線上的點到其兩條漸近線的距離分別為，求的值；（3）已知點，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1）由漸近線方程得到，代入點即可求解；（2）由點到線的距離公式求解即可；第15頁/共18頁（3）設直線方程，聯立雙曲線方程，結合韋達定理，由即可求證；【小問1詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，所以雙曲線方程為，即.【小問2詳解】因為在曲線上，則，漸近線方程：，所以：【小問3詳解】由（1）可知的斜率存在且不為0，設的方程為，聯立，消去得，設，由題意得，則，第16頁/共18頁所以，所以得證.【點睛】關鍵點點睛：由，求證；19.致分為三個環節，簡記為工序，工序，工序．經過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，30200元，為了更好地激發參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補救服務，可以在活動開始前付費聘請技術員，若某一道工序沒有成功，可以由技術員完成本道工序，技術員只完成其中一道工序，且只能聘請一位技術員，