PAGEPAGE7第1講平面對量的概念及其線性運算基礎學問整合1．向量的有關概念(1)向量：既有大小又有eq\o(□,\s\up1(01))方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的eq\o(□,\s\up1(02))模．(2)零向量：長度為eq\o(□,\s\up1(03))0的向量，其方向是隨意的．(3)單位向量：長度等于eq\o(□,\s\up1(04))1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或eq\o(□,\s\up1(05))相反的非零向量，又叫共線向量．規定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向eq\o(□,\s\up1(06))相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向eq\o(□,\s\up1(07))相反的向量．2．向量的線性運算3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b＝λa.1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最終一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．2．若P為線段AB的中點，O為平面內任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，若點A，B，C共線，則λ＋μ＝1.1．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析當a＋b＝0時，a＝－b，所以a∥b；當a∥b時，不肯定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件．故選A.2．(2024·嘉興學科基礎測試)在△ABC中，已知M是BC中點，設eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(1,2)b答案A解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.故選A.3．已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a＋b＝0 B．a＝bC．a與b共線反向 D．存在正實數λ，使a＝λb答案D解析因為a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故D正確．4．已知向量i與j不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝i＋mj，eq\o(AD,\s\up6(→))＝ni＋j，若A，B，D三點共線，則實數m，n應當滿意的條件是()A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1C．mn＝1 D．mn＝－1答案C解析由A，B，D共線可設eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，于是有i＋mj＝λ(ni＋j)＝λni＋λj.又i，j不共線，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λn＝1，,λ＝m，))即有mn＝1.5．(2024·大同模擬)△ABC所在的平面內有一點P，滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則△PBC與△ABC的面積之比是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)答案C解析因為eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，即P是AC邊的一個三等分點，且PC＝eq\f(2,3)AC，由三角形的面積公式可知，eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(2,3).核心考向突破考向一平面對量的概念例1給出下列命題：①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；③若A，B，C，D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．其中真命題的序號是________．答案③解析①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不肯定有相同的起點和終點．②錯誤，若b＝0，則a與c不肯定共線．③正確，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．⑤錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為隨意向量，滿意λa＝μb，但a與b不肯定共線．故填③.觸類旁通平面對量有關概念的四個關注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．eq\a\vs4\al(2共線向量即為平行向量，它們均與起點無關.)3向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數圖象的移動混淆.eq\a\vs4\al(4非零向量a與\f(a,|a|)的關系：\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.)即時訓練1.設a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種狀況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.故選D.考向二平面對量的線性運算角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(1))向量加減法的幾何意義例2(1)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形態是()A．矩形 B．平行四邊形C．梯形 D．以上都不對答案C解析由已知得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→)).又因為eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不平行，所以四邊形ABCD是梯形．故選C.(2)(2024·全國卷Ⅱ)設非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·∴a·b＝0.∴a⊥b.故選A.解法二：利用向量加法的平行四邊形法則．在?ABCD中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，從而?ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故選A.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(2))平面對量線性運算例3(1)(2024·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析依據向量的運算法則，可得eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.(2)(2024·唐山統考)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))答案B解析因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選B.角度eq\o(\s\up7(),\s\do1(3))利用線性運算求參數例4(1)在△ABC中，點D在邊CB的延長線上，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))－seq\o(AC,\s\up6(→))，則s＋r等于()A．0B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,3)D．3答案C解析因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).又因為eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以r＝s＝eq\f(4,3)，s＋r＝eq\f(8,3).(2)(2024·河南中原聯考)如圖所示，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2＝()A.eq\f(5,8)B.eq\f(1,4)C．1D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).故選A.觸類旁通平面對量線性運算的一般規律(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數乘運算外，還應充分利用平面幾何的一些定理．(2)在求向量時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相像三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有干脆關系的向量來求解．即時訓練2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，O為平面上隨意一點，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，則()A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0答案B解析如圖所示，a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB綊DC，且eq\o(BA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))反向，即eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，也就是a－b＋c－d＝0.3．設D為△ABC所在平面內一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選A.4．(2024·唐山模擬)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))，則μ的取值范圍是________．答案0≤μ≤eq\f(1,2)解析由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).∵點E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋μeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\a\vs4\al(\o(DE,\s\up6(→)))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).考向三共線向量定理的應用例5(1)(2024·朔州模擬)設e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在答案A解析由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ3－k，,2＝－λ2k＋1，))解得k＝－eq\f(9,4).故選A.(2)(2024·河北衡水調研)始終線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A．－eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．－3答案A解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up