滬科版數學九年級下冊綜合訓練50題含答案

（填空、解答題）

一、填空題

I.如圖，將長為8cm的鐵絲首尾相接圍成半徑為2cm的扇形.則S坨形=

cm2.

8

【答案】4

【分析】由題意求出扇形的弧長，然后根據扇形面積公式求出扇形面積即可.

【詳解】???扇形周長等于鐵絲的長為8。小扇形的半徑是2。小

???扇形弧長是4cM

用形=g"=gx4x2=4而.

故答案為:4.

【點睛】此題考查了扇形弧長和面積的求法，解題的關鍵是熟練掌握扇形弧長和面積

公式.

2.農歷十五的晚上一定能看到圓月.（）

【答案】x

【分析】根據隨機事件的定義，進行判斷即可.

【詳解】解：農歷十五的晚上有可能看到圓月，也可能看不到圓月，

???農歷十五的晚上能看到圓月是隨機事件；

故答案為錯誤.

【點睛】本題考查了隨機事件的定義，解題的關鍵是熟記定義.

3.著名畫家達?芬奇不僅畫意超群，同時還是一個數學家，發明家.他增進設計過一

種圓規.如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計）一根沒有彈性的木

棒的兩端A,8能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點尸處的小孔中，隨著木

棒的滑動就可以畫出一個圓來，若A8=10cm,則畫出的圓半徑為cm.

A

【答案】5.

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP=^AB,即為圓的半

徑.

【詳解】解：如圖，???兩個滑槽互相垂直，點夕是木棒的中點，

：.OP=^AB=^x\0=5cm,

即畫出的圓半徑為5c、%

【點睛】本題考查直角三角形中線的性質和圓的性質，關鍵在于對兩種綜合的掌握.

4.一個口袋中有若干個白球和8個黑球（除顏色外其余都相同），從口袋中隨機摸白

1球，記下其顏色，再把它放I可，不斷重復上述過程，共摸了200次，其中有57次謨

到黑球，則據此估計口袋中大約有個白球.

【答案】20

【分析】設口袋中白球有x個，摸到黑球的頻率為蓋建立關于x的方程，解之可得

答案.

【詳解】解：設口袋中白球有x個，

解得.e20,

經檢驗x=20是分式方程的解，

所以口袋中白球大約有20個，

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查用樣本估計總體，從一個總體得到一個包含大量數據的樣本,

我們很難從一個個數字中直接看出樣本所包含的信息.這時，我們用頻率分布直方圖

來表示相應樣本的頻率分布，從而去估計總體的分布情況.掌握用樣本估計總體是解

題關鍵.

5.己知以點C(小b)為圓心，半徑為「的圓的標準方程為(x—a)2+(yi)2=

尺例如：以A(2,3)為圓心，半徑為2的圓的標準方程為(X-2)2+(>>-3)2=

4,則以原點為圓心，過點尸(1,0)的圓的標準方程為—.

【答案】f+產=1

【詳解】解：因為原點為圓心，過點P(1,0)的圓即是以(0,0)半徑為1的圓，

則標準方程為：(x-0)2+(y-0)2=1,

即%2+>,2=1,

故答案為：/+V=L

6.如圖，AB是。O的直徑，AB=10,C是。O上一點，OD_LBC于點D,BD=4,

則AC的長為.

【答案】6.

【詳解】試題分析：由AB是。O的直徑，可得NC=90。，又由AB=10,BD=4,由勾

股定理可求得OD的長，又由OD_LBC,根據垂徑定理和三角形中位線定理即可求得

AC的長：

〈AB是。O的直徑,

???ZC=90°.

VAB=IO,

AOB=5.

VBD=4,

.\OD=3.

VOD1BC,

???BD;CD.

,AC=2OD=6.

考點；1.垂徑定理；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.二角形中位線定理.

7.如圖，射線48與。。相切于點8,經過圓心。的射線AC與。O相交于點。、C,

連接4C,若N4=40。，則NAC8=

【答案】25

【分析】連接0仇如圖，利用切線的性質得443。=90。,再利用互余得到

乙408=50。，然后根據三角形外角性質和等腰三角形的性質計算NC的度數.

【詳解】解：連接08,如圖，

???邊45與。。相切,切點為8,

：,0BLAB,

：.ZABO=90°,

:.ZAOB=90°-Z/l=90o-40o=50o,

*：0B=0C,

：,/0BC=/C,

???/A0B=N0BC+/C=2NC,

，NG=!N4O8=25。.

2

故答案為：25.

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.若出現圓的切

線，必連過切點的半徑,構造定理圖，得出垂直關系.

8.將二次函數y=2x2+4x+7的圖象繞原點旋轉180。得到的圖象的函數解析式為

【答案】y=-2x2+4x-7.

【分析】先把二次函數轉化為頂點式，再確定旋轉后的拋物線的。的值和頂點坐標,

即可得出結果.

【詳解】解：???盧2F+4x+7=2(x+l)2+5,??.原拋物線的頂點為(一1,5),

由題意得：旋轉后的圖象和原圖象關于原點對稱，開口方向相反，，新圖象的頂點為

(1>—5),a=—2,

，所得的圖象的解析式為：產一2(X—1)2—5,即產―#+4x—7.

故答案為：J=-2AA4X-7.

【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征和畫定二次函數的解析式，屬于基

本題型，掌握求解的方法是解題關鍵.

9.如圖，在4x4方格紙片上做隨機扎針實驗，每塊小方格紙片大小，形狀完全相同,

則針頭?扎在陰影區域內的概率為.

【答案】I

O

【分析】根據方格紙片可得紙片面積為16,陰影部分的面積為6,然后根據概率公式

進行求解即可.

【詳解】解：由方格紙片可得：

紙片面積為4x4=16,快影部分的面積為4+2=6,

工針頭扎在陰影區域內的概率為：P==

IoO

故答案為］

O

【點睛】本題主要考查溉率，熟練掌握概率的求法是解題的關鍵.

10.一個不透明的口袋中裝有標號為1、2、3的三個小球，這些小球除標號外完全相

同，隨機摸出1個小球，然后把小球重新放回口袋并搖勻，再隨機摸出1個小球，那

么兩次摸出小球上的數字之和是偶數的概率是.

【答案w

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，兩次摸出小球上的數字之和是奇數的結

果有5種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如圖：

開始

/4\/1\/4\

123123123

和234345456

共有9種等可能的結果，兩次摸出小球上的數字之和是奇數的結果有5種，

???兩次摸出小球上的數字之和是偶數的概率為募，

故答案為:

【點睛】此題考查的是列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式.列表法可以不重復不

遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以二

完成的事件.

11.一塊直角三角板ABC,ZACT=90°,/?C=12cm,AC=9cm,測得8c邊的中心

投影4G長為12&m,則A用長為cm.

【答案】156

【分析】由題意易得△ABCS^AMG，根據相似比求4耳即可.

【詳解】解：Z4CB=90°,BC=12cm,AC=9cm,

/.AB=^AC2+BC2=>/,92+122=15?

由中心投影可得：△A3CSZSAAG，

.??4與：八8=8?：8c=i25：i2=75：i,即44=1575cm.

故答案為：15石.

【點睛】本題綜合考查了中心投影的特點和規律以及相似三角形性質的運用.解題的

關鍵是利用中心投影的特點可知在這兩組三角形相似，利用其相似比作為相等關系求

出所需要的線段.

12.小明想設計一款如圖1所示的噴水壺，于是他繪制了如圖2所示的設計圖，壺身

的主視圖呈矩形48co.壺把手呈圓弧狀，圓心O落在4。上，圓弧交C。于點￡支

撐架”尸所在直線恰好經過0.壺嘴G/的端點/恰好在4。所在直線上.已知

25

AD=8cm,DE=4cm,AF=—cm,HF=FG=6.5cm,則半徑A。的長為cm,

12

壺嘴G/的長度為cm.

【答案】5野而

【分析］連接0巴設半徑八0=,，在A。。石中，利用勾股定理求出〃過H作

HNlDh垂足為N,過"作垂足為M,證明△04尸SAONH,

4GHMS?G1A,利用相似三角形的性質求解.

【詳解】解：連接0E,設半徑AO=r,

貝ijOD=AD-AO=S-r,DE=4,

在△OOE中，OD2+DE2=OE2,

即（8-廠『+42二/,

解得：r=5,

即半徑AO的長為5c〃?；

過〃作〃ALL。/,垂足為N,過〃作垂足為M,

則△OA/S^ON，，bGHMsRGlA,

.OAOFAFMGHMGH

^ON~OH~~NH'~AG~~AT~~GFf

,?*0F=\JAO2+AF2=JT，

6525

AJ-=12=J2_

ON65NH'

-----F0.5

12

解得：0N=ll,NH*,

：.HM=AN=ON-AO=6,NH=AM=—FM=AM-AF=-,

12t2

:?MG=FG-FM=4,

；?GH=>JHM2-MG2=2而,

4__2x/13

'生+6.5一GI'

12

解得：G/二詈瓜

故答案為：5,.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理.，圓的基本性質，解題的關

鍵是作出輔助線，理清圖中線段的關系.

13.如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O/,半圓O?,…半圓0〃與直線/相切.設

半圓0/,半圓。2,…，半圓。〃的半徑分別是。，/-2中，則當直線/與x軸所成

銳角為30°,且門=2時，「2°2/=

【答案】2X32020

【分析】根據切線的性質和相似三角形的性質，求出7「2，…，”，根據數據所呈現

的規律進行計算即可.

【詳解】如圖，設切點分別為A，4,4…402I，連接。2&，03A3,…

??.30。

,200,00200y002g'

而OO=2rx,OO2=OO+=2q+&+4)=,

.一J

,?34+02

又??F=2,

:./;=3。=2x3=6,

同理可求出4=2x32=18,4=2x33=54,^=2x34=162,??

202<)

:.T；02I=2X3,

故答案為：2X32020.

【點睛】本題考查切線的性質，直角三角形的邊角關系以及數字變化規律類，求出各

個半徑的值是正確解答的關鍵.

14.一個口袋中有1()個紅球和若干個白球，請通過以下實驗估計口袋中白球的個數:

從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，不斷重復.上述過程.實驗

中總共摸了200次，其中有50次摸到紅球.則白球有個.

【答案】30

【分析】根據摸到紅球的次數求出摸到紅球的概率，再根據概率公式求出白球的個數

即可.

【詳解】???總共摸了200次，其中有50次摸到紅球，

???摸到紅球的概率為

設白球有X個，則(x+10)x-=10,

4

解得：x=30.

:.白球有30個.

故答案為30

【點睛】本題考查利用頻率估計概率及概率公式，概率=所求情況數與總情況數之比,

熟練掌握概率公式是解題關鍵.

15.如圖，OA、OC是。O的半徑，點B在。O上，連接AB、BC,若NABO40。，

貝|JNAOC=.度.

【詳解】試題分析：丁/ABC與AOC是同弧所對的圓周角與圓心角，ZABC=40°,

???ZAOC=2ZABC=80°.故答案為80.

考點：圓周先定理.

16.如圖，在RtABC中，/。=90。,448。=30。,從。=3,將RiABC繞點A逆時針

旋轉得到他△A8C,使點C落在AB邊上，連接88',則33'的長度為

【答案】6.

【分析】由30。直角三角形性質可得到AB=24C=6,然后根據旋轉的性質可證△力夕夕為

等邊三角形即可.

【詳解】解：在RtZXABC中，ZABC=30°,

JAB=2AC=6,?C=60。，

由旋轉的性質，得=N94C=NR4C=60。，

???1AM'是等邊三角形，

BB'=AB=6.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質和30。直角三角形性質，等邊三角形判定與性質，

掌握旋轉的性質和30。直角三角形性質，等邊三角形判定與性質是解題關鍵.

17.如圖，AA8c內接于。O,A”_L8c于點，，若AC=8,AH=6,的半徑

OC=5,則AB的值為.

B\H

【答案】y

【分析】作直徑AE,遙接CE,證△A8”sA4EC,利用相似三角形的對應邊成比例

計算即可求解.

【詳解】作直徑AE,連接CE,

TAE是直徑

???ZACE=90°,

/.ZAHB=ZACE,又NB=/E,

，/^ABH^AAEC,

.ABAH即Ml解得A喈,

*

IUo2

故答案為

【點睛】本題考查了圓的性質定理和三角形相似的判定和性質，正確的作出輔助線是

解題的關鍵.

18.若點戶（。,-2）與點0（3力）關于原點對稱，貝1」/=

【答案】9

【分析】根據關于原點的對稱點的特征計算即可.

【詳解】解：???點尸（〃,-2）與點。（3，份關于原點對稱，

a=-3,b=2,

ah—32=9>

故答案為：9.

【點睛】本題主要考查了關于原點對稱的點的有關計算，解題的關鍵是熟知直角坐標

系中兩點的坐標關于原點對稱，這兩個點橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數.

19.如圖，AB是的一條弦，點。是?O上的一動點，且4cA=30。.另一條弦

G”經過人C、8C中點E,F.若「O的半徑為4,則GE+切的最大值為

【答案】6

【分析】連接。40B，根據圓周角定理，求出NAOB=2NAC8=60。，進而判斷出

△408為等邊三角形；然后根據。0的半徑為4,可得4B=OA=O8=4,再根據三角

形的中位線定理，求出E/的長度；最后判斷出當弦G”是圓的直徑時，它的值最大，

進而求出GE+M的最大值是多少即可.

【詳解】解：連接OA、0B,如圖所示：

NAC8=30。，

，NAO8=2NACB=60。，

?：OA=OB,

???△A08為等邊三角形，

???。0的半徑為4,

：.AB=OA=OB=4,

?:點、E,尸分別是AC、4c的中點，

：,EF=^AB=2,

要求GE+/77的最大值，即求GE+FH+E/（弦GH）的最大值，

???當弦G”是圓的直徑時，它的最大值為：4x2=8,

，GE+"7的最大值為：8-2=6.

【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定與性質等知

識.確定G"的位置是解題的關鍵.

20.如圖，8C為半圓。的直徑，A8與半圓。相切于點8,AC與圓。交于點憶E

【答案】12

【分析】根據圓周角定理得到々反'=90°、/EBC=/ECM,根據切線的性質得到

ZABC=90°,證明NABM=NAA仍，得到A8=AM,設AB=5a,根據正切的定義得

到3C=12a,根據勾股定理得到AC=13。，證明CEM^BEC,根據相似三角形的

性質列出比例式，計算即可.

【詳解】解：???8。為半圓。的直徑，

/.zTBEC=90°,

???ZEMC+ZECM=90°,

???AB與半圓。相切于點8,

/.ZABC=90°,

???ZABM+ZEBC=90°f

???E為C尸的中點,

?*-EF=EC，

???/EBC=NECM,

；?/EMC=ZABM,

NEMC=ZAMB,

JZABM=ZAMB,

:.AB=AM,

設AB=5a,

AU5

VtanZACB=—=—,

BC12

???3C=12a,由勾股定理得：AC=ylAB2+BC2=\3a^

CM=\3a-5a=Sa,

?:/EBC=/ECM,4CEM=NBEC,

???..CEMsBEC,

.EMECCM

^~EC~~EB~~BC'

.BE-\OEC_Sa_2

EC

解得：EC=12,

故答案為：12.

【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定和性質，根據

△CEA/S^BEC列出比例式是解題的關鍵.

21.半徑為1的圓中有一條弦長為右的弦，那么這條弦所對的圓周角的度數等于

【答案】60。或120。.

【分析】根據垂徑定理求得AO的長，再得到448的度數，再根據圓周角定理得到

NAC8的度數，根據圓內接四邊形的對角互補即可求得NAEB的度數.

【詳解】解：過。作OH_LA6,

OH=-OA,

2

AZOAH=30°,ZAOH=60°.

ZAO"=120。，

NACB=-ZAOB=60°,

2

又???四邊形4C8。是圓內接四邊形，

???ZADB=180°-ZACfl=180°-60°=120°.

故這條弦所對的圓周角的度數等于60。或120。.

故答案為：60。或120。.

【點睛】此題考查圓周角定理，圓內接四邊形的性質.在解答此類題目時?定要注

意，一條弦所對的圓周角有兩個，這兩個角互補，不要漏解.

22.已知反比例函數G：y=--（x<0）的圖象如圖所示，將該曲線繞原點。順時

X

針旋轉45。得到曲線點N是曲線G上的一點，點M在直線）'=T上，連接MN,

ON,若MN=ON,則AA/QV的面積為

【分析】將直線）'=-1和曲線C,繞點。逆時針旋轉45。，則直線）』一工與x軸重合,

曲線G與曲線G重合，等腰三角形△ATOM的底邊在x軸上，然后利用反比例函數系

數&的性質即可解答.

（詳解】將直線）'=-工和曲線g繞點。逆時針旋轉45。,

則直線）'=一工與x軸重合，曲線。2與曲線C1重合,

???旋轉后點N落在曲線G上，點例落在x軸上,

如圖所示，設點M，N-的對應點分別是AT,N',過點N'作NP_Lx軸于點尸，連接

ON',MN,

?:MN=ON,

:.MN=QN',“'ON'兩個全等的等腰三角形,

???過點N'作NP_Lx軸于點P,

:.M'P=PO,

^AMON=S&woz=2SA。"伊=2XQX5=5.

故答案為：5

【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化?旋轉、反比例函數的圖象及反比例函數系數左

的幾何意義，解題的關犍是利用旋轉的性質構造△MON'及熟練掌握反比例函數系數

火的幾何意義.

23.在平面直角坐標系xoy中，已知點A(2,3),若將0A繞原點O逆時針旋轉90。得

到OA。則點A，的坐標是____________.

【答案】(-3.2)

【分析】先作出圖形，然后寫出坐標即可.

【詳解】解：如圖：

則A，的坐標是(-3,2).

故答案是(-3,2).

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的旋轉變換，根據題意正確畫出圖形成為解答本

題的關鍵.

24.如圖△ABC中，NA=30。，ZC=90°,作△ABC的外接圓.若弧AB的長為

12cm,那么弧AC的長是_____.

【答案】8cm.

【分析［根據圓周角定理以及弧A8與弧AC所對圓周角度數即可得出弧長比與圓周角

比相等，即可得出結論.

【詳解】解：；ABC中，ZA=30°,ZC=90°,

???NB=60。，AB是直徑，

,:AB=12cm

60

AC=—x12=8（cm）,

故答案為8cm.

【點睛】此題考查了圓周角定理以及弧長與圓周角的關系利用弧長比與圓周角比相等

是解題的關鍵.

25.如圖，。0的圓心為原點，半徑為2,反比例函數），=K（厚0）圖像與。。有兩個

X

交點，則女的取值是一.

【答案】2或-2

【分析】由題意可知，反比例函數），-4（氏十0）圖象上距。”>O點最近的點在<。內即

可，即反比例函數y=5ZwO）圖象與直線）或直線k-x的交點到。為2.

x

【詳解】解：由題意可知，反比例函數y=A伙工0）圖象上距o點最近的點在。上即

X

可，

???反比例函數尸人（女工0）圖象與宜線），=彳或宜線y=-x的交點到。的距離為2,

x

當左>0時，交點坐標為（4,4）或（-4,-4）,到0">0的距離為瘍，

:,叵<2,

Ak=2,

當攵<0時，交點坐標為（-G,口（）或E,-日,到。的距離為

,,J—2A=2?

:.k=-2f

綜上，k的值是2或-2,

故答案為：k的值是2或-2

【點睛】本題考查了反比例函數的圖象和性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，明

確反比例函數）'二人（攵/。）圖象上距0”>0點最近的點在O內是解題的關鍵.

x

26.用一些大小相同的小正方體搭成一個幾何體，使得從正面和上面看到的這個幾何

體的形狀如圖所示，那么，組成這個幾何體的小正方體的塊數至少為.

【詳解】試題分析：從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數及形狀，從主視圖可

以看出每一層小正方體的層數和個數，從而算出總的個數.

解：???俯視圖有5個正方形，

，最底層有5個正方體，

由主視圖可得第2層最少有2個正方體，第3層最少芍I個正方體；

由主視圖可得第2層最多有4個正方體，第3層最多芍2個正方體；

???該組合幾何體最少有5+2+1=8個正方體，最多有5+4+2=11個正方體，

故答案為8.

考點：由三視圖判斷幾何體.

27.若一個正六邊形的周長為24,則該正六邊形的面積為.

【答案】2473

【詳解】根據題意畫出圖形，如圖，連接OB,0C,過O作OM_LBC于M,

/.ZBOC=-x360°=60°.

6

VOB=OC,「?△OBC是等邊三角形.AZOBC=60°.

???正六邊形ABCDEF的周長為24,/.BC=24：6=4.

.\0B=BC=4,.\BM=OBsinZOBC=4—=273.

2

???^EF=6SAOBC=64-BC-OM=6.1-4-2VT=

,z

28.如圖，一根木棒(AB)長為2d斜靠在與地面(0M)垂直的墻壁(ON)上，與

地面的傾斜角(NA8O)為60。，當木棒A端沿N0向下滑動到4,A/V=

(V3-V2)B端沿直線OM向右滑動到則木棒中點從尸隨之運動到產所經過

【答案】《加

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP=gAB=gA9=OP,

即P是隨之運動所經過的路線是一段圓弧；在M/kAOB中，根據含30度的直角三角形

三邊的關系得到NAOP=30。，。八二6〃,則易求出。4'=。4-44'=缶,即可得到一4。斤

為等腰直角三角形，得到44'方。=45。，則NPO產=4，。產-/4。0=15。，然后根據

弧長公式計算即可.

：,OP=^AB=^A'B'=OP.

'：AB=2a

OP=a,

當A端下滑B端右滑時，AB的中點P到O的距離始終為定長a,

???P是隨之運動所經過的路線是一段圓弧.

,?ZABO=600,

.ZAOP=30°fOA=y/3a.

VAA>=（^-V2）??0Af=OA-AA'=0"，

；.s譏Z4'"O=%哼，

.??NA'S。=45°,

，NA'O產=45。,

???4Pop=ZA'OO—ZAOP=15°,

???弧PP'的長=平親瞑

1oU12

即p點運動到產所經過路線PP的長為AM

故答案為：不乃。.

I乙

【點睛】本題考杳了弧長公式：仁n-彳7T?R/（〃為弧所對的圓心角的度數，R為半

徑）.也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及含30度的直.角三角形三

邊的關系和等腰直角三角形的性質.

29.如圖，已知矩形A8CD中，AB=4,AD=3,P是以C。為直徑的半圓上的一個動

點，連接BP.

（1）半圓CQ=_:

（2）的最大值是一.

【答案】2兀2+V13

【分析】（1）根據弧長公式進行計算即可;

（2）將以C。為直徑的。。補充完整，由點B在。O外可得出當點夙0、P三點共線

時B尸最大，根據矩形以及圓的性質可?得出。。、。尸的長度，再利用勾股定理即可求

出OB的長度，進而即可得出BP的最大值.

【詳解】（1）在矩形A8C。中，AB=CD,AB=4f

：?CD=4,

AC/)=180^x2^

180

故答案為：2兀

(2)將以C。為直徑的。。補充完整，如圖所示,

???點B在。。外，

???當點5、。、P三點共線時，8P的值最大.

?「CO為。。的直徑，CD=AB=4t

：.OC=OP=2.

在MABOC中，BC=3,OC=2,

°B=JBC?+Od1=y13，

J此時BP=BO+OP=yji3+2.

故答案為：V13+2

【點睛】本題考查了點和圓的位置關系，矩形的性質以及弧長公式，掌握弧長公式和

矩形的性質是解題的關縫.

30.已知圓O的半徑是35?，點。到直線/的距離為4cm,則圓O與直線/的位置關

系是.

【答案】相離

【分析】根據圓心O到直線1的距離大于半徑即可判定直線I與。O的位置關系為相

離.

【詳解】???圓心O到直線1的距離是4cm,大于。O的半徑為3cm,

???直線1與。O相離，

故答案為相離

【點睛】此題考查的是直線與圓的位置關系，根據圓心到直線的距離d與半徑r的大

小關系解答.若dVr,則直線與圓相交；若d=r,則直線于圓相切；若d>r,則直線

與圓相離.

二、解答題

31.如圖，在方格紙中，以格點連線為邊的三角形叫格點三角形，請按要求完成下列

操作：先將格點△ABC向右平移4個單位得到△AiBiC”再將AiBCi繞點Ci點旋

轉180。得到△A汨2c2.

【答案】見解析.

【分析［將ABC向右平移4個單位后，橫坐標變為x+4,而縱坐標不變，所以點

Ai、Bi、Cl的坐標可知,確定坐標點連線即可畫出圖形△AiBiC”將AAiBiC中的

各點Ai、Bi、G旋轉180。后，得到相應的對應點A2、B2、C2,連接各對應點即得

△A2B2C2.

【詳解】解：如圖所示：

32.有5張看上去無差別的卡片，正面分別寫著1,2,3,4,5,洗勻后正面向下放

在在桌子上.

(1)從中隨機抽取1張，抽出的卡片上的數字恰好是偶數的概率是：

（2）從中隨機抽取2張，求抽出的卡片上的數字恰好是兩個連續整數的概率.

2

【答案】（1）,

（2）1

【分析】（1）讓偶數的個數除以卡片的總張數即可求得相應概率.

（2）利用樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出恰好是兩個連續整數的情況數，即可

求出所求概率.

（1）

解：5個數字中，偶數有2,4兩個，

2

所以抽出的卡片上的數字恰好是偶數的概率是:

故答案為：

Q）

樹狀圖如下：

第一張

第二張

共有20種等可能的結果，取出的數字是兩個連續整數（記為事件A）的結果有8種，

???P（A）=|.

【點睛】此題此題主要考查概率的意義及求法，用列表法或樹狀圖法求概率：列表法

可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩

步或兩步以上完成的事件，解題時要注意此題是放I可實驗還是不放I可實驗，用到的知

識點為：概率二所求情況數與總情況數之比.

33.小亮和小芳都想參加學校社團組織的暑假實踐活動，但只有一個名額，小亮提議

用如下的辦法決定誰去參加活動：將一個轉盤平均分成9等分，分別標上I至9九個

號碼，隨意轉動一次轉盤，若轉到2的倍數，小亮去參加活動；若轉到3的倍數，小

芳去參加活動；轉到6或者其它號碼，則重新轉動轉盤.

9

81

w

（l）轉盤轉到2的倍數的概率是多少？

（2）你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.

4

【答案】（1）§；（2）游戲不公平，理由見詳解

【分析】（1）直接根據概率公式計算可得；

（2）利用概率公式計算出兩人獲勝的概率即可判斷.

【詳解】解：（1）???共有1,2,3,4,5,6,7,8,9這9種等可能的結果，其中2

的倍數有4個，

4

：?P（轉到2的倍數）=-；

（2）游戲不公平，

共有9種等可能的結果，其中3的倍數有3、6、9共3種可能，2的倍數有2,4,6,

8共4種可能，由于轉到6時需要重新轉轉盤，故6舍去，

，小亮去參加活動的概率為：3-9=；,

小芳去參加活動的概率為：I，

12

???廣>丁

???游戲不公平.

【點睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，

然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平.

34.如圖，在平面直角坐標系中，.SBC的三個頂點坐標為4L-4）,以3「3）,

y.

（1）請畫出關于/軸對稱的△AMG：

⑵將ABC繞點。順時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的：

⑶請求出在（2）中點8經過的路徑長（結果保留兀）.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

⑶&兀

【分析】（1）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B,C的對應點A，片，G即可.

（2）利用旋轉變換的性質分別作出A,B,C的對應點4，B2,C即可?

（3）結合（2）根據弧長公式即可求出點8經過的路徑長.

【詳解】（1）解：如圖，△A4G即為所求；

(3)解：由圖可知8c=5/2?+2?=2&，

點B經過的路徑長=9。"2?="r.

180

【點睛】本題考查了作圖-旋轉變換，作圖-軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱

變換，旋轉變換的性質，屬于中考常考題型.

35.△ABC中，N84C=90。，點。在A4邊上，點￡在月。邊上，連接。￡,取8c邊

Ap

的中點。，連接。。并延長到點F,使。F=OD,連接CREF,^-=--=k.

ADAB

②如圖2,將①中AAOE繞點A旋轉，①中的結論是否仍然成立？若成立，請僅就圖

2所示情況給出證明；若不成立，請說明理由.

（2）如圖3,若女=&,AB=GA。將△AOE由圖1位置繞點A旋轉，當點C,E,D

三點共線時，請直接寫出sin/1的值.

【答案】（1）①1,等腰直角三角形；②成立，理由見解析

【分析】（1）①證明ABOOg△C。尸得。/=8。，/OCF=/B,進而求得結果：②連

接BD,證明△C4￡gZ\84。，可得CE=BD,ZACE=ZABD,從而得至I」CE二CE進而

得出N/CE=90。，即可求解；

（2）連接8。，過點A作AG_LCO于點G,由②得：NCAE=4BAD,CF=BD,

ZECF=90\可得點C、A、D、F共圓，Z1=ZACG,然后設4。=小可得k=6,

AB=6AD,從而得到===可得DE=4,從而得到

AG=&a,再利用銳角三角函數，即可求解.

3

【詳解】（1）①TO是8c的中點，

：,OB=OC,

在480。和4CO廠中,

*：OB=OC,ZBOD=ZCOF,OD=OF,

：.^BOD^^COF(SAS),

1.CF=BD,NOCF=NB,

??"=1,

.\AD=AE,AB=AC,

：.BD=CE,

：.CE=CF,

CE

即：彳"

*/ZB+ZACB=90°,

???ZOCF+ZACB=90°,

，NECF=90。,

???△ECT是等腰直角三角形，

故答案為：I,等腰直角三角形;

②仍然成立，理由如下：

連接8D,如圖，

D

由(1)得：ABODSF,

：,CF=BD,ZOCF=ZOBD,

???ZBAC=ZDAE=90\

/./BAC-/BAE=/DAE-/BAE,

：,ZCAE=ZBAD,

在4。七和4BAD中,

*：AC=AB,NCAE=NBAD,AE=AD,

：./\CAE^/^BAD(SAS),

:?CE=BD,ZACE=ZABDt

:.CE=CF,

*：N4C8+NA8O90。,

ZACE+ZECO+ZABC=90°,

ZA13D+ZECO+ZABC=90°,

ANECO+NQBO=90。，

NEC0+NFC0=9。。,

???ZFCE=90°,

???笠CF=1,AECF是等腰直角三角形；

CF

（2）解:如圖，連接5。，過點A作4GJ_CD于點G,

由②得：Z.CAE=NBAECF=BD,ZECF=90°,

：.ZECF=ZEAD=9Q°t

???點CA、D、尸共圓,

：.Z\=ZACG,

設AD=a,

,:k=&，AB=43AD,

AB=6a,AC=>/6tz,AE=y/2a,

,/ZD4E=90\

/.DE=5i,

??,SMQE=^DEAG=^AEAD,

?A——瓜

??AG=—ci9

3

也

***sinZACD=—=-2=-=->

AC瓜a3

sinZ1=-.

3

【點睛】本題考查了等腰三角形性質，全等三角形判定和性質，解宜角三角形等知

識，解決問題的關鍵是作輔助線，轉化求值.

36.我們初中學習的頻數直方圖是用縱軸表示頻數，如果現在我們改用縱軸表示

蝙頻率（如第一組［50,60）表示數據小于60但不小于50,組距為60-50=10）,這時

組距

每個小矩形的面積就是該組內數據的頻率，這種圖形稱為頻率分布直方圖.從某校初

三一班的一次數學測試成績中隨機抽取了部分學生成績，制作了統計表和頻率分布直

方圖，后來都受到污損，如圖所示，根據以上信息，回答下列問題:

分組頻數

[50,60)2

[60,70)■

[70,80)10

[80,90)7

[90,100)2

⑴求該樣本的樣本容量；

（2）計算頻率分布直方圖中，從左到右第三個矩形的高度；

（3）從分數在［50,70）間的試卷中，隨機抽取兩份分析學生成績，求至少有一份分數在

［50,60）間的概率.

【答案】（1）25

（2）0.04

【分析】（1）先求得［50,60）對應矩形的面積即頻率為0.08,再由小組的頻數為2,

即可求得該樣本的樣本容量；

(2)先求得先求得［50,60)數據的頻率，即可求解；

(3)用列舉法求求至少有?份分數在［50,60)間的概率.

(1)

解:由頻率分布直方圖知［50,60)對應矩形的面積為0.008x10=0.08,即此分組中的

數據頻率為0.08,由表知該組的頻數為2,

?二統計數據的個數：2-0.08=25；

(2)

解：第三組即［70,80)中數據的頻率：^=0.4,

二矩形的高度：器哈二。04:

(3)

解:分組［60,70)中的數據頻數為25-(2+10+7+2)=4,這四份試卷分別記為

片也也也；［50,60)中試卷分別記為4,生，從中任取兩份的所有情況為

%出,,%瓦,,％瓦,對4,a執,a業,a力4，瓦尻,岫3,片瓦,b力3力力A,b力4,共有15種,

其中至少有一份的分數在［50,60)之間的情況共有9種，

93

所以，至少有一份的分數在［50,60)之間的概率為已=：.

【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，簡單概率的求法，考查數形結合思想，是

基礎題.

37.把我們常用的一副三角尺按照如圖方式擺放：

(1)如圖1,兩個三角尺的直角邊OA、OD擺放在同一直線上，

①易知AB//CD,理由是；

②求出NBOC的度數；

(2)如圖2,如果把圖1所示的△044以O為中心順時針旋轉得到NOAB、當N

AQA為多少度時，OB，平分NC8；

(3)如圖3,兩個三角尺的直角邊OA、OD擺放在同一直線上，另一條直角邊OB、

OC也在同一條直線上，如果把AQ48以O為中心順時針旋轉倜，當旋轉多少度

時，兩條斜邊AB〃CD,請直接寫出答案

圖I圖2圖3

【答案】(1)①旁內角互補,兩直線平行;②75。；(2)105°；(3)105。或285。

【分析】(1)①由同旁內角互補，兩直線平行可證AB〃CD：

②由平角的性質可求解；

(2)由旋轉的性質可得NAOB二NA，OB，=45。，由角的數量關系可求解；

(3)分兩種情況討論，由平行線的性質可求解.

【詳解】(1)①???/BAO=NCDO=90。，

AZBAO+ZCDO=180C,

???AB〃CD(同旁內角互補，兩直線平行)

故答案為：同旁內角互補，兩直線平行；

②?.?NAOB=45。，ZCOD=60°,

.,.ZBOC=75°；

(2)VAOAB以O為中心順時針旋轉得到仆OABI

.?.ZAOB=ZA'OB'=45O,

VZCOD=60°,OB，平分NCOD,

:.ZCOB'=30%

ZCOA=ZA'OB-ZCOB^15°,

/.ZA'OB=ZCOB-ZCOA'=60°,

/.ZAOA'=ZAOB+ZA,OB=105°；

(3)當AB，與OD相交于點E時，如圖1,

r

???ZD=ZA'EO=60°,

VZA'EO=ZB'+ZEOB',

.?.ZEOB'=60°-45o=15°,

，ZBOB=ZCOD+ZEOB'=105°；

當AB，與AO相交于點F時，如圖2,

r

AZD=ZATO=60o,

???ZA'OF=180°-ZA'FO-ZA'=180°-60°-45°=75°,

/.旋轉的角度=36。°-75°=285°,

綜上所述：旋轉的角度為105。或285°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的性質，三角形的外角性質，正確的識別圖

形并靈活運用性質進行推理是本題的關鍵.

38.。。的半徑r=5cm,圓心O到直線1的距離OD=3cm,在直線I上有P,Q,R

三點，且有PD=4cm,QD=5cm,RD=3cm,那么P,Q,R三點與。。的位置關

系各是怎樣的？

【答案】點P在。O上；點Q在。O外；點R在。O內.

【分析】連接OR、OP、OQ,根據勾股定理求得OR、OP、OQ的長，再與半徑比較

即可解答.

【詳解】如圖，連接OR,OP,OQ.

???PD=4c〃?，OD=3cm,且OD_LL,OP=?JPD?+00，=W+3；=5(cm)=r,

，點P在。O上；

VQD=5cm,AOQ=<QD，、00'='5'+3'=\/S(cm)>5cm=r,

???點Q在。O外；VRD=3c/n,

OR=^R0?*00i=^3>I3J=3>/2(cin)<5cm=r,

???點R在00內.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，解決本題的關鍵是首先根據勾股定理算出點

到圓心的距離，再比較點到圓心的距離與圓半徑大小關系完成判定.

39.如圖，四邊形ABC、。內接于20,AB是的直徑，過點。作?。的切線交

的延長線于點，交B4的延長線于點E且過點A作，。的切線交E尸于

點G,連接4c

⑴求證：A。平分NG4C：

⑵若AD=5,AB=9,求線段力E的長.

【答案】（1）見解析

⑵贓

9

【分析】（1）根據切線長定理得到G4=GQ,則NGW=NGD4,根據圓周角定理推

出AC〃OE,則/CAD=NGD4,進而得到/GAO=NC4。，據此即可得解；

（2）連接交AC于點H,根據切線的性質、平行線的性質推出0H是△A3C的中

I?9

位線，AH=CH=-AC.則。"=58。，設O“=x，則。，=丁r,BC=2x,解直角

2

三角形得到叵，根據矩形的性質即可得解.

9

【詳解】（1）證明：:GA、GO是。。的切線，

:?GA=GD,

：,ZGAD=ZGDA,

??.AB是。0的直徑，

/.ZACB=90°,

???AC_LBE,

,；DE上BE,

：.AC//DE,

：,ZCAD=ZGDAf

：.ZGAD=ZCAD,

，A。平分NGAC；

(2)解：連接OQ,交AC于點H,

E

???DE是（DO的切線，

：?OD1DE,

：.NODE=90。,

由（1）知，AC//DE,

：.OD1AC,

：,AH=CH=^AC,ZAHD=ZCHD=90°,

?：OA=OB,

???OH是aABC的中位線，

：.OH=^BC,

???A8=9,

9

,\OD=-,

2

g

設OH=x,則。”=一一乂BC=2x,

2

???AC2=AB2-8C?=81-4xz,

，（2A〃）2=81-4*2,

AH2=AD2-DH\AD=5,

?ZHCE=\S00-ZACB=900=ZODE=4CHD,

?四邊形。”。￡是矩形，

，DE=CH=AH=.

9

【點睛】此題考查了切線長定理、切線的判定與性質，熟記切線的判定定理與性質定

理并作出合理的輔助線是解題的關鍵.

40.請用科學的方法證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一

半.

【答案】證明見解析.

【詳解】成題分析：分三類情況討論：①當圓心。在的一邊上時；②當圓心O

在N8AC的內部時；③當圓心O在NBA。的外部時；分別對3種情況下一條弧所對的

圓周角與它所對的圓心角的關系計算說明即可.

試題解析:

①如圖(I),當圓心。在NBAC的一邊上時,

*：OA=OC,

???ZA=ZC,

VZBOC=ZA+ZC,

:.NBAC'NBOC；

2

②如圖(2)當圓心。在/84C的內部時，延長B。交。。丁點。，連接8,則

ZD=ZA,

，：OC=OD,

：.ZD=ZOCD,

■:NBOC=ND+NOCD,

???NBOL2NA,

即N8AC」N8OC.

2

③如圖(3),當圓心。在NB4C的外部時，延長BO交00于點E,連接CE,則

NE=NA,

?：OC=OE,

：.ZE=ZOCE,

ZBOC=ZE+ZOCE,

：.ZB0C=2ZA,

即N84CJNB0C.

2

點睛：本題關鍵在于借助同弧所對圓周角相等以及三角形外角的性質求證.

41.已知拋物線，=加+《4｝點人是拋物線上一動點，

（I）若點4的坐標為卜&，2）,求小》的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點S（N，yJ,丁（七,），2）都滿足：當為＜元2＜。時，

上二&＜0；當0"＜與時，上上＞°.點尸，。在），軸上，且P0；,

x,-x2NJ4a）

（2（0,4）,以線段AQ為直徑作。M,當0M過點P時，△APQ的面積為3；

①求拋物線的解析式；

②是否存在直線）=/,使得直線丁士被。M所截得的弦長為定值？若存在；求/的

值；若不存在，說明理由.

【答案】（1）〃—無b=1

2

⑵①y=：/；②存在直線y=/,使得直線y=f被0M所截得的弦長為定值，為

4

2y/3

【分析】（1）把點A（-&，2）代入廣爾+版即可求解：

（2）①根據當內＜/＜。時，\三＜°：當。＜內＜々時，2