2017-2018學年河南省南陽市南召縣八年級（上）期末數學試卷一、選擇題（每小題3分,共30分)下列各小題均有四個答案,其中只有一個是正確的,將正確答案的代號字母填入括號內1．﹣1的相反數是（）A．1 B． C． D．2．下列運算正確的是（）A．3a?4a=12a B．（a3）2=a6 C．（﹣2a）3=﹣2a3 D．a12÷a3=a43．估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間4．八年級某班40名學生的數學測試成績分為5組，第1﹣4組的頻數分別為12，10，6，8，則第5組的頻率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.45．用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）6．某校學生參加體育興趣小組情況的統計圖如圖所示，若參加人數最少的小組有25人，則參加人數最多的小組有（）A．25人 B．35人 C．40人 D．100人7．若x2+kx+25是完全平方式，則k的值是（）A．﹣10 B．10 C．5 D．10或﹣108．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．610．園丁住宅小區有一塊草坪如圖所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是（）A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2二、填空題（每小題3分，共15分）11．計算：=．12．把命題“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”改寫成“如果…，那么…、”的形式：如果，那么．13．為說明命題“如果a＞b，那么”是假命題，你舉出的反例是．14．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數為．15．如圖，有一個直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，當AP=時，才能使△ABC與△QPA全等．三、解答題（8+9+9+9+9+10+10+11=75）16．（8分）四個數a，b，c，d排列成，我們稱之為二階行列式，規定它的運算法則為=ad﹣bc，若=12，求x值．17．（9分）先化簡，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中1﹣a2+2a=0．18．（9分）某商場對一種新售的手機進行市場問卷調查，其中一個項目是讓每個人按A（不喜歡）、B（一般）、C（不比較喜歡）、D（非常喜歡）四個等級對該手機進行評價，圖①和圖②是該商場采集數據后，繪制的兩幅不完整的統計圖，請你根據以上統計圖提供的信息，回答下列問題：（1）本次調查的人數為多少人？A等級的人數是多少？請在圖中補全條形統計圖．（2）圖①中，a等于多少？D等級所占的圓心角為多少度？19．（9分）（1）計算：（a﹣b）（a2+ab+b2）（2）利用所學知識以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n）20．（9分）如圖，點C，F，E，B在一條直線上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，寫出CD與AB之間的關系，并證明你的結論．21．（10分）已知，如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）求證：2CD2=AD2+DB2．22．（10分）（1）問題發現如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數量關系：；（2）操作探究如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360），請判斷線段BE與線段CD的數量關系，并說明理由．23．（11分）如圖，在長方形ABCD中，AB：BC=3：4，AC=5，點P從點A出發，以每秒1個單位的速度，沿△ABC邊A→B→C→A的方向運動，運動時間為t秒．（1）求AB與BC的長；（2）在點P的運動過程中，是否存在這樣的點P，使△CDP為等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

2017-2018學年河南省南陽市南召縣八年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分,共30分)下列各小題均有四個答案,其中只有一個是正確的,將正確答案的代號字母填入括號內1．﹣1的相反數是（）A．1 B． C． D．【分析】直接利用相反數的定義分析得出答案．【解答】解：﹣1的相反數是：1﹣．故選：A．【點評】此題主要考查了實數的性質，正確把握相關定義是解題關鍵．2．下列運算正確的是（）A．3a?4a=12a B．（a3）2=a6 C．（﹣2a）3=﹣2a3 D．a12÷a3=a4【分析】直接利用單項式乘以單項式以及冪的乘方運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、3a?4a=12a2，故此選項錯誤；B、（a3）2=a6，正確；C、（﹣2a）3=﹣8a3，故此選項錯誤；D、a12÷a3=a9，故此選項錯誤；故選：B．【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式以及冪的乘方運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】利用二次根式的性質，得出＜＜，進而得出答案．【解答】解：∵＜＜，∴6＜＜7，∴的值在整數6和7之間．故選：C．【點評】此題主要考查了估計無理數的大小，得出＜＜是解題關鍵．4．八年級某班40名學生的數學測試成績分為5組，第1﹣4組的頻數分別為12，10，6，8，則第5組的頻率是（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】直接利用頻數÷總數=頻率，進而得出答案．【解答】解：∵八年級某班40名學生的數學測試成績分為5組，第1﹣4組的頻數分別為12，10，6，8，∴第5組的頻率是：（40﹣12﹣10﹣6﹣8）÷40=0.1．故選：A．【點評】此題主要考查了頻數與頻率，正確掌握頻率求法是解題關鍵．5．用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依據是（）A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）【分析】我們可以通過其作圖的步驟來進行分析，作圖時滿足了三條邊對應相等，于是我們可以判定是運用SSS，答案可得．【解答】解：作圖的步驟：①以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點C、D；②任意作一點O′，作射線O′A′，以O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；③以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，交前弧于點D′；④過點D′作射線O′B′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，顯然運用的判定方法是SSS．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質，熟練掌握三角形全等的性質是正確解答本題的關鍵．6．某校學生參加體育興趣小組情況的統計圖如圖所示，若參加人數最少的小組有25人，則參加人數最多的小組有（）A．25人 B．35人 C．40人 D．100人【分析】根據參加足球的人數除以參加足球所長的百分比，可得參加興趣小組的總人數，參加興趣小組的總人數乘以參加乒乓球所占的百分比，可得答案．【解答】解：參加興趣小組的總人數25÷25%=100（人），參加乒乓球小組的人數100×（1﹣25%﹣35%）=40（人），故選：C．【點評】本題考查了扇形統計圖，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵，扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．7．若x2+kx+25是完全平方式，則k的值是（）A．﹣10 B．10 C．5 D．10或﹣10【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出k的值．【解答】解：∵x2+kx+25是完全平方式，∴k=±10，故選：D．【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．8．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【分析】先根據勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進而可得出結論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選：C．【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練應用勾股定理是解題關鍵．10．園丁住宅小區有一塊草坪如圖所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是（）A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2【分析】連接AC，先根據勾股定理求出AC的長，然后利用勾股定理的逆定理證明△ACD為直角三角形．從而用求和的方法求面積．【解答】解：連接AC，則由勾股定理得AC=5米，因為AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．這塊草坪的面積=SRt△ABC+SRt△ACD=AB?BC+AC?DC=（3×4+5×12）=36米2．故選：B．【點評】此題主要考查了勾股定理的運用及直角三角形的判定等知識點．二、填空題（每小題3分，共15分）11．計算：=﹣3．【分析】根據（﹣3）3=﹣27，可得出答案．【解答】解：=﹣3．故答案為：﹣3．【點評】此題考查了立方的知識，屬于基礎題，注意立方根的求解方法，難度一般．12．把命題“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”改寫成“如果…，那么…、”的形式：如果一個點在角的平分線上，那么它到這個角兩邊的距離相等．【分析】首先要分清原命題的題設與結論，題設是角平分線上的點，可改為點在角平分線上，如此答案可得．【解答】解：如果一個點在角平分線上，那么它到角兩邊的距離相等．【點評】本題考查了角平分線的性質及命題的改寫問題．找準原命題的題設與結論是正確解答本題的關鍵．13．為說明命題“如果a＞b，那么”是假命題，你舉出的反例是如：當a=2，b=1時，a＞b，但．【分析】為說明此命題是假命題，舉反例時要在a＞b的前提下尋找，還要讓小于即不支持命題的結論．【解答】解：當a=2，b=1時，滿足命題的題設a＞b的要求，而=，=1，顯然，不支持原命題的結論，故填當a=2，b=1時，a＞b，但．【點評】舉反例說明命題是假命題時，在反例的選取上要注意遵循這么一個原則：反例的選取一定要滿足所給命題的題設的要求，而不能滿足命題的結論．14．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD，若CD=AC，∠B=25°，則∠ACB的度數為105°．【分析】首先根據題目中的作圖方法確定MN是線段BC的垂直平分線，然后利用垂直平分線的性質解題即可．【解答】解：由題中作圖方法知道MN為線段BC的垂直平分線，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案為：105°．【點評】本題考查了基本作圖中的垂直平分線的作法及線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是了解垂直平分線的做法．15．如圖，有一個直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，當AP=5或10時，才能使△ABC與△QPA全等．【分析】分兩種情形分別求解即可．【解答】解：當AP=5時，Rt△ABC≌Rt△QPA，理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，當AP=5=BC時，在Rt△ABC和Rt△QPA中，，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），當AP=AC=10，AQ=BC=5時，△ABC≌△PQA，故答案為：5或10．【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．三、解答題（8+9+9+9+9+10+10+11=75）16．（8分）四個數a，b，c，d排列成，我們稱之為二階行列式，規定它的運算法則為=ad﹣bc，若=12，求x值．【分析】根據題目中二階行列式的定義可以求得所求x的值．【解答】解：∵=12，∴（x+3）2﹣（x﹣3）2=12，解得，x=1．【點評】本題考查整式的混合運算、有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．17．（9分）先化簡，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中1﹣a2+2a=0．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式計算，去括號合并得到最簡結果，把已知等式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3，因為1﹣a2+2a=0，所以a2﹣2a=1，則原式=3+1=4．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．（9分）某商場對一種新售的手機進行市場問卷調查，其中一個項目是讓每個人按A（不喜歡）、B（一般）、C（不比較喜歡）、D（非常喜歡）四個等級對該手機進行評價，圖①和圖②是該商場采集數據后，繪制的兩幅不完整的統計圖，請你根據以上統計圖提供的信息，回答下列問題：（1）本次調查的人數為多少人？A等級的人數是多少？請在圖中補全條形統計圖．（2）圖①中，a等于多少？D等級所占的圓心角為多少度？【分析】（1）由B等級的人數除以占的百分比得出調查總人數，進而求出A等級人數，補全條形統計圖即可；（2）求出A等級占的百分比確定出a，由D的百分比乘以360即可得到D等級占的圓心角度數．【解答】解：（1）根據題意得：46÷23%=200（人），A等級的人數為200﹣（46+70+64）=20（人），補全條形統計圖，如圖所示：（2）由題意得：a%=，即a=10；D等級占的圓心角度數為32%×360°=115.2°．【點評】此題考查了條形統計圖，以及扇形統計圖，弄清題中的數據是解本題的關鍵．19．（9分）（1）計算：（a﹣b）（a2+ab+b2）（2）利用所學知識以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n）【分析】（1）根據多項式乘以多項式的法則進行計算即可；（2）利用分組分解法，先將前兩項分為一組，根據（1）的立方差公式分解因式，再提公因式即可．【解答】（9分）解．（1）原式=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3……（2分）=a3﹣b3；……（4分）（2）原式=（m﹣n）（m2+mn+n2）﹣3mn（m﹣n）……（6分）=（m﹣n）（m2﹣2mn+n2）……（8分）=（m﹣n）3……（9分）【點評】本題考查了多項式乘以多項式和因式分解，熟練掌握立方差公式是關鍵．20．（9分）如圖，點C，F，E，B在一條直線上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，寫出CD與AB之間的關系，并證明你的結論．【分析】求出CF=BE，根據SAS證△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根據平行線的判定推出CD∥AB．【解答】解：CD∥AB，CD=AB，理由是：∵CE=BF，∴CE﹣EF=BF﹣EF，∴CF=BE，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴CD=AB，∠C=∠B，∴CD∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定和全等三角形的性質和判定的應用．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．21．（10分）已知，如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）求證：2CD2=AD2+DB2．【分析】（1）本題要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，則DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因為兩角有一個公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根據SAS得出△ACE≌△BCD．（2）由（1）的論證結果得出∠DAE=90°，AE=DB，從而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．【解答】證明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△AEC≌△BDC（SAS）；（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，以及等角的余角相等的性質，熟記各性質是解題的關鍵．22．（10分）（1）問題發現如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，請直接寫出線段BE與線段CD的數量關系：BE=CD；（2）操作探究如圖②，將圖①中的△ABC繞點A順時針旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360），請判斷線段BE與線段CD的數量關系，并說明理由．【分析】（1）根據等腰直角三角形的性質可得AB=AC，AE=AD，再根據等量關系可得線段B