PAGEPAGE1第1講平面對量的概念及線性運算1．如圖，向量a－b等于()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2解析：選C．由題圖可知a－b＝e1－3e2.故選C．2．(2024·高考全國卷Ⅱ)設非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|解析：選A．依題意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，選A．3．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向解析：選D.由題意可設c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因為a，b不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,λ＋1＝0.))所以k＝λ＝－1，所以c與d反向，故選D.4.如圖所示，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a B．c＝2b－aC．c＝2a－b D．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：選A．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))得eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，即2eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.故選A．5．如圖，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．a－eq\f(1,2)b B．eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a＋b解析：選D.連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.6．已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的個數為________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①錯；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正確；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正確；所以eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0.故④正確．所以正確命題為②③④.答案：37．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，則|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________．解析：因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．如圖所示，設O是△ABC內部一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，則△ABC與△AOC的面積之比為________．解析：取AC的中點D，連接OD，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，所以O是AC邊上的中線BD的中點，所以S△ABC＝2S△OAC，所以△ABC與△AOC面積之比為2.答案：29.在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝m(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\o(BP,\s\up6(→))＝meq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))共線．又因為eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))有公共點B，所以A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數λ，使eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→)).故有meq\o(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OB,\s\up6(→))，即(m－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.因為O，A，B不共線，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0.))所以m＋n＝1.結論得證．1．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()A．b－eq\f(1,3)a B．b－eq\f(2,3)aC．b－eq\f(4,3)a D．b＋eq\f(1,3)a解析：選C．因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－eq\f(4,3)a，故選C．2.如圖，正方形ABCD中，M是BC的中點，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．eq\f(4,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(15,8) D．2解析：選B．因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＋μ(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))λ＋μ＝eq\f(5,3).故選B．3．(2024·江西吉安模擬)設D，E，F分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))()A．反向平行 B．同向平行C．相互垂直 D．既不平行也不垂直解析：選A．由題意得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))反向平行．4．已知點P、Q是△ABC所在平面上的兩個定點，且滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，2eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，若|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝λ|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則正實數λ＝________．解析：由條件eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0知eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(CP,\s\up6(→))，所以點P是邊AC的中點，又2eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以2eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(QB,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＝2eq\o(BQ,\s\up6(→))，從而有eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o