線性代數(shù)c試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.下列矩陣中，哪一個是方陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\)

2.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的可逆矩陣，\(B\)是一個\(n\timesm\)的矩陣，則\(AB\)的秩是：

A.\(n\)

B.\(m\)

C.\(n\)或\(m\)

D.無法確定

3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式是：

A.5

B.-5

C.0

D.無法確定

4.若\(A\)和\(B\)是兩個\(n\timesn\)的矩陣，且\(AB=BA\)，則以下結(jié)論正確的是：

A.\(A\)和\(B\)都是可逆矩陣

B.\(A\)和\(B\)都是對稱矩陣

C.\(A\)和\(B\)都是正交矩陣

D.\(A\)和\(B\)都是秩為\(n\)的矩陣

5.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，若\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的秩是\(n\)，則\(A\)的行列式是：

A.0

B.不等于0

C.無法確定

D.\(A\)是對稱矩陣

6.下列矩陣中，哪一個是上三角矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)

7.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的對稱矩陣，則以下結(jié)論正確的是：

A.\(A\)的特征值都是非負的

B.\(A\)的特征向量都是正交的

C.\(A\)的行列式都是正的

D.\(A\)的秩都是\(n\)

8.下列矩陣中，哪一個是下三角矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\0&0&4\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&3\\0&0&4\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)

9.設(shè)\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(B\)是一個\(n\timesm\)的矩陣，則\(A\)和\(B\)的乘積\(AB\)的階數(shù)是：

A.\(n\timesm\)

B.\(n\timesn\)

C.\(m\timesn\)

D.無法確定

10.下列矩陣中，哪一個是零矩陣？

A.\(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\)

B.\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)

C.\(\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\)

D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)

（以下省略10題，共計20題）

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.任意一個\(n\timesn\)的矩陣都可以通過初等行變換化為行階梯形矩陣。（）

2.兩個矩陣如果秩相等，那么它們一定是等價的。（）

3.一個\(n\timesn\)的矩陣\(A\)，如果存在一個\(n\timesn\)的矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)，則\(A\)是可逆矩陣。（）

4.兩個矩陣的行列式相等，則這兩個矩陣一定相似。（）

5.對角矩陣的行列式等于其主對角線元素乘積。（）

6.任意一個\(n\timesn\)的矩陣都可以通過初等列變換化為行階梯形矩陣。（）

7.兩個矩陣的秩相等，則這兩個矩陣一定等價。（）

8.兩個矩陣的秩相等，則這兩個矩陣的行空間相同。（）

9.一個\(n\timesn\)的矩陣\(A\)，如果\(A^2=E\)，則\(A\)是可逆矩陣。（）

10.兩個矩陣的秩相等，則它們的逆矩陣也相等。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.解釋矩陣的秩和矩陣的秩的定義，并說明它們之間的關(guān)系。

2.描述如何通過初等行變換將一個矩陣化為行階梯形矩陣。

3.定義矩陣的伴隨矩陣，并解釋伴隨矩陣的行列式和原矩陣的行列式之間的關(guān)系。

4.解釋為什么一個\(n\timesn\)的矩陣\(A\)如果可逆，那么它的逆矩陣是唯一的。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣乘法的性質(zhì)，包括結(jié)合律、分配律、數(shù)乘的性質(zhì)以及矩陣乘法的逆運算。在論述過程中，給出相應(yīng)的例子來證明這些性質(zhì)。

2.論述特征值和特征向量的概念，并解釋為什么一個矩陣的特征值和特征向量在矩陣相似變換下保持不變。在論述中，說明如何通過求解特征值和特征向量來理解矩陣的幾何性質(zhì)。

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.C

解析思路：方陣是指行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，故選項C是方陣。

2.D

解析思路：矩陣乘積的秩小于或等于各矩陣的秩，故無法確定。

3.A

解析思路：計算行列式\(1\cdot4-2\cdot3=5\)。

4.D

解析思路：兩個矩陣乘積的秩等于兩個矩陣中較小者。

5.B

解析思路：伴隨矩陣的秩等于原矩陣的秩，故行列式不等于0。

6.A

解析思路：上三角矩陣的主對角線以下元素均為0。

7.A

解析思路：對稱矩陣的特征值都是非負的。

8.A

解析思路：下三角矩陣的主對角線以上元素均為0。

9.C

解析思路：矩陣乘積的階數(shù)是行數(shù)乘以列數(shù)。

10.B

解析思路：零矩陣的所有元素都是0。

（以下省略10題，共計20題）

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

解析思路：行階梯形矩陣可以通過初等行變換得到。

2.×

解析思路：秩相等的矩陣不一定等價。

3.√

解析思路：存在\(B\)使得\(AB=BA=E\)，則\(A\)是可逆的。

4.×

解析思路：行列式相等的矩陣不一定相似。

5.√

解析思路：對角矩陣的行列式是其對角線元素的乘積。

6.√

解析思路：行階梯形矩陣可以通過初等行變換得到。

7.×

解析思路：秩相等的矩陣不一定等價。

8.√

解析思路：秩相等的矩陣的行空間相同。

9.√

解析思路：\(A^2=E\)表明\(A\)的平方是單位矩陣，故\(A\)是可逆的。

10.×

解析思路：秩相等的矩陣的逆矩陣不一定相等。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.矩陣的秩是矩陣中線性無關(guān)的行或列的最大數(shù)目。矩陣的秩定義是矩陣的行階梯形矩陣中非零行的數(shù)目。

2.通過初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，包括行交換、行乘以非零常數(shù)、行相加。

3.伴隨矩陣是原矩陣的代數(shù)余子式矩陣的轉(zhuǎn)置。伴隨矩陣的行列式等于原矩陣的行列式的平方。

4.一個\(n\timesn\)的矩陣\(A\)如果可逆，那么它的逆矩陣是唯一的，因為存在一個唯一的矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.矩陣乘法的性質(zhì)包括結(jié)合律、分配律、數(shù)乘的性質(zhì)以及矩陣乘法的逆運算。結(jié)合律是指\((AB)C=A(BC)\)；分配律是指\(A(B+C)=AB+AC\)和\(A(B-C)=AB-AC\)；數(shù)乘的性質(zhì)是指\(c(AB)=(cA)B=A(cB)\)；逆運算