問題：開環(huán)增益K以外的參數變化時，根軌跡如何做？正反饋系統(tǒng)的根軌跡如何做？多個參數變化時，根軌跡如何做？多回路系統(tǒng)的根軌跡如何做？4.4

廣義根軌跡的繪制

參數根軌跡零度根軌跡多個參數變化時的根軌跡簇多回路系統(tǒng)的根軌跡4.4.1參數根軌跡（K以外參數變化）構造等效系統(tǒng)（與原系統(tǒng)有相同的閉環(huán)特征方程），將原系統(tǒng)的變化參數轉化為等效系統(tǒng)的開環(huán)增益，再借助常規(guī)根軌跡作圖規(guī)則。（1）將閉環(huán)特征方程改寫為，其中A是變化的參數，P(s)和Q(s)是與變化參數A無關的首1多項式。方法：（2）建立等效系統(tǒng)，令其開環(huán)傳遞函數為。（3）作等效系統(tǒng)當A：0→∞變化時的根軌跡。思路：C(s)R(s)例4-8控制系統(tǒng)的結構如圖。繪制以為參變量的根軌跡。解：開環(huán)傳遞函數為閉環(huán)特征方程（1）求閉環(huán)特征方程并改寫成的形式即用不含參變量的部分去除方程兩邊，得到C(s)R(s)（2）構造一個等效系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數為（3）作等效系統(tǒng)當變化時的根軌跡開環(huán)極點：開環(huán)零點：有一條根軌跡趨向無窮遠實軸上的根軌跡：（-∞，0）復平面上的根軌跡是一段圓弧圓心：（0，0）半徑：分離點：注意：等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)僅僅是閉環(huán)特征方程相同，因而具有相同的根軌跡。一般來說，等效系統(tǒng)與原系統(tǒng)的閉環(huán)零點并不相同。因此，兩個系統(tǒng)一般具有不同的閉環(huán)傳遞函數。C(s)R(s)C(s)R(s)例如：C(s)R(s)等效系統(tǒng)無閉環(huán)零點閉環(huán)零點閉環(huán)零點s=04.4.2零度根軌跡根軌跡方程：幅值方程（不變）即相角方程（改變）考慮以下情況：正反饋系統(tǒng)

開環(huán)增益為負值的負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數中包含s最高次冪的系數為負的因子閉環(huán)特征方程：（G(s)H(s)的增益大于零）要修改的規(guī)則：規(guī)則4實軸上的根軌跡實軸上某線段右邊的開環(huán)實數零點數和極點數之和為偶數時，該線段就是根軌跡上的一段。

規(guī)則7根軌跡的起始角與終止角規(guī)則5根軌跡的漸近線漸近線與正實軸夾角

例4-11

正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數要求繪制根軌跡。解：開環(huán)極點：開環(huán)零點：1.實軸上的根軌跡段：2.漸近線：3.起始角：4.分離點坐標：解得利用模值條件可見系統(tǒng)有一對共軛復根和一個負實根，系統(tǒng)穩(wěn)定，響應為衰減振蕩曲線。系統(tǒng)有三個負實根，系統(tǒng)穩(wěn)定，響應為單調衰減。系統(tǒng)有一個正實根和兩個負實根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例4-12

單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

繪制的根軌跡。解：

閉環(huán)特征方程為

相當于繪制時下列方程的根軌跡

需要利用零度根軌跡繪制規(guī)則。這是開環(huán)增益為負值的負反饋系統(tǒng)的根軌跡繪制問題。例4-13

單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

繪制系統(tǒng)的根軌跡。閉環(huán)特征方程解：

需要利用零度根軌跡繪制規(guī)則。

這是開環(huán)傳遞函數中包含s最高次冪的系數為負的因子的情況下，根軌跡繪制問題。即4.4.3系統(tǒng)中有幾個參數同時變化時的根軌跡簇在實際控制系統(tǒng)中，有時需要研究幾個參變量變化對系統(tǒng)性能的影響，這時就要繪制幾個參變量同時變化的系統(tǒng)根軌跡。幾個參變量連續(xù)地從零到無窮大變化時的根軌跡稱為根軌跡簇。考慮系統(tǒng)中有兩個可變參數的情況。設閉環(huán)特征方程為：繪制根軌跡簇的方法：K1，K2為可變參數

1.首先令一個可變參數等于零，例如K2=0，閉環(huán)特征方程可寫成，繪制

K1變化時的根軌跡。2.再考慮參數K2變化，將閉環(huán)特征方程可寫成繪制

K2變化時的根軌跡。第一步作出的根軌跡就是K2變化時的根軌跡的起點。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數試繪制時的閉環(huán)根軌跡。解：閉環(huán)特征方程為作時的根軌跡。閉環(huán)特征方程寫成：取開環(huán)傳遞函數開環(huán)極點作時的根軌跡。

改變可繪制出一簇根軌跡：閉環(huán)特征方程寫成取開環(huán)傳遞函數開環(huán)極點開環(huán)零點4.4.4多回路系統(tǒng)的根軌跡繪制雙回路控制系統(tǒng)的根軌跡可以采用兩種方法：

應用結構變換的方法將雙回路系統(tǒng)化簡成單回路系統(tǒng)，然后畫出系統(tǒng)根軌跡。方法2局限性：當內環(huán)的開環(huán)傳遞函數比較復雜時，求內環(huán)的閉環(huán)極點比較困難。方法1先繪制內環(huán)系統(tǒng)根軌跡，求出在指定參數下內環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)極點（零點是知道的）。將內環(huán)系統(tǒng)的零點、極點連同外環(huán)系統(tǒng)中其它環(huán)節(jié)的極點、零點一起作為整個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數的極點、零點再繪制整個系統(tǒng)的根軌跡。例4-10

雙環(huán)系統(tǒng)結構如圖所示，繪制時系統(tǒng)的根軌跡。

解：

1.繪制內環(huán)系統(tǒng)根軌跡C(s)R(s)U(s)內環(huán)開環(huán)極點：內環(huán)開環(huán)零點：有3條根軌跡。經過試探，求出內環(huán)系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點：另一個閉環(huán)極點：內環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

2.繪制系統(tǒng)根軌跡開環(huán)傳遞函數為開環(huán)極點：可繪制出K1從零變到無窮大時的閉環(huán)根軌跡。思考：如何繪制