多反思總結(jié)多交流的學(xué)習(xí)才高效！2/22/22025中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-正方形的性質(zhì)與判定-專項(xiàng)訓(xùn)練1正方形的性質(zhì)（1）正方形是最特殊的平行四邊形，其性質(zhì)具有菱形和矩形的性質(zhì).四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角是直角，對(duì)角線相等且互相垂直.（2）推廣：下圖中有很多等腰直角三角形，如?ABD，?ABC，?AOB，?AOD等.2正方形的判定正方形的判定思路：具有矩形性質(zhì)的菱形或具有菱形的矩形.（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.【題型1】利用正方形的性質(zhì)求解【典題1】（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE:PF=1:2時(shí)，則PC=（

）

A．3 B．2 C．5 D．5【鞏固練習(xí)】1.（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于點(diǎn)M．若BE=DF=1，則DM的長(zhǎng)度為（）A．2 B．5 C．6 D．122.（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P．若PM=PC，則AM的長(zhǎng)為（）

A．33?1 B．333?2 3.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，則△BEF的周長(zhǎng)是（

）

A．22 B．2+2 C．4?22【題型2】添加一條件使四邊形是正方形【典題1】（2024·陜西榆林·三模）已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件中，能夠判定菱形ABCD為正方形的是（

）A．AC⊥BD B．∠OAB=∠OBAC．AB=BC D．AB=AC【鞏固練習(xí)】1.（2024·河北滄州·三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AC⊥BD，要使得四邊形ABCD是正方形，則需要添加條件（

）A．AB=BC B．∠ABC=90°C．∠ADB=30° D．AC=AB2.（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥BC，E、F、G、H分別是AB、BD、

A．BD=CD B．BD⊥CD C．AD=BC D．AB=AC3.（2024·河北邯鄲·三模）在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是近AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）連接EO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，連接AF，甲：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E，四邊形AECF始終是平行四邊形；乙：若∠ABC<90°，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是矩形；丙：若AB>AD，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是菱形；丁：若AB>AD，∠BAC=45°，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是正方形．以上所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（

）A．甲、丙、丁正確，乙錯(cuò)誤 B．甲、乙、丙、丁都正確C．甲、乙、丙正確，丁錯(cuò)誤 D．甲、乙、丙錯(cuò)誤，丁正確【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求角度【典題1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=90°，∠C=150°，則∠D的度數(shù)是°．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定2.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為：∠BAC∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．【題型4】利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【典題1】（2024·貴州遵義·三模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)至D，使得BO=DO，連接AD和CD．①以點(diǎn)D為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BD于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)C、E為圓心，大12CE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線DP交BC于點(diǎn)F，接EF．若AB=22+2，則A．2 B．2+1 C．42?4【鞏固練習(xí)】1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若AC＝BD＝2，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．62 D．2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE⊥BC,PF⊥CD,E,F分別為垂足，連接AP,EF，若DPPB=23,FC=6A．213 B．52 C．2【題型5】利用正方形的性質(zhì)與判定求面積【典題1】（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn)為D，∠B=90°，E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，交BC于點(diǎn)F．若CF=2AE，四邊形BEDF的面積是9，則BE的長(zhǎng)為【鞏固練習(xí)】1.（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，八邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135°，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為90°，其邊長(zhǎng)如圖中數(shù)據(jù)所示．設(shè)陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，則S1A．23 B．32 C．5?12.（山東泰安·自主招生）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC．若AC=6，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．12 B．14 C．16 D．18【題型6】與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題【典題1】（2024·福建三明·二模）如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合）．將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．下列結(jié)論：①BP平分∠APG；②BP=EF；③PH=AP+HC；④MH=MF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【鞏固練習(xí)】1.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段DN長(zhǎng)是（

A．3cm B．4cm C．5cm2.（多選）（2022·山東濰坊·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點(diǎn)M．延長(zhǎng)EG交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CG，ME，取ME的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接NO，GO．則以下結(jié)論正確的有（

）A．∠AND=90° B．AH=EHC．CG∥AE D．S【題型7】正方形與函數(shù)的綜合問(wèn)題【典題1】如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，反比例函數(shù)y＝1x的圖象經(jīng)過(guò)P，D兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是【鞏固練習(xí)】1.（2024·山東濟(jì)寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y=1x與y=?1x的圖象和正方形ABCD，原點(diǎn)O與對(duì)角線AC，2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,2，以線段AB為一邊在第一象限內(nèi)作平行四邊形ABCD，其頂點(diǎn)D3,1在反比例函數(shù)y=(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)設(shè)將正方形ABCD沿x軸向左平移mm>0個(gè)單位后，得到正方形A'B'C'D'，點(diǎn)【題型8】與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【典題1】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．則∠ACG=，當(dāng)E點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是．

【鞏固練習(xí)】1.（2024·江蘇宿遷·三模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，E為BD上一動(dòng)點(diǎn)，以EC為斜邊作直角△CEF，且∠CEF=30°，當(dāng)點(diǎn)E從B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程為（

）A．42 B．22 C．2 2.（2024·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10．點(diǎn)E在邊AD上，且DE=8，M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN．P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．PM+PN=10．則線段PC的長(zhǎng)為．3.（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，△AEF是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則AF+DF的最小值為．【題型9】與正方形有關(guān)的閱讀材料題【典題1】（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開(kāi)，折痕為GK．試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)】1.（2024·山東臨沂·二模）綜合與實(shí)踐【提出問(wèn)題】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分線于點(diǎn)F．求證：AE=EF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，小明的證明思路如下：在BA上截取BP=BE，連接EP．則易得AP=EC，∠APE=∠ECF=135°，______．∴△APE≌△ECF．∴AE=EF．補(bǔ)全小明的證明思路，橫線處應(yīng)填______．【深入探究】（2）如圖2，在（1）基礎(chǔ)上，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AE交直線CD于點(diǎn)G．以CG為斜邊向右作等腰直角三角形HCG，點(diǎn)H在射線CF上．求證：【拓展應(yīng)用】（3）過(guò)點(diǎn)F作FG∥AE交直線CD于點(diǎn)G．以CG為斜邊向右作等腰直角三角形HCG，點(diǎn)H在射線CF上．當(dāng)AB=5，CE=2時(shí)，請(qǐng)求出線段2.（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,2，過(guò)點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B、C．(1)四邊形OBAC的形狀是______；(2)一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接DE，設(shè)OD=a，OE=b．①如圖（1），當(dāng)∠DAE被對(duì)角線OA平分時(shí)，求a、b的值；②利用圖（2）探究：當(dāng)a、b為何值時(shí)，△ADE是直角三角形？試寫(xiě)出你的求解過(guò)程；(3)利用圖（3）探究：若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，則以O(shè)、A、M、N為頂點(diǎn)的菱形有______個(gè)．參考答案與詳細(xì)解析1正方形的性質(zhì)（1）正方形是最特殊的平行四邊形，其性質(zhì)具有菱形和矩形的性質(zhì).四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角是直角，對(duì)角線相等且互相垂直.（2）推廣：下圖中有很多等腰直角三角形，如?ABD，?ABC，?AOB，?AOD等.2正方形的判定正方形的判定思路：具有矩形性質(zhì)的菱形或具有菱形的矩形.（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（3）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.【題型1】利用正方形的性質(zhì)求解【典題1】（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PC，當(dāng)PE:PF=1:2時(shí)，則PC=（

）

A．3 B．2 C．5 D．5【答案】C【分析】先證四邊形AEPF是矩形，可得PE=AF，∠PFD=90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得PF=DF，可求AF，DF的長(zhǎng)，由勾股定理可求AP的長(zhǎng)，由“SAS”可證△ABP≌△CBP，可得AP=PC=5【詳解】解：如圖：

連接AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=3，∠ADB=45°，∵PF⊥AD，PE⊥AB，∠BAD=90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴PE=AF，∠PFD=90°，∴△PFD是等腰直角三角形，∴PF=DF，∵PE:PF=1:2，∴AF:DF=1:2，∴AF=1，DF=2=PF，∴AP=A∵AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，BP=BP，∴△ABP≌△CBP(SAS∴AP=PC=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1.（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于點(diǎn)M．若BE=DF=1，則DM的長(zhǎng)度為（）A．2 B．5 C．6 D．12【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB=AD=CD=BC=4，再證明△ABE≌△ADFSAS得到AE=AF，進(jìn)一步證明△AEM≌△AFMSAS得到EM=FM，設(shè)在Rt△CEM中，由勾股定理得x+1【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，又∵BE=DF=1，∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF，∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，又∵AM=AM，∴△AEM≌△AFMSAS∴EM=FM，設(shè)DM=x，則EM=FM=DF+DM=x+1，在Rt△CEM中，由勾股定理得E∴x+12解得x=12∴DM=12故選：D．2.（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)P．若PM=PC，則AM的長(zhǎng)為（）

A．33?1 B．333?2 【答案】C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出△ADM?△CDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠DAM=∠DCM，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CMP=∠DCM，從而可得∠DAM=30°，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°，在△ADM和△CDM中，DM=DM∠ADM=∠CDM=45°∴△ADM?△CDMSAS∴∠DAM=∠DCM，∵PM=PC，∴∠CMP=∠DCM，∴∠APD=∠CMP+∠DCM=2∠DCM=2∠DAM，又∵∠APD+∠DAM=180°?∠ADC=90°，∴∠DAM=30°，設(shè)PD=x，則AP=2PD=2x，PM=PC=CD?PD=6?x，∴AD=A解得x=23∴PM=6?x=6?23，AP=2x=4∴AM=AP?PM=43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O．E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接DE,EF．若△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，則△BEF的周長(zhǎng)是（

）

A．22 B．2+2 C．4?22【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出BD=22，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°則BF=BD?DF=22?2，再求出EF=BF=2【詳解】解：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BC=DC=2,∠BCD=90°,DO=12∴BD=B∵△DEF與△DEC關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，∴BF=BD?DF=22?2，∴∠FBE=∠FEB=45°，∴EF=BF=22∴BE=2∴△BEF的周長(zhǎng)是BE+EF+BF=4?22故選：A．【題型2】添加一條件使四邊形是正方形【典題1】（2024·陜西榆林·三模）已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，下列條件中，能夠判定菱形ABCD為正方形的是（

）A．AC⊥BD B．∠OAB=∠OBAC．AB=BC D．AB=AC【答案】B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)和正方形的判定，菱形的對(duì)角線互相垂直，四條邊相等，正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC，AB=AC，故A、C、D選項(xiàng)均不能判定菱形ABCD為正方形，不符合題意，如圖，在菱形ABCD中，∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∵OA=OC，OB=OD，∴AC=BD，∴菱形ABCD為正方形，故選：B．【鞏固練習(xí)】1.（2024·河北滄州·三模）已知四邊形ABCD是平行四邊形，若AC⊥BD，要使得四邊形ABCD是正方形，則需要添加條件（

）A．AB=BC B．∠ABC=90°C．∠ADB=30° D．AC=AB【答案】B【分析】本題考查了添一個(gè)條件使四邊形是正方形，根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”，可得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)“有一個(gè)角是直角的菱形是正方形”，得出答案即可，熟練掌握正方形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，∴再添加條件∠ABC=90°，即可判定四邊形ABCD是正方形，故選：B．2.（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥BC，E、F、G、H分別是AB、BD、

A．BD=CD B．BD⊥CD C．AD=BC D．AB=AC【答案】C【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證EF=GH，EH=FG，推出四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)AD⊥BC證明EF⊥FG，可得四邊形EFGH是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可得選項(xiàng)C為正確答案．【詳解】解：∵E、F、G、H分別是AB、∴EF是△ABD的中位線，CH是△ADC的中位線，F(xiàn)G是△DBC的中位線，EH是△ABC的中位線，∴EF=12AD，EF∥AD，GH=12AD，GH∥∴EF=GH，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EF∥AD，F(xiàn)G∥∴EF⊥FG，∴四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AD=BC時(shí)，EF=1可得四邊形EFGH是正方形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定方法，以及中位線的性質(zhì)，即平行于三角形的第三條邊，且等于第三邊長(zhǎng)度的一半．3.（2024·河北邯鄲·三模）在□ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是近AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）連接EO并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)F，連接AF，甲：對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E，四邊形AECF始終是平行四邊形；乙：若∠ABC<90°，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是矩形；丙：若AB>AD，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是菱形；丁：若AB>AD，∠BAC=45°，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是正方形．以上所有正確說(shuō)法的序號(hào)是（

）A．甲、丙、丁正確，乙錯(cuò)誤 B．甲、乙、丙、丁都正確C．甲、乙、丙正確，丁錯(cuò)誤 D．甲、乙、丙錯(cuò)誤，丁正確【答案】A【分析】本題主要考查平行四邊形以及幾種特殊平行四邊形的判定．熟悉平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．由于EF經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD的中心O，故四邊形AECF一定也是平行四邊形，這可以通過(guò)證明BE與CF相等來(lái)說(shuō)明．然后只要讓平行四邊形AECF再滿足適當(dāng)?shù)奶厥鈼l件就可以變成對(duì)應(yīng)的特殊平行四邊形．【詳解】解：如圖1，∵四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴AB∥∴∠OAE=∠OCF，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF，又：∵AE∥∴四邊形AECF為平行四邊形，即E在AB上任意位置(不與A、B重合)時(shí)，四邊形AECF形為平行四邊形，故選項(xiàng)甲正確；如圖2，如圖3，當(dāng)CE⊥AB時(shí)，點(diǎn)E不在邊AB上，故選項(xiàng)乙錯(cuò)誤．當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF為菱形，故選項(xiàng)丙正確．由丙知，若AB>AD，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是菱形，∵∠BAC=45°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠DAB=90°，∴若AB>AD,∠BAC=45°，則至少存在一個(gè)點(diǎn)E，使得四邊形AECF是正方形，故選項(xiàng)丁正確．故選：A．【題型3】利用正方形的性質(zhì)與判定求角度【典題1】如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=90°，∠C=150°，則∠D的度數(shù)是°．【答案】45【分析】如圖，作CE⊥BC，AE⊥CE于E，連接DE，證明四邊形ABCE是正方形，則∠BCE=90°，CE=AB=AE=CD，證明△CDE是等邊三角形，則DE=AE，∠CED=∠CDE=60°，∠EDA=∠EAD=15°，根據(jù)【詳解】解：如圖，作CE⊥BC，AE⊥CE于E，連接DE，∴四邊形ABCE是矩形，∵AB=BC，∴四邊形ABCE是正方形，∴∠BCE=90°，CE=AB=AE=CD，∴∠ECD=∠BCD?∠BCE=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴DE=AE，∴∠EDA=∠EAD=180°?∴∠CDA=∠CDE?∠EDA=45°，故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1.如圖，在正方形ABCD中，以對(duì)角線BD為邊作菱形BDFE，連接BF，則∠AFB＝（）A．22.5° B．25° C．30° D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ADB=45°，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BD=DF，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DBF=∠DFB，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：在正方形ABCD中，∠ADB=12∠ADC=1在菱形BDFE中，BD=DF，所以，∠DBF=∠AFB，在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，解得∠AFB=22.5°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為：∠BAC∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】=【分析】如圖，連接CE、CD，利用勾股定理求得AE、EC、CD、DA、AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接CE、CD，AE=1同理求得EC=CD=DA=12+2∴AE=EC=CD=DA，∴四邊形AECD是菱形，∵(5∴AE2∴∠AEC=90°，∴菱形AECD是正方形，∴∠BAC=∠DAC，故答案為：=．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4】利用正方形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)【典題1】（2024·貴州遵義·三模）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，O是AC的中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)至D，使得BO=DO，連接AD和CD．①以點(diǎn)D為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BD于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)C、E為圓心，大12CE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線DP交BC于點(diǎn)F，接EF．若AB=22+2，則A．2 B．2+1 C．42?4【答案】A【分析】本題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形ABCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形ABCD是正方形，求得AB=BC=CD=22+2，得到BD=2根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DEF=∠DCB=90°,EF=CF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵O是AC的中點(diǎn)，∴AO=CO，∵DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=22∴BD=2∵DE=DC=22∴BE=BD?DE=2，由作圖知，DF平分∠CDB，∴∠CDF=∠EDF，∵DE=DC,DF=DF，∴△DEF≌∴∠DEF=∠DCB=90°,EF=CF，∴∠BEF=90°，∵∠EBF=45°，∴BE=EF，∴CF=EF=2，故選：A．【鞏固練習(xí)】1.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，若AC＝BD＝2，則EF的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．62 D．【答案】D【分析】分別取AD,BC的中點(diǎn)為G,H，連接EG,HE,HF,FG，利用中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)可以推出EG//__12【詳解】解：分別取AD,BC的中點(diǎn)為G,H，連接EG,HE,HF,FG，∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，∴EG//又∵AC⊥BD,AC=BD=2，∴HE=EG=GF=HF=1,HF⊥FG，∴四邊形EGFH是正方形，∴EF=2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，利用題意證明出四邊形EGFH是正方形．2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，PE⊥BC,PF⊥CD,E,F分別為垂足，連接AP,EF，若DPPB=23,FC=6A．213 B．52 C．2【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握矩形和正方形的判定方法成為解題的關(guān)鍵.如圖：延長(zhǎng)EP交AD于G，則PG⊥AD,由正方形的性質(zhì)可得∠BAD=∠ADC=∠C=∠ABC=90°,AB=BC=CD=AD,∠CBD=∠BDC=∠ADB=45°，易證四邊形PFCE是矩形、四邊形ABEG是矩形、四邊形DFPG是矩形，則PE=CF=6、PF=CE；再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得BE=PE=6,DF=PF、PF=DF=4,即四邊形DFPG是正方形，進(jìn)而得到AG=BE=6,PG=PF=4，最后運(yùn)用勾股定理即可解答.【詳解】解：如圖：延長(zhǎng)EP交AD于G，則PG⊥AD,∵正方形ABCD中，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，∴∠BAD=∠ADC=∠C=∠ABC=90°,AB=BC=CD=AD,∠CBD=∠BDC=∠ADB=45°,∵PE⊥BC,PF⊥CD,E,F分別為垂足，∴四邊形PFCE是矩形，四邊形ABEG是矩形，四邊形DFPG是矩形，∴PE=CF=6,PF=CE,∵PE⊥BC,PF⊥CD，∠CBD=∠BDC=45°，∴BE=PE=6,DF=PF,即四邊形DFPG是正方形，∴BP=B∵DPPB∴PD=2∵PD∴422=P∵四邊形ABEG是矩形，四邊形DFPG是正方形，∴AG=BE=6,PG=PF=4,∴AP=A故選A.【題型5】利用正方形的性質(zhì)與判定求面積【典題1】（2024·重慶江津·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰Rt△ABC的斜邊AC的中點(diǎn)為D，∠B=90°，E是邊AB上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE，交BC于點(diǎn)F．若CF=2AE，四邊形BEDF的面積是9，則BE的長(zhǎng)為【答案】4【分析】過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，作DH⊥BC于點(diǎn)H，連接BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易證△BCD,△ABD都是等腰直角三角形，得到DG=DH=BH=BG，進(jìn)而得到四邊形BHDG是正方形，再證明△EDG≌△FDH，得到EG=FH,S△EDG=S△FDH，由四邊形BEDF的面積是9，推出正方形BHDG【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，作DH⊥BC于點(diǎn)H，連接BD，∵等腰Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD=AD=CD,BD⊥AC,∠A=∠C=45°，∴∠ABD=∠CBD=45°,∠ADB=∠CDB=90°，∴△BCD,△ABD都是等腰直角三角形，∵DG⊥AB，DH⊥BC，同理得：△AGD,△DHC都是等腰直角三角形，∴AG=BG=DG=1∵AB=BC，∴DG=DH=BH=BG，∵∠ABC=90°∴四邊形BHDG是正方形，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠EDG+∠GDF=∠GDF+∠FDH=90°，∴∠EDG=∠FDH，∵∠EGD=∠FHD=90°,DG=DH，∴△EDG≌∴EG=FH,S∵四邊形BEDF的面積是9，即S四邊形∴S四邊形∴正方形BHDG的面積為9，∴BG=AG=BH=CH=9∵CF=2AE，∴CH+FH=AG+EG=AE+EG+EG=2AE，即2EG=AE，∴AG=3EG=3∴EG=1，∴BE=BG+EG=4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形的特征等知識(shí)，正確作出輔助線，構(gòu)造三角形全等時(shí)解題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1.（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，八邊形的每個(gè)內(nèi)角都為135°，它是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，最小旋轉(zhuǎn)角為90°，其邊長(zhǎng)如圖中數(shù)據(jù)所示．設(shè)陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，則S1A．23 B．32 C．5?1【答案】A【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，圖形的面積等知識(shí)，作輔助線利用圖形的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心O向兩邊作垂線，垂足分別為點(diǎn)M,N，延長(zhǎng)NB,MA交于F，則可得四邊形ONFM為正方形；易得AF=BF，∠F=90°，則可求得FB的長(zhǎng)，求得正方形ONFM的面積，正方形PSOR的面積，△FBA的面積，進(jìn)一步可求得S四邊形BNRP+S四邊形【詳解】解：如圖，過(guò)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心O向兩邊作垂線，垂足分別為點(diǎn)M,N，延長(zhǎng)NB,MA交于F點(diǎn)，則四邊形ONFM為正方形，∵∠NBA=∠BAM=135°，∴∠FBA=∠FAB=45°，∴∠F=90°，AF=BF，∴FB=2，BN=2∴S正方形ONFM=(2+故S△ABP∴SS2∴S2.（山東泰安·自主招生）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，連接AC．若AC=6，則四邊形ABCD的面積為（

）

A．12 B．14 C．16 D．18【答案】D【分析】作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則可證明四邊形AMCN為矩形，由矩形的性質(zhì)進(jìn)一步得出∠BAM=∠DAN，利用AAS證明△ABM≌△ADN，由全等三角形的性質(zhì)可得出AM=AN，△ABM與△ADN的面積相等，則可得出四邊形AMCN為正方形，則可得出四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積，最后利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；則∠ANC=∠AMC=90°，又∵∠BCD=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，∴∠BAM=∠DAN；在△ABM與△ADN中，∵∠BAM=∠DAN，∠AMB=∠AND，AB=AD，∴△ABM≌∴AM=AN，△ABM與△ADN的面積相等；∴四邊形AMCN為正方形，∴四邊形ABCD的面積=正方形AMCN的面積；∵AC2=A∴2AM2=36即四邊形ABCD的面積為18．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線以及得出四邊形AMCN為正方形是解題的關(guān)鍵．【題型6】與正方形有關(guān)的折疊問(wèn)題【典題1】（2024·福建三明·二模）如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合）．將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH，BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．下列結(jié)論：①BP平分∠APG；②BP=EF；③PH=AP+HC；④MH=MF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】①利用正方形的性質(zhì)、翻折不變性即可解決問(wèn)題；②構(gòu)造全等三角形即可解決問(wèn)題；③如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．證明△ABP≌△QBP(AAS)，以及△BCH≌△BQH即可判斷；【詳解】解：根據(jù)翻折不變性可知：PE=BE；∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH?∠EPB=∠EBC?∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH，即PB平分∠APG，故①正確；如圖1中，作FK⊥AB于K．設(shè)EF交BP于O．

∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，∴四邊形BCFK是矩形，∴KF=BC=AB，∵EF⊥PB，∴∠BOE=90°，∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，∴∠ABP=∠EFK，∵∠A=∠EKF=90°，∴△ABP≌△KFE(ASA∴EF=BP，故②正確，如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，在△ABP和△QBP中，∠APB=∠BPH，∠A=∠BQP，BP=BP，∴△ABP≌△QBP(AAS∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH(∴QH=HC，∴PH=PQ+QH=AP+HC，故③正確；當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，顯然MH>MF，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．【鞏固練習(xí)】1.如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，則線段DN長(zhǎng)是（

A．3cm B．4cm C．5cm【答案】C【分析】本題考查正方形的折疊問(wèn)題，由折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等可得DN=NE，設(shè)DN=NE=xcm，則CN=8?xcm【詳解】解：∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為8cm，E為BC∴CD=8cm，EC=4cm，由折疊知DN=NE，設(shè)DN=NE=xcm，則CN=在Rt△ECN中，由勾股定理得E∴42解得x=5，∴DN=5cm故選C．2.（多選）（2022·山東濰坊·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)N，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，AG交DF于點(diǎn)M．延長(zhǎng)EG交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CG，ME，取ME的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接NO，GO．則以下結(jié)論正確的有（

）A．∠AND=90° B．AH=EHC．CG∥AE D．S【答案】ABC【分析】證明△DAF≌△ABESAS，則∠BAE=∠ADF，得到∠ANF=180°?(∠BAE+∠AFD)=90°，即可判斷A；證明∠DAE=∠AEG即可判斷B；證明∠AEB=∠GCE，即可判斷C；證明S四邊形MNOG=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC，∴∠ADF+∠AFD=90°，∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB的中點(diǎn),∴AF=12AB∴AF=BE，∴△DAF≌△ABESAS∴∠BAE=∠ADF，∴∠BAE+∠AFD=90°，∴∠ANF=180°?(∠BAE+∠AFD)=90°，∴∠AND=90°，故A正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，由折疊得：∠AEB=∠AEG，∴∠DAE=∠AEG，∴AH=EH，故B正確；由折疊得：∠AEB=∠AEG=1∴∠EGC=∠ECG=1∴∠AEB=∠GCE，∴AE∥CG,故C正確；∵O為ME中點(diǎn)，∴S△NMO=1∴S四邊形MNOG=1∵S△MNE+S△MGE=S△AGE∴S△MNE∵∠AND=90°=∠ANF，∴△ANF≌△ANM，∴S△MNE∴S四邊形MNOG=12故D錯(cuò)誤；故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查正方形和折疊的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定等是解題關(guān)鍵．【題型7】正方形與函數(shù)的綜合問(wèn)題【典題1】如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，反比例函數(shù)y＝1x的圖象經(jīng)過(guò)P，D兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是【答案】2【分析】根據(jù)題意可設(shè)D（m，1m），則P（2m，12m），作PH⊥AB于H【詳解】解：設(shè)D（m，1m），則P（2m，12m），作PH⊥AB于∵四邊形ABCD是正方形，∴PA＝PB，∵PH⊥AB，∴AH＝HB＝m，∴AB＝AD＝2m，∴1m＝2m∴m＝22或﹣2∴AB＝2m＝2，故答案為2．【點(diǎn)睛】此題考查正方形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于關(guān)鍵方程的構(gòu)建【鞏固練習(xí)】1.（2024·山東濟(jì)寧·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有反比例函數(shù)y=1x與y=?1x的圖象和正方形ABCD，原點(diǎn)O與對(duì)角線AC，【答案】4【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，正方形的性質(zhì)，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為正方形的面積的一半，再求出解即可．【詳解】由圖象可知反比例函數(shù)y=1x與y=?1可知圖中y軸左側(cè)正方形內(nèi)部非陰影等于右側(cè)正方形內(nèi)陰影部分的面積，所以正方形ABCD的面積=AB2解得AB=4．故答案為：4．2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為0,2，以線段AB為一邊在第一象限內(nèi)作平行四邊形ABCD，其頂點(diǎn)D3,1在反比例函數(shù)y=(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)設(shè)將正方形ABCD沿x軸向左平移mm>0個(gè)單位后，得到正方形A'B'C'D'，點(diǎn)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，如圖，則DE=1,AE=2，證明△AOB≌△DEA，可得?ABCD是菱形，再證明ABCD是正方形．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得C2,3，正方形向左平移m個(gè)單位，表示出C【詳解】（1）證明：∵A1,0∴OA=1,OB=2．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，如圖，則DE=1,AE=2，∴OA=DE,OB=AE．又∵∠AOB=∠DEA=90°，∴△AOB≌△DEASAS∴AB=AD,∠DAE=∠ABO，∴?ABCD是菱形．∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OAB+∠DAE=90°，∴∠BAD=90°，∴菱形ABCD是正方形．（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，如圖．由四邊形ABCD是正方形易得△ABO≌△BCF，∴CF=OB,BF=OA．∵OA=1,OB=2，∴CF=2,BF=1，∴OF=OB+BF=3，∴C∵正方形向左平移m個(gè)單位，∴點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'∵點(diǎn)D3,1在反比例函數(shù)y=∴k=3×1=3，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=3由題意點(diǎn)C'在反比例函數(shù)y=∴32?m解得m=1．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定和性質(zhì)，求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的判定和性質(zhì)以及用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．【題型8】與正方形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【典題1】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·二模）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．則∠ACG=，當(dāng)E點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是．

【答案】90°/90度10【分析】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，可證四邊形ENCM是正方形，再證△DEN≌△FEMASA，通過(guò)證明△ADE≌△CDGSAS，推出∠DAE=∠DCG=45°，可求出∠ACG=90°；然后根據(jù)點(diǎn)E的位置判斷出點(diǎn)F的位置，進(jìn)而求解出點(diǎn)【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，∴NE=NC，∴四邊形ENCM是正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠NEF+∠FEM，∴∠DEN=∠FEM，又∵EN=EM，∠DNE=∠FME，∴△DEN≌△FEMASA∴DE=EF，∴矩形DEFG是正方形，∴DE=DG，∠CDG+∠EDC=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDGSAS∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°；當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)，∵四邊形DEFG是正方形，∴此時(shí)點(diǎn)F和點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，∴CF=EF=ED=DC=5∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是BC+CF=5+5=10．故答案為：90°，10【鞏固練習(xí)】1.（2024·江蘇宿遷·三模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，E為BD上一動(dòng)點(diǎn)，以EC為斜邊作直角△CEF，且∠CEF=30°，當(dāng)點(diǎn)E從B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路程為（

）A．42 B．22 C．2 【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾股定理．根據(jù)題意確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．由Rt△CEF，∠CEF=30°，可得CF=12CE，即F到C點(diǎn)的距離為CE長(zhǎng)度的一半，如圖，記BC、CD的中點(diǎn)為G、H，連接GH，由點(diǎn)E從B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，可知F在【詳解】解：∵Rt△CEF，∠CEF=30°∴CF=12CE，即F到C如圖，記BC、CD的中點(diǎn)為G、H，連接GH，∵點(diǎn)E從B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，∴F在GH上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路程為GH，由勾股定理得，GH=C故選：B．2.（2024·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10．點(diǎn)E在邊AD上，且DE=8，M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM=BN．P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．PM+PN=10．則線段PC的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．由題意知△CDE是等腰直角三角形，作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)N'，則N'在直線CD上，連接PN'，PN=PN'，PM+PN=10．即PM+PN'=10，BC=10，BM=BN，所以此時(shí)M、P、N'三點(diǎn)共線且【詳解】解：∵DE=AB=CD=8，∴△CDE是等腰直角三角形，作點(diǎn)N關(guān)于EC的對(duì)稱點(diǎn)N'，則N'在直線CD上，連接

∵PM+PN=10．∴PM+PN'=10=BC此時(shí)M、P、N'三點(diǎn)共線且M∴∠BMP=∠BNP=∠PN又有∠B=90°,則四邊形BNPM為矩形，∵BM=BN，∴四邊形BNPM為正方形，∴PM=PN=PN∴點(diǎn)P在MN∴PM=PN∴PC=52故答案為：523.（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，△AEF是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則AF+DF的最小值為．【答案】4【分析】在AB上截取BG=BE，證明△AGE≌△ECF，推出∠DCF=45°，得到點(diǎn)F在正方形ABCD的一個(gè)外角的角平分線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于角平分線的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接AD'，得到AF+DF=AF+【詳解】解：在AB上截取BG=BE，連接CF,D∵正方形ABCD，∴AB=BC,∠B=∠BCD=90°，∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∵△AEF是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴∠AEF=90°,AE=EF，∴∠GAE+∠BEA=∠BEA+∠CEF=90°∴∠EAG=∠FEC，∴△AGE≌△ECFSAS∴∠ECF=∠AGE=135°，∴∠DCF=∠ECF?∠ECD=45°，∴點(diǎn)F在射線CF上移動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于角平分線的對(duì)稱點(diǎn)D'，則：CF垂直平分D∴CD=CD'，∴∠DCD∴∠BCD+∠DCD∴B,C,D∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∴AB=BC=CD=CD∴BD在Rt△ABD'∵AF+DF=AF+D∴AF+DF的最小值為45故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用軸對(duì)稱解決線段和最小的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．【題型9】與正方形有關(guān)的閱讀材料題【典題1】（2023·江蘇·中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開(kāi)，折痕為GK．試說(shuō)明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）5?12；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）將n=1代入22n（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1，設(shè)DG=x，則AG=2?x，在Rt△AEG,（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，22n故答案為：5?1（2）如圖（2），連接EG，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1設(shè)DG=x，則AG=2?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=2，在Rt△BEC中，EC=∴EH=5在Rt△AEG,A∴2?x解得：x=∴GD∴矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為MN，再對(duì)折，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開(kāi)，折痕為CG；第三步：過(guò)點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開(kāi)，折痕為GK．矩形GDCK是2階奇妙矩形，

理由如下，連接GE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，根據(jù)折疊可得EB=1，則AE=4?1=3，

設(shè)DG=x，則AG=4?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=4，在Rt△BEC中，EC=∴EH=17在Rt△AEG,A∴4?x解得：x=∴GD當(dāng)n=2時(shí)，2∴矩形GDCK是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒GE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)EB=m，則AE=1?m，

設(shè)DG=x，則AG=1?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=1，在Rt△BEC中，EC=∴EH=1+在Rt△AEG,A∴1?x整理得，x=∴四邊形AGHE的邊長(zhǎng)為1?x+x+1+m矩形GDCK的周長(zhǎng)為2GD+DC∴四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值1【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【鞏固練習(xí)】1.（2024·山東臨沂·二模）綜合與實(shí)踐【提出問(wèn)題】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是射線B