2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(-)試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的

1-cosVx

(1)若函數(shù)/(?={-晟—在x=0處連續(xù)，則()

byx<0

Wab=-(B)ab=--(C)ab=O⑼ab=2

22

(2)設(shè)函數(shù)〃耳可導(dǎo)，且/(力力工)>0則()

(A)/(l)>/(-l)(B)/(1)</(-!)

(Q|/(l)|>|/(-0|(D)。⑴

(3)函數(shù)/(x,y,z)=fy+z2在點(diǎn)(1,2,0)處沿向量〃(1,2,2)的方向?qū)?shù)為()

(A)12(B)6(C)4(D)2

(4)甲乙兩人賽跑，計時起先時，甲在乙前方10(單位:m)處，如下圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線v=v,(/)(單

位:m/s)虛線表示乙的速度曲線p=匕(/),三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3,計時起先后乙追上甲的時

刻記為2(單位:5)廁()

(A)ro=lO(B)15<r0<20(C)r0=25(D)r0>25

v(mis)

(5)設(shè)。為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則(

(A)E-a,不行逆(B)E+a"不行逆

(C)E+2a/不行逆(D)E-2a"不行逆

--

200~21o-■10o

(6)已知矩陣4=021B=020c=020

001001002

(A)A與C相像，B與C相像(B)A與C相像，B與C不相像

(C)A與C不相像，B與C相像(D)A與C不相像，B與C不相像

(7)設(shè)A,8為隨機(jī)事務(wù)，若0<P(A)<1,0vP(8)<1,則P(A忸)>P(A網(wǎng)的充分必要條件是()

c.P(B|A)>P(B|A)D,P(B|A)<P(B|A)

(8)設(shè)X],X?……X”(〃之2)來自總體N(〃,l)的簡潔隨機(jī)樣本，記又二則下列結(jié)論中K正確的是：()

(A)E(X,「4)2聽從/分布⑻2(X“—XJ2聽從/分布

(C)￡(X1-反尸聽從/分布(D)〃(區(qū)>聽從/分布

|>1

二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分。

(9)已知函數(shù)廁尸'(°)=

(10)微分方程)，〃+2/+3y=0的誦解為y=

(11)若曲線積分工密段與在區(qū)域D={(%,)，)[f+)3<i}內(nèi)與路徑無關(guān)，則〃=

(12)幕級數(shù)￡(一1廣。優(yōu)e在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)5(幻=

/1=1

-i()r

(13)設(shè)矩陣A=112，%,生。3為線性無關(guān)的3維列向量組，則向量組A%4%,A%的秩為

011

(1一4'\

(14)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0.5①(6+0.5①—，其中①("為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則EX二

三、解答題：15?23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(15)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，)，=/(",cos”,求平,誓

Mx-o也I)

(16)(本題滿分10分)

1L(L

求limj>4kjn1+-

〃T￡ftn~In

(17)(本題滿分10分)

已知函數(shù))，(x)由方程f+)，-3x+3)，-2=()確定，求)，(x)得極值

(18)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[0』上具有2階導(dǎo)數(shù)，/⑴〉0,呼與＜0

證(1)方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一個根；

(2)方程/(x)/〃(x)+"'(x)]2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在兩個不同的實(shí)根.

(19)(本題滿分10分)

設(shè)薄片型物體S是圓錐面Z=ylx2-y2被柱面Z2=2X割下的有限部分，其上任一點(diǎn)弧度為

M”Z)=9&+y2+z2.記圓錐與柱面的交線為C

(1)求C在X。)，平面上的投影曲線的方程

(2)求S的質(zhì)量M

(20)(本題滿分11分)

設(shè)三階行列式4=(%,%，%)有3個不同的特征值，且%=%+2%

(1)證明"A)=2

(2)假如夕=%+%+%求方程組Ax=P的通解

(21)(本題滿分11分)

設(shè)二次型/(%,X2，芻)=2,丫：-石+0￥：+2%毛-8中3+2X2天在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)型為4)，；+4￡求

。的值及一個正交矩陣。.

（22）（本題滿分11分）

設(shè)隨機(jī)變量X,Y互獨(dú)立，且萬的概率分布為P{X=0}=P{X=2}=g,Y概率密度為/（），）=<2y,0<y<l

0,其他

（1）求p{ywEr}（2）求z=x+丫的概率密度

（23）（本題滿分11分）

某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量〃是已知的，設(shè)n次測量結(jié)

果玉,七,相互獨(dú)立，且均聽從正態(tài)分布NJ。?），該工程師記錄的是n次測量的肯定誤差

馬=卜-4,（，=1,2.,〃）,利用馬*2,…,Z”估計（7

（I）求Z,的概率密度

（口）利用一階矩求。的矩估計量

（IH）求。的最大似然估計量

2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將

所選項前的字母填在答朗紙指定位置上.

（1）若反常積分——!―*收斂，則（）

（A）a<l￡L力>1（6）。>1口）；>1+（￡））。>1且。十匕>1

2(x-l),x<l

（2）已知函數(shù)/（x）=,,則/（X）的一個原函數(shù)是（）

Inx,x>1

/、/、(x-1)2,%<1(x-l)~,x<1

（B）F（x）=

x(lnx+l)-l,x>1

(x-l)~,x<1(x-1)",x<1

（叫加（Q）F（x）=，

x(lnx+l)+l,x>1x(lnx-l)+l,x>1

(3)若y=(1+12)--Jl+Vy=++JfTP"是微分方程y+〃（x）y=g（x）的兩個解，則g（x）=（）

（A）3x（l+Y）伊）一3、（1+戶）（C）金（Q）_金

1I人1I人

^,x<0

(4)已知函數(shù)］1,則（)

一，---；vx4-,〃=1,2,

nn+\n

（A）x=0是的第一類間斷點(diǎn)(B)x=0是/（x）的其次類間斷點(diǎn)

（C）/（x）在x=0處連續(xù)但不行導(dǎo)(D)“可在x=0處可導(dǎo)

（5）設(shè)A,B是可逆矩陣，且A與B相像，則下列結(jié)論錯誤的是（）

(A)A7■與87相像(B)A"與8"相像

(C)A+A7與8+B7■相像(D)A+A-與相像

22

（6）設(shè)二次型/（%1,x2,x3）=X1+Xj++4%1^4-4^X3+4,^X3,則/（百,工2，七）=2在空間直角坐標(biāo)下表示的

二次曲面為（）

（A）單葉雙曲面（B）雙葉雙曲（C）橢球面（D）柱面

（7）設(shè)隨機(jī)變量X?N（〃,/）（cr>0）,記。=P{X+則（）

（A）p隨著4的增加而增加（B）p隨著。的增加而增加

（C）〃隨著〃的增加而削減（D）〃隨著b的增加而削減

（8）隨機(jī)試驗(yàn)E有三種兩兩不相容的結(jié)果4,A2，A3,且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為:，將試驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)做2次,

x表示2次試驗(yàn)中結(jié)果A發(fā)生的次數(shù)，y表示2次試驗(yàn)中結(jié)果為發(fā)生.的次數(shù)，則x與y的相關(guān)系數(shù)為（）

（C）

(A)--(B)--I(D)-

233

二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

「fln(l+fsin，W

(9)lim^---------------

a>。1-COSX

(10)向量場4(x,y,z)=(x+y+z)/+砧/+zk的旋度rotA=

（11）設(shè)函數(shù)/（〃#）可微，2=2（蒼了）由方程（工+1）2-丁2=12/（工一2,））確定，則詞9］）=

（12）設(shè)函數(shù)/（x）=arctanx----二"，且/m（0）=1,則。=__________

1+OT

2-100

02-10

（13）行列式八A.=______________.

00/1-1

4322+1

（14）設(shè)玉,與，…,怎為來自總體N（",b?）的簡潔隨機(jī)樣本，樣本均值7=9.5,參數(shù)〃的置信度為0.95的雙側(cè)置

信區(qū)間的置信上限為10.8,則〃的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域。=<&&）24，?〈2（1+8§。）,一巳工。工巳卜計算二重積分JJxdWy.

221八

（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)y（x）滿意方程<+2<+。=0其中Ov攵vl.

⑴證明：反常積分J：y（x）辦收斂；

（II）若、（（））=1,y（o）=1,求J：）。）心的值.

（17）（本題滿分1（）分）設(shè)函數(shù)f（x,y）滿意的無）'）=（2x+1）4,且/（0,y）=y+l,L,是從點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（1,0的

dx

光滑曲線，計算曲線積分/⑺二廠"；'）公+（,；：'）小，并求/⑺的最小值

（18）設(shè)有界區(qū)域。由平面2x+y+2z=2與三個坐標(biāo)平面圍成，2為。整個表面的外側(cè)，計算曲面積分

/=jj（x2+\）dydz-lydzdx+32dxdy

z

（19）（本題滿分10分）己知函數(shù)/（x）可導(dǎo)，且/（0）=1,0</'?<一，設(shè)數(shù)列｛%｝滿意乙+1=/（%）（〃=1，2...），

證明：

00

（I）級數(shù)￡（工用-4）肯定收斂；

W=1

（II）limX“存在，K0<limxn<2.

M->00Zl-XC

2、

（20）（本題滿分11分）設(shè)矩陣2a

一2）

當(dāng)。為何值時，方程AX=8無解、有唯一解、有無窮多解?

‘0-1r

（21）（本題滿分11分）已知矩陣4=2-30

、000,

（I）求興

<11）設(shè)3階矩陣2=（。,4,%）滿意82=區(qū)4,記&00=（4,尸2,⑸）將四，尸2,A分別表示為q,%，%的線性組

合。

（22）（本題滿分U分）設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）在區(qū)域。=｛（X），）［0<九<1,/<）、<6｝上聽從勻稱分布，令

fi,x<r

u=<

o,x>y

（I）寫出（x,y）的概率密度:

（n）問u與x是否相互獨(dú)立？并說明理由;

（III）求2=巳+*的分布函數(shù)尸（Z）.

0VY0

萬「，其中夕e(O,+8)為未知參數(shù)，X1,X2,七為來自總體X

I0,其他

的簡潔隨機(jī)樣本，令T=mx(X'X2，Xj。

(1)求7的概率密度

(2)確定。，使得。丁為，的無偏估計

2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(-)試卷

一、選擇題

(1)設(shè)函數(shù)/*)在(-00,+00)連續(xù),其2階導(dǎo)函數(shù)/"(x)的圖形如下圖所示,則曲線y=f(x)的拐點(diǎn)個數(shù)為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設(shè)？=/是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程)，"+"+勿=?的一個特解，()

則：

(A)。=-3,Z?=-1,C=-1.

(B)〃=3,/?=2,c=—1.

(C)a=-3,b=2,c=l.

(D)a=3,b=2,c=1.

⑶若級數(shù)條件收斂，則x=&與x=3依次為哥級數(shù)（X-1）”的:

n=l

（A）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn).

（B）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).()

（C）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)

（D）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).

(4)設(shè)D是第一象限中曲線2肛=1,4肛=1與直線y=x,y=JIr圍成的平面區(qū)域，函數(shù)/(x,y)在D上連續(xù)，則

^f(x,y)dxdy=()

D

衣\"I

(A)jj/(/*cos6^,rsinO)rdr(B)dO^/(rcos0,rsinO)rdr

42sin204J2sin20

工LI

(C)J,如「聯(lián)/"cos3,rsin0)dr(D)g呵阡^/(7,cos0,rsin^X/r

42sin26?40sin2。

(5)設(shè)矩陣A=i若集合Q={1,2},則線性方程組Ar=〃有無窮多個解的充分必要條件

J

為（）

(A)。任C,deC(B)a史Q,dGQ

(C)aeQ,deC(I))asQ,deQ

（6）設(shè)二次型/（和々,不）在正交變換x=P）嚇的標(biāo)準(zhǔn)形為2y；+y；—y；,其中「二（笄電,％）,若。=（%一％勺）,

則/（內(nèi),々，不）在正交變換工=。）'下的標(biāo)準(zhǔn)形為（）

<A）2yL；（B）2y；+y；-y；

<C）（D）2y；+￡+），；

（7）若A,8為隨意兩個隨機(jī)事務(wù)，貝］（）

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

(C)P(M(”P(B)(D)…”幽

(8)設(shè)隨機(jī)變量X,Y不相關(guān)，且EX=2,￡Y=1,OX=3,則￡[X(X+V—2)]=()

(A)-3(B)3(C)-5(D)5

二、填空題

小、..IncosA:

(9)hm——--=_________.

A。X2

(io)用盧^」+|幻卜=_______.

J-^l+COSX)

(11)若函數(shù)由方程e'+xyz+x+cosx=2確定，則&，])=

S^{x+2y+3z)dxdydz

(12)設(shè)夏是由平面工+y+z=\與三個坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域,人J。

2002

-12…02

0022

(13)n階行列式00-12=_______

(14)設(shè)二維隨機(jī)變量/1)聽從正態(tài)分布」也QLL0),則P陽-y<0)=-------

三、解答題

(15)設(shè)函數(shù)/(x)=x+4皿l+x)+b-,以外=丘3,若/(幻與g(x)在x-o是等價無窮小，求〃，b,

k值。

(16)設(shè)函數(shù)/(x)在定義域/上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對隨意的小￡/，曲線》=在點(diǎn)(x°J(x。))處的切線與

直線"二%及X軸所圍成的區(qū)域的面積為4,且“°)=2,求/(-V)的表達(dá)式。

(17)已知函數(shù)/(x,y)=x+)，+孫，曲線C:/+,2+刈=3,求/(x,y)在曲線C上的最大方向?qū)?shù).

(18)(本題滿分10分)

(I)設(shè)函數(shù)4(x)#(x)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明(GMx)(=uUM+w(x)vV)

(II)設(shè)函數(shù)場(x),〃2(x)…〃"(%)可導(dǎo)，f(x)=場(％)〃2(X)…”〃(X)，寫出f(x)的求導(dǎo)公式.

(19)(本題滿分10分)

己知曲線L的方程為一="一廠一)廠，起點(diǎn)為A(O,&,O),終點(diǎn)為8(0,-0,0),計算曲線積分

z=x,

/=工(y+z)dx+(z2-x2+y)dy+(x2+y2)dz

(20)(本題滿分11分)

設(shè)向量組。1，4，。3是3維向量空間解的一個基，P\=2^+lka3,僅2=2%,夕3=%+(%+1)%。

(I)證明向量組回應(yīng)，區(qū)是臚的一個基;

(II)當(dāng)k為何值時，存在非零向量J在基%,%，%與基4,昆，河下的坐標(biāo)相同，并求出全部的專。

(21)(本題滿分11分)

’()2?3、<1-2()、

設(shè)矩陣A=-13-3相像于矩陣5=0h0

\1-2a)93b

(I)求。力的值.

(H)求可逆矩陣尸，使得尸7從尸為對角陣.

(22)(本題滿分11分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

，/、2xln2x>0

0x<0

對x進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記y為觀測次數(shù).

(I)求y的概率分布：

(II)求"

（23）（本題滿分11分）

設(shè)總體X的概率密度為

---

\-o

o其他

其中e為未知參數(shù)，X1,x2…X”為來自該總體的簡潔隨機(jī)樣本.

（I）求夕的矩估計.

（H）求夕的最大似然估計.

2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（-）試卷

一、選擇題1一8小題.每小題4分，共32分.

1.下列曲線有漸近線的是（）

(A)y=x+sinx(B)y=x2+sinx

(C)y=x+sin—(D)y=x2+sin—

XX

2.設(shè)函數(shù)/(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=/(O)(l-x)+/(l)x,則在［0,1］上()

(A)當(dāng)時，f(x)^g(x)(B)當(dāng)/5)之0時，f(x)<g(x)

(C)當(dāng)/〃(x)WO時，f(x)>g(x)(D)當(dāng)/"(x)KO時，/(x)^g(x)

3.設(shè)/(%)是連續(xù)函數(shù)，則［心(

(A)［叱『/3>四+。3|尸f(x,y)dy

(B)fl-xl,0fO

JoMof(^y^y+\_dx\^f(xyy)dy

xII

(C),ycos^^sinO)dr+/(rcos〃,rsinO)d，

(D),/(rCos^,rsin^)rJr+林。+而，/(rcos^,rsin^Wr

2

4.若設(shè)數(shù)『(x—q］cosx一々sinx)2/Zx=(x-acosx-Asinx)~dxj，則qcosx+印sinx=()

(A)2sinx(B)2cosx(C)2^,sinx(D)2^cosx

0aZ>0

5.行列式a00力等于()

0cd0

c00d

2222222222

(A)(ad-be)(B)-(ad-be)(C)ad-bc(D)-ad+bc

6.設(shè)囚,%,%是三維向量，則對隨意的常數(shù)A,/,向量區(qū)+上%，%+，4線性無關(guān)是向量四,生,見線性無關(guān)的

(A)必要而并充分條件(B)充分而并必要條件

(C)充分必要條件(D)非充分非必要條件

7.設(shè)事務(wù)A與B想到獨(dú)立，P(5)=0.5,尸(A-")=0.3則尸(8-A)=()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量A；,占相互獨(dú)立，且方差均存在，乂,小的概率密度分別為/(x),力(x),隨機(jī)變量K的概率

密度為f>.(y)=；(/(y)+/2(y))，隨機(jī)變量八=夕出+占)，則()

(A)EYX>EY..DY,>DYZ(B)EYt=EY^DY,=DY2

(C)EYX=EY29DYt<DY2(D)EV,=EY2,DYy>DY,

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

9.曲面z=x2(l-sinj)+y“1-sin*)在點(diǎn)(1,(),1)處的切平面方程為.

10.設(shè)/(x)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且r(x)=2(x-l),xw[o,2],則/(7)=.

11.微分方程xy+y(lnx-lny)=0滿意j(l)=e'的解為.

12.設(shè)L是柱面/+/=1和平面y+z=()的交線，從Z軸正方憧憬負(fù)方向看是逆時針方向，則曲線積分

￡zdx+ydz=?

13.設(shè)二次型八巧,當(dāng),與)=甘-芯+2℃R3+4/它的負(fù)慣性指數(shù)是八則。的取值范圍是.

2x

14.設(shè)總體X的概率密度為八二6)=.彳/<、<28,其中6是未知參數(shù)，X"X2,…,x”是來自總體的簡潔樣本,

'0,其它

若c￡x：是小的無偏估計，則常數(shù)。=.

1=1

三、解答題

15.(本題滿分10分)

-1)一)市

求極限iimL________.

JT+8).八I、

16.(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y=〃x)由方程V+外2+/)+6=0確定，求/(X)的極值.

17.（本題滿分10分）

設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，z=/（/cosy）滿意gM+%=（4z+eXcosy）e”.若/（0）=0,尸［0）=0，求/（〃）

dx~dy~

的表達(dá)式.

18.（本題滿分10分）

33

設(shè)E為曲面2=x2+）,2（7工1）的上側(cè)，計算曲面積分：jj（x-\）dydz+（y-\）dz^lx+（z-\）dxdy

19.(本題滿分10分)

設(shè)數(shù)列｛%｝,｛仇J滿意0<%<色,0V4,v&，cos%-%=cos2且級數(shù)￡兒收斂.

22ff.i

(1)證明lim%=()；

/I-KO

（2）證明級數(shù)卞M收斂.

20.（本題滿分11分）

'1—23-4、

設(shè)A=01-11，E為三階單位矩陣.

J2°3,

（1）求方程組AX=（）的一個基礎(chǔ)解系；

（2）求滿意AB=E的全部矩陣8.

21.（本題滿分11分）

’11A僅???or

證明〃階矩陣1I1與。…。2相像.

1J1()…0

J1

22.(本題滿分11分)

設(shè)隨機(jī)變量X的分布為P(X=1)=P(X=2)=/，在給定X=i的條件下，隨機(jī)變量Y聽從勻稱分布t7(O,i),i=1,2.

(I)求丫的分布函數(shù)；

(2)求期望E(y).

23.(本題滿分11分)

,2

設(shè)總體X的分布函數(shù)為r(x,e)=J-e-：,xNO,其中。為未知的大于零的參數(shù)，X'X2,…,X”是來自總體的簡潔

0,x<0

隨機(jī)樣本，

(1)求E(X),E(X2)；

(2)求夕的極大似然估計量往.

(3)是否存在常數(shù)。，使得對隨意的￡>0,都有l(wèi)imp|e,LaZJ=0?

W-KO

2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（-）試卷

一、選擇題（「8題，每題4分）

-ijm”口,?工一arctanx

1.已知極限hm-----------C,其口匕c為常數(shù)，且C/0,貝Ij（）

10f

,cI,c1

A.k=2,c=——B.k=2,c=一

22

,21,「1

.K=3,C=---D.k=3,c=—

33

2.曲面V+cosQ了）+），z+x=O在點(diǎn)處的切平面方程為（）

A.X-y+z=-2B.x+y+z=()

D.x-y-z=0

8Q

3.設(shè)fM=￡f(x)sinn7vxdx(n=1,2,),令5(x1=Shsinnjtx,則S(——)=()

xj—n=l"4

B-7c-4D-4

2

4.設(shè)4：/+）,2=1,4：/+）,2=2,L3：x+2/=2,4：2/+/=2為四條逆時針方向的平面曲線，記

《卜(i=1,2,3,4)，則max{ZpZ2,/3,/4}=

A.B.IC.

2D/4

5.設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若AB=C,且B可逆，則（）

A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價

B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向顯組等價

C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價

D矩陣C的列向顯組與矩陣B的列向吊組等價

16/r,200

6.矩陣aba與0b0相像的充分必要條件為（）

1。1,<000

A.a=0,b=2B.a=0,b為隨意常數(shù)

C.a=2,b=0D.a=2,b為隨意常數(shù)

22

7.設(shè)X「X2，X3是隨機(jī)變量，且％N(0,l),X2-7V(O,2),X3-JV(5,3),/>=P{-2<X,<2}(z=1,2,3),

則()

A.P[>P2>P3B.P2>>P3

CP-

8.設(shè)隨機(jī)變量Xt(n),YF(l,/?),給定。(()<〃<().5),常數(shù)c滿意P{X>c}=a,MP{r>c2}=(

A.aB.\—aC.2。D\—2a

二、填空題(9-14小題，每小題4分)

9.設(shè)函數(shù)片/切由方程”確定，則lim〃"(L)-U=__。

H—>0〃

10.已知上/-X-7_e.v_x2.fy_-啟,是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解片

I1設(shè)f=sinf”為參數(shù))，則蟲=—。

ly=/sin/+cos/於小

，+?>Inx

12.dx=

1(1+A-)2

13.設(shè)A=(aQ是3階非零矩陣，|A|為A的行列式,A”為電的代數(shù)余子式.若加+A『0(i,j=l,2,3),則IA|=

14.設(shè)隨機(jī)變量丫聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則，{YWa+l|Y>a}=

三.解答題：

(15)(本題滿分10分)

計算工竽dx,其中

(16)(本題10分)

設(shè)數(shù)列{a}滿意條件：％=3嗎=1,an_2-n(n-\)a=0(n>2).

S(x)是幕級數(shù)的和函數(shù).

n=O

(1)證明：5*(x)-S(x)=0;

(2)求S(x)的表達(dá)式.

（17）（本題滿分10分）

求函數(shù)f（x,y）=（y+9），＞'的極值.

（18）（本題滿分10分）

設(shè)奇函數(shù)/Yd在卜1,1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/?（】）=】，證明：

（I）存在穴（0,1）,使得/《）=1.

（H）存在〃￡（一1,1）,使彳學(xué)'〃（〃）+/'（〃）=L

19.（本題滿分10分）

設(shè)直線L過A（1,0,0）,B（0,1,1）兩點(diǎn)將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面2,Z與平面z=O,z=2所圍成的立體為O。

（1）求曲面E的方程；

（2）求C的形心坐標(biāo)。

20.（本題滿分11分）

[\4、「01、

設(shè)人=八，8=當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA二B,并求全部矩陣Co

Jb.

21.（本題滿分11分）

/

q

22

設(shè)二次型/（X1,x2,x3）=2（〃丙+a2x2+a3x3）+（bixl+b2x2+b3x3）,記a=a2A

4

（1）證明二次型f對應(yīng)的矩陣為2a/1+班,；

（2）若a,4正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2M2+為。

22.（本題滿分11分）

.P

0<x<3.

/?=9-[2,x<1,

設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為I”其他?令隨機(jī)變量y=卜,

1<x<2,

x>2

（1）求Y的分布函數(shù)；

（2）求概率尸｛x<y1

23.（本題滿分11分）

設(shè)總體x的概率密度為了（x；e）='人'5其中。為未知參數(shù)且大于零，X1,x2,,x”為來自總體x的簡潔

.o,其他

隨機(jī)樣本。

（1）求夕的矩估計量；

（2）求。的最大似然估計量。

2024年全國碩士探討生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（-）試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的,

請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

r-4-r

<1）曲線），='」立漸近線的條數(shù)為（）

X-1

(A)0(B)1(C)2(D)3

（2）設(shè)函數(shù)〃幻=（，-1）（小-2）…（*72）,其中〃為正整數(shù)，則/（0）=

(A)(-1嚴(yán)。-1)!(B)(-l)M(n-l)!(C)(T嚴(yán)加(D)(-1)"?!

（3）假如函數(shù)/（X），）在（0,0）處連續(xù)，那么下列命題正確的是（)

若極限lim華斗存在，則f（x,y）在（0,0）處可微

(A)

若極限lim”4存在，則f（x,y）在（0,0）處可微

(B)

若/（Xy）在（0,0）處可微，則極限lim半/斗存在

(C)

""3

若/?），）在（0,0）處可微，則極限lim華山存在

(D)

憂廠+丁

?

(4)設(shè)4=|eXsinxdx(4=1,2,3),則有口

(A)/.<h<h.(B)I2<h(0/.<h<7i,(D)Zi<I*

011

(5)設(shè)%=0、a,—11其中G，G，G，C4為隨意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（)

■

(A)%%，%⑻(C)%%，%(D)

「100、

p[p=010

0

（6）設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且,~=（］，？2，％），Q=?+%，4,%）則

Q-1AQ=）

(\00、<100、

02o010

(A)l°

00

(B)<02;

，200、(200、

010020

102)0

(Q1-(D)10

<7）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別聽從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則〃卜<），｝二（）

(A)J(B)g(C)|(D4

JJJJ

(8)將長度為Im的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為()

(4)1(B)《(C)~(D)-1

22

二、填空題：9T4小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在等您紙指定位置上.

(9)若函數(shù)/")滿意方程，(幻+/。)-2/3)=0及/(幻+/。)=2/,Mf(x)=

(12)設(shè)Z={(x,乂z)x+y+z=1,A>0,><>0,z>()},則Jy2ds=

(13)設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣￡-總丁的秩為o

(14)設(shè)A,B,C是隨機(jī)事務(wù)，AC互不相容，尸(AB)=LP(C)=L則尸("向"。

23

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答型紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

1J-Y尤2

證明：xln——-+cosx>1+—,-1<x<1

\-x2

(16)(本題滿分10分)

式的極值。

求函數(shù)f(x,y)=xe

(17)(本題滿分10分)

84n2+4/1+3

求索級數(shù)z/"的收斂域及和函數(shù)

”=02/1+1

(18)(本題滿分10分)

已知曲線[y-cos/.

，丫.\、n（0<一）

,其中函數(shù)/⑺具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且八0）=0,/V）>0,2。若曲線L的切線與X軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離

恒為1,求函數(shù)/⑺的表達(dá)式，并求此曲線L與x軸與y軸無邊界的區(qū)域的面積。

（19）（本題滿分10分）

已知L是第一象限中從點(diǎn)（0,0）沿圓周f+y2=2x到點(diǎn)（2,0），再沿圓周f+y2=4到點(diǎn)（0,2）的曲線段,計算曲

線積分/山/加+（3.2加

（20）（本題滿分10分）

'】00、‘I、

01a0-1

0o10

設(shè)100I°，.?：I）求|A|

（H）當(dāng)實(shí)數(shù)4為何值時，方程組?公=乃有無窮多解，并求其通解.

uor

（21）（本題滿分10分）三階矩陣A=011,4為矩陣A的轉(zhuǎn)置，已知N4/A）=2,且二次型/=/4小。

「10%

1）求。2）求二次型對應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)淮型，寫出正交變換過程。

（22）（本題滿分10分）

已知隨機(jī)變量x,r以及xy的分布律如下表所示,

012

11

00

44

1

100