函授線性代數試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.設矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，下列矩陣中，與$\boldsymbol{A}$相似的是：

A.$\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$

B.$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

C.$\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$

D.$\begin{pmatrix}2&4\\3&5\end{pmatrix}$

2.設$n$階方陣$\boldsymbol{A}$滿足$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$必定是零矩陣

B.$\boldsymbol{A}$的特征值只能是0

C.$\boldsymbol{A}$的行列式為0

D.$\boldsymbol{A}$必定是可逆矩陣

3.設$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}$的秩為：

A.1

B.2

C.3

D.4

4.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都正交

D.$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等

5.設$\boldsymbol{A}$是一個$n\timesn$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是0

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

D.$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等

6.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征值都是1

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是0

C.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

7.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

8.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

9.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

10.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

11.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

12.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

13.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

14.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

15.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

16.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

17.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

18.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

19.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

20.設$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的實對稱矩陣，且$\boldsymbol{A}$的特征值為$1,2,3$，則下列結論正確的是：

A.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是正交的

B.$\boldsymbol{A}$的特征值都是實數

C.$\boldsymbol{A}$的特征向量都是單位向量

D.$\boldsymbol{A}$的特征值都非負

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若矩陣$\boldsymbol{A}$與矩陣$\boldsymbol{B}$相似，則$\boldsymbol{A}$與$\boldsymbol{B}$的行列式相等。（）

2.若矩陣$\boldsymbol{A}$與矩陣$\boldsymbol{B}$相似，則$\boldsymbol{A}$與$\boldsymbol{B}$的秩相等。（）

3.若矩陣$\boldsymbol{A}$與矩陣$\boldsymbol{B}$相似，則$\boldsymbol{A}$與$\boldsymbol{B}$的特征值相等。（）

4.若矩陣$\boldsymbol{A}$的行列式為0，則$\boldsymbol{A}$必定是奇異矩陣。（）

5.若矩陣$\boldsymbol{A}$的秩為1，則$\boldsymbol{A}$必定是可逆矩陣。（）

6.若矩陣$\boldsymbol{A}$是對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征值都是非負實數。（）

7.若矩陣$\boldsymbol{A}$是實對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征向量都是實數向量。（）

8.若矩陣$\boldsymbol{A}$是實對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征值互不相等。（）

9.若矩陣$\boldsymbol{A}$是實對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征向量線性無關。（）

10.若矩陣$\boldsymbol{A}$是實對稱矩陣，則$\boldsymbol{A}$的特征值對應的特征向量是正交的。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的秩的定義及其性質。

2.如何判斷一個矩陣是否為實對稱矩陣？

3.請解釋矩陣的特征值和特征向量的概念，并說明它們之間的關系。

4.簡述矩陣的相似對角化的條件及其過程。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的秩與矩陣的行階梯形矩陣之間的關系，并說明如何通過行階梯形矩陣來計算矩陣的秩。

2.論述實對稱矩陣的性質及其在實際問題中的應用，舉例說明如何利用實對稱矩陣的性質解決實際問題。

試卷答案如下

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.C

解析：相似矩陣具有相同的秩和特征值，$\boldsymbol{A}$與$\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$相似，因為它們的行列式相等且特征值相同。

2.B,C

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$意味著$\boldsymbol{A}$的特征多項式$\det(\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=0$，因此特征值只能是0。

3.C

解析：矩陣$\boldsymbol{A}$的秩等于其行數或列數中的較小者，因為$\boldsymbol{A}$是一個$3\times3$的矩陣，且每一行都是線性無關的。

4.A,B

解析：實對稱矩陣的特征值總是實數，且由于矩陣是對稱的，其特征向量可以正交化。

5.A,B

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$意味著$\boldsymbol{A}$的特征值都是0，因為特征值$\lambda$滿足$\lambda^2=0$。

6.A,B

解析：$\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$意味著$\boldsymbol{A}$的特征值只能是1，因為$\lambda^2-\lambda=0$。

7.A,B,D

解析：特征值為1,2,3的實對稱矩陣，其特征向量都是實數向量，且可以正交化。

8.A,B,D

解析：與第7題相同，特征值為1,2,3的實對稱矩陣，其特征向量都是實數向量，且可以正交化。

9.A,B,D

解析：與第7題相同，特征值為1,2,3的實對稱矩陣，其特征向量都是實數向量，且可以正交化。

10.A,B,D

解析：與第7題相同，特征值為1,2,3的實對稱矩陣，其特征向量都是實數向量，且可以正交化。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

解析：相似矩陣具有相同的行列式。

2.√

解析：相似矩陣具有相同的秩。

3.√

解析：相似矩陣具有相同的特征值。

4.√

解析：行列式為0的矩陣是奇異矩陣。

5.×

解析：秩為1的矩陣不一定是可逆矩陣，因為它的行列式為0。

6.√

解析：實對稱矩陣的特征值都是非負實數。

7.√

解析：實對稱矩陣的特征向量是實數向量。

8.×

解析：實對稱矩陣的特征值可以相等。

9.√

解析：實對稱矩陣的特征向量線性無關。

10.√

解析：實對稱矩陣的特征向量是正交的。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.矩陣的秩是矩陣中線性無關的行（或列）的最大數目。性質包括：矩陣的秩等于其行階梯形