一、指數的性質（一）整數指數冪1．整數指數冪概念：2．整數指數冪的運算性質：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，假如一種數的次方等于，那么這個數叫做的次方根，即：若，則叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．闡明：①若是奇數，則的次方根記作；若則，若則；②若是偶數，且則的正的次方根記作，的負的次方根，記作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶數，且則沒意義，即負數沒有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指數，叫被開方數?！啵?．的次方根的性質一般地，若是奇數，則；若是偶數，則．5．例題分析：例1．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）解：略。例2．已知，化簡：．解：當是奇數時，原式當是偶數時，原式因此，．例3．計算：解：例4．求值：．解：（二）分數指數冪1．分數指數冪：即當根式的被開方數能被根指數整除時，根式可以寫成分數指數冪的形式；假如冪的運算性質（2）對分數指數冪也合用，例如：若，則，，∴．即當根式的被開方數不能被根指數整除時，根式也可以寫成分數指數冪的形式。規定：（1）正數的正分數指數冪的意義是；（2）正數的負分數指數冪的意義是．2．分數指數冪的運算性質：整數指數冪的運算性質對于分數指數冪也同樣合用即闡明：（1）有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣合用；（2）0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒意義。3．例題分析：例1．用分數指數冪的形式表達下列各式：，，.解：=；=；=．例2．計算下列各式的值（式中字母都是正數）．（1）；（2）；解（1）==；（2）==．例3．計算下列各式：（1）（2）．解：（1）====；（2）=．（三）綜合應用例1．化簡：.解：===.例2．化簡：.解：．評述：此題重視了分子、分母指數間的聯絡，即，由此聯想到平方差公式的特點，進而使問題得到處理。例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），∴，又由得，∴，因此.（2）（法一），（法二）而∴，又由得，∴，因此.二、指數函數1．指數函數定義：一般地，函數（且）叫做指數函數，其中是自變量，函數定義域是．2．指數函數在底數及這兩種狀況下的圖象和性質：圖象性質（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即時（4）在上是增函數（4）在上是減函數例1．求下列函數的定義域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函數的定義域是，令則∴得，因此，原函數的值域是．（2）∴原函數的定義域是，令則，在是增函數∴，因此，原函數的值域是．（3）原函數的定義域是，令則，在是增函數，∴，因此，原函數的值域是．（4）原函數的定義域是，由得，∴，∴，因此，原函數的值域是．闡明：求復合函數的值域通過換元可轉換為求簡樸函數的值域。例2．當時，證明函數是奇函數。證明：由得，，故函數定義域有關原點對稱?！嘁虼?，函數是奇函數。例3．設是實數，，（1）試證明：對于任意在為增函數；（2）試確定的值，使為奇函數。分析：此題雖形式較為復雜，但應嚴格按照單調性、奇偶性的定義進行證明。還應規定學生注意不一樣題型的解答措施。（1）證明：設，則，由于指數函數在上是增函數，且，因此即，又由，得，，因此，即．由于此結論與取值無關，因此對于取任意實數，在為增函數。評述：上述證明過程中，在對差式正負判斷時，運用了指數函數的值域及單調性。（2）解：若為奇函數，則，即變形得：，解得：，因此，當時,為奇函數。三、對數的性質1．對數定義：一般地，假如（）的次冪等于N,就是，那么數b叫做a為底N的對數，記作，a叫做對數的底數，N叫做真數。即，指數式底數冪指數對數式對數的底數真數對數闡明：1．在指數式中冪N>0，∴在對數式中，真數N>0．（負數與零沒有對數）2．對任意且,均有∴，同樣：．3．假如把中的寫成，則有（對數恒等式）．2．對數式與指數式的互換例如：例1．將下列指數式寫成對數式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．簡介兩種特殊的對數：①常用對數：以10作底寫成②自然對數：以作底為無理數，=2.71828……，寫成．例2．（1）計算：，．解：設則，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必須：，∴舍去，從而．（3）求底數：①，②．解：①∴；②,∴．4．對數的運算性質：假如a>0，a1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．例3．計算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．換底公式：(a>0,a1；)證明：設，則，兩邊取認為底的對數得：，∴，從而得：，∴．闡明：兩個較為常用的推論：（1）；（2）（、且均不為1）．證明：（1）；（2）．例4．計算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．例5．已知，，求（用a,b表達）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．例6．設，求證：．證明：∵，∴，∴．例7．若，，求．解：∵，∴，又∵，∴，∴∴．四、對數函數1．對數函數的定義：函數叫做對數函數。2．對數函數的性質：（2）圖象：由于對數函數是指數函數的反函數，因此對數函數的圖象只須由對應的指數函數圖象作有關的對稱圖形，即可獲得。同樣：也分與兩種狀況歸納，以（圖1）與（圖2）為例。1111（圖1）11（圖2）（3）對數函數性質列表：圖象性質（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，（4）在（0，+∞）上是增函數（4）在上是減函數例1．求下列函數的定義域：（1）；（2）；（3）．分析：此題重要運用對數函數的定義域求解。解：（1）由>0得，∴函數的定義域是；（2）由得，∴函數的定義域是；（3）由9-得-3，∴函數的定義域是．例2．比較下列各組數中兩個值的大?。海?），；（2），；（3），.解：（1）對數函數在上是增函數，于是；（2）對數函數在上是減函數，于是；（3）當時，對數函數在上是增函數，于是，當時，對數函數在上是減函數，于是．例3．比較下列比較下列各組數中兩個值的大?。海?），；（2），；（3），，；（4），，．解：（1）∵，，∴；（2）∵，，∴．（3）∵，，，∴．（4）∵，∴．例4．已知，比較，的大小。解：∵，∴，當，時，得，∴，∴．當，時，得，∴，∴．當，時，得，，∴，，∴．綜上所述，，的大小關系為或或．例5．求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，則，∵，∴，即函數值域為．（2）令，則，∴，即函數值域為．（3）令，當時，，即值域為，當時，，即值域為．例6．判斷函