信號分析與處理本課程介紹信號分析與處理的基本理論與應用技術課程概述課程目標掌握信號分析基本理論學習內容連續與離散信號處理技術考核方式第一章：緒論信號基礎概念了解信號的本質與分類系統基本特性線性系統與非線性系統分析處理技術時域、頻域與復頻域方法信號的定義與分類確定性信號與隨機信號可預測性與不確定性能量信號與功率信號有限能量或有限平均功率連續時間信號與離散時間信號定義域的連續性或離散性信號分析與處理系統簡介信號獲取傳感器采集各類物理信號信號處理濾波、變換、特征提取信號分析時域、頻域、統計特性研究信息提取獲取有用信息進行決策信號分析與處理的目的和內容噪聲抑制提高信噪比抑制外界干擾特征提取提取有用信息壓縮數據量系統辨識建立系統模型預測系統行為信號恢復修復失真信號重建原始信息信號分析與處理的發展和應用120世紀初傅里葉分析奠定理論基礎220世紀中期數字計算機出現，FFT算法發明320世紀末小波分析等新理論發展421世紀人工智能與信號處理深度融合MATLAB簡介基本操作矩陣計算腳本編程圖形繪制信號處理工具箱濾波器設計頻譜分析變換函數第二章：連續時間信號分析時域分析直接觀察信號隨時間變化頻域分析研究信號的頻率特性復頻域分析拉普拉斯變換與系統特性連續時間信號的時域分析信號描述數學表達式與圖形表示基本運算平移、反轉、縮放特性分析周期性、對稱性、能量連續信號的時域分解基本信號單位階躍、單位脈沖、指數信號分解方法線性組合與卷積表示數學過程積分與微分運算連續信號的卷積∫積分表達式∫x(τ)h(t-τ)dτ★卷積符號x(t)★h(t)LTI系統特性線性時不變系統的輸入輸出關系周期信號的頻率分解基波頻率最低的正弦分量諧波基波頻率整數倍的分量合成基波與諧波的線性組合周期信號的頻域分析傅里葉級數形式數學表達式特點三角形式a?+Σ(a?cos(nω?t)+b?sin(nω?t))直觀理解相位和幅度指數形式Σc?e^(jnω?t)數學處理更為簡便復數形式Re{Σc?e^(jnω?t)}適合復數域分析傅里葉級數的性質線性性質線性組合的傅里葉級數等于各部分傅里葉級數的線性組合時移性質時域平移導致相位變化頻譜卷積性質時域相乘對應頻域卷積對稱性質偶信號的傅里葉級數僅含余弦項非周期信號的頻譜周期信號傅里葉級數，離散頻譜周期趨于無窮基頻趨于零，譜線間隔趨于零非周期信號傅里葉變換，連續頻譜傅里葉變換的性質線性性質線性組合的變換等于各部分變換的線性組合時移性質時域平移對應頻域相位變化頻移性質頻域平移對應時域調制尺度變換時域壓縮對應頻域擴展卷積性質時域卷積等于頻域相乘常用信號的傅里葉變換信號傅里葉變換矩形脈沖Sa(ωT/2)函數高斯脈沖高斯函數指數衰減洛倫茲函數連續時間信號的復頻域分析拉普拉斯變換X(s)=∫x(t)e^(-st)dts=σ+jω為復變量傅里葉變換的擴展s=jω時即為傅里葉變換分析不滿足傅里葉變換條件的信號拉普拉斯變換的性質線性性質線性組合的變換等于各部分變換的線性組合時移性質時域延遲對應s域的指數因子s域平移s域平移對應時域指數調制時域微分時域微分對應s域乘以s時域積分時域積分對應s域除以s拉普拉斯變換的應用電路分析將微分方程轉換為代數方程求解控制系統傳遞函數與穩定性分析暫態響應通過極點位置分析系統響應特性連續時間信號的相關分析自相關R??(τ)=∫x(t)x(t+τ)dt衡量信號自身的相似性功率譜密度的傅里葉變換互相關R??(τ)=∫x(t)y(t+τ)dt衡量兩個信號的相似性信號檢測與時延估計第三章：離散時間信號分析采樣與量化連續信號轉離散信號序列表示用數字序列描述信號變換方法Z變換和離散傅里葉變換數字處理計算機實現的信號處理技術離散時間信號的時域描述序列表示x[n]表示在n時刻的采樣值單位脈沖序列δ[n]，在n=0時為1，其他為0單位階躍序列u[n]，在n≥0時為1，其他為0離散時間信號的基本運算移位x[n-k]表示序列延遲k個單位反折x[-n]表示序列關于縱軸反轉相乘x[n]·y[n]表示對應點相乘累加求序列從負無窮到n的和離散時間信號的卷積和Σ求和表達式y[n]=Σx[k]h[n-k]LTI系統特性線性時不變離散系統的輸入輸出關系★卷積符號y[n]=x[n]★h[n]離散時間信號的頻域分析離散時間傅里葉變換(DTFT)X(e^jω)=Σx[n]e^(-jωn)周期為2π的連續函數將離散序列映射到連續頻譜頻率范圍：-π到πDTFT的性質線性性質線性組合的變換等于各部分變換的線性組合1時移性質時域平移對應頻域相位變化2卷積性質時域卷積等于頻域相乘3調制性質時域調制對應頻域平移離散時間信號的Z變換定義X(z)=Σx[n]z^(-n)收斂域使級數絕對收斂的z值區域與DTFT關系當|z|=1時，Z變換即為DTFTZ變換的性質線性性質線性組合的變換等于各部分變換的線性組合時移性質時域延遲對應z域乘以z^(-k)時域卷積時域卷積對應z域相乘微分性質時域乘以n對應z域求導Z變換的應用差分方程求解將時域差分方程轉換為z域代數方程求解系統響應分析系統穩定性系統函數分析利用極點零點分布分析系統特性穩定性分析頻率響應預測濾波器設計離散時間信號的相關分析自相關r_xx[m]=Σx[n]x[n+m]互相關r_xy[m]=Σx[n]y[n+m]應用模式識別、信號檢測第四章：離散傅里葉變換和快速傅里葉變換DTFT采樣連續頻譜離散化DFT應用計算機實現的頻譜分析FFT算法高效計算DFT的方法離散傅里葉變換（DFT）定義X[k]=Σx[n]e^(-j2πkn/N)逆變換x[n]=(1/N)ΣX[k]e^(j2πkn/N)周期性X[k+N]=X[k]數字實現可在計算機上有效實現DFT與DTFT的關系DTFTX(e^jω)：連續頻率函數頻域采樣ω=2πk/N處采樣DFTX[k]：離散頻率序列圓周卷積特性表達式定義y[n]=Σx[k]h[(n-k)modN]DFT特性DFT{x?h}=X[k]·H[k]周期性結果序列以N為周期線性卷積的快速計算序列補零將序列長度擴展到N?+N?-1DFT變換計算擴展序列的DFT頻域相乘X[k]·H[k]后求IDFT快速傅里葉變換（FFT）O(N2)DFT計算復雜度直接計算需要N2次復數乘法O(NlogN)FFT計算復雜度利用周期性和對稱性降低計算量10?×效率提升當N很大時性能提升顯著基-2FFT算法分治策略將N點DFT分解為2個N/2點DFT蝶形運算基本計算單元優化位倒序重排輸入序列重新排序原位計算節省存儲空間的算法實現FFT的應用實例第五章：模擬濾波器和數字濾波器模擬濾波器基于物理電路實現數字濾波器基于算法和數字處理性能對比精度、穩定性和靈活性設計方法指標確定與系數計算模擬濾波器簡介理想濾波器通帶完全通過，阻帶完全衰減物理上不可實現實際濾波器存在過渡帶，通帶波紋有限斜率的頻率響應常見類型：巴特沃斯、切比雪夫模擬濾波器的設計方法濾波器類型特點應用場景巴特沃斯最大平坦通帶需要平滑響應切比雪夫更陡峭的過渡帶頻率選擇性要求高橢圓最陡峭的過渡帶極高選擇性要求貝塞爾線性相位響應波形保真度要求高數字濾波器概述FIR濾波器有限脈沖響應天然線性相位無反饋，始終穩定IIR濾波器無限脈沖響應有反饋，可能不穩定較低的計算復雜度2FIR濾波器設計窗函數法基本步驟：確定理想頻率響應逆變換得到理想脈沖響應截斷并加窗獲得有限長度系數常用窗函數：矩形窗：最窄主瓣，最大旁瓣漢寧窗：較好綜合性能布萊克曼窗：最小旁瓣，最寬主瓣FIR濾波器設計頻率采樣法基本步驟：在均勻頻點上指定頻率響應通過IDFT計算脈沖響應調整系數減小誤差優化設計法最小二乘法切比雪夫逼近復雜但更精確的方法IIR濾波器設計模擬原型濾波器選擇合適的模擬濾波器變換方法將s域轉換到z域數字濾波器獲得差分方程系數IIR濾波器設計雙線性變換s=2(1-z?1)/(1+z?1)2頻率扭曲ω'=2tan(ω/2)3預畸變補償頻率響應失真數字濾波器的MATLAB實現fir1()FIR設計函數窗函數法設計FIR濾波器butter()IIR設計函數設計巴特沃斯IIR濾波器filter()執行濾波對信號應用設計的濾波器第六章：隨機信號分析與處理隨機過程不確定性信號的數學模型統計特性概率分布與統計量功率譜分析隨機信號的頻域特性最優濾波噪聲環境中的信號處理隨機信號的基本概念隨機變量具有概率分布的變量描述單一時刻的不確定性隨機過程隨時間變化的隨機變量族描述整個時間軸上的不確定性樣本函數隨機過程的單次實現具體觀測到的信號概率模型高斯過程、泊松過程馬爾可夫過程隨機信號的統計特性時間均值標準差一階統計特性均值，方差，概率分布二階統計特性自相關函數，互相關函數平穩性統計特性不隨時間變化隨機信號的相關分析自相關函數R_xx(τ)=E[x(t)x(t+τ)]隨機信號不同時刻的相似度衡量信號的記憶性互相關函數R_xy(τ)=E[x(t)y(t+τ)]兩個隨機信號的相似度用于信號檢測和時延估計隨機信號的功率譜分析F{}維納-辛欽定理功率譜密度是自相關函數的傅里葉變換P(f)物理意義單位頻帶內的平均功率3估計方法周期圖法、自回歸模型、多窗口法隨機信號通過線性系統的分析輸入信號隨機信號x(t)，功率譜P_x(f)線性系統傳遞函數H(f)輸出信號隨機信號y(t)，功率譜P_y(f)=|H(f)|2P_x(f)非平穩隨機信號的分析方法時頻分析短時傅里葉變換，信號隨時間的頻譜變化小波分析多分辨率分析，適應不同尺度特征自適應濾波參數隨信號特性變化的濾波器實際應用案例分析應用領域處理技術實現效果通信系統自適應均衡抑制信道失真生物醫學小波去噪提取心電特征雷達探測匹配濾波改善目標檢測語音處理譜減法降低環境噪聲課程總結實際應用能力解決工程問題系統設計濾波器與信號處理系統設計分析方法時域、