幾何新定義型—2025年中考數學總復習考前板塊訓練一、解答題1．垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關于不相鄰的兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”.（1）如圖所示，四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，AF=5,CE=2，則AE=；AB=（2）如圖2，若四邊形ABCD為“垂中平行四邊形”，且AB=BD，猜想AF與CD的關系，并說明理由；（3）①如圖3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE⊥AC交AC于點E，請畫出以BC為邊的垂中平行四邊形，要求：點A在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示：不限作圖工具)；②若△ABC關于直線AC對稱得到△AB'C，連接CB'，作射線CB'交①中所畫平行四邊形的邊于點P2．【概念學習】若兩個等腰三角形有公共底邊，則稱這兩個等腰三角形的頂角的頂點關于這條公共底邊互為頂針點，這條公共底邊叫做這兩個互為頂針點的頂針線段．如圖1，四邊形ABCD中，BC是一條對角線，AB=AC，DB=DC，則點A與點D關于頂針線段BC互為頂針點．（1）【概念理解】判斷下列結論是否正確（在題后括號內正確的打“√”，錯誤的打“×”)①互為頂針點的兩個點一定位于它的頂針線段的同側；（）②一條頂針線段的頂針點有無數多對；（）③互為頂針點的兩個點所在直線一定是其頂針線段的垂直平分線；（）④互為頂針點的兩個點所在直線平分對應等腰三角形的頂角．（）（2）【實踐操作】如圖2，在長方形ABCD中，AB<AD．若在邊AD上存在點F，邊AB上存在點E，使得點E與點C關于頂針線段BF互為頂針點．請用直尺和圓規在圖2中作出滿足條件的點F、E．（要求不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色墨水簽字筆描黑．)（3）【思維探究】在（2）的條件下，若AB=8，AD=10．請利用備用圖求AE的長度．3．我們知道，三角形的內心是三條角平分線的交點，過三角形內心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形．若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內似線”．（1）等邊三角形“內似線”的條數為；（2）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且AD＝BD＝BC，求證：BD是△ABC的“內似線”；（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內似線”，求EF的長．（松泉巫小斌供）4．定義：三角形一個內角的平分線和與另一個內角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O，AD=BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連接BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠5．定義：有且僅有一組對角相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．例如：凸四邊形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，則稱四邊形ABCD為等對角四邊形．（1）如圖1，點A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠BPC＝60°，延長BP到Q，使PQ＝AP，連接AQ．求證：四邊形AQBC是等對角四邊形；（2）如圖2，等對角四邊形ABCD內接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，①請判斷四邊形ABCD中哪一組對角相等，并說明理由；②若圓O的半徑為5，AB＝6，求AD，BC的長；③請直接寫出AC的長．6．我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖（1），已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB＝8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為，最小值為．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求證：AB、CD互為“十字弦”；（3）【問題解決】如圖3，在⊙O中，半徑為13，弦AB與CD相交于H，AB，~CD互為＂十字弦＂且AB=CD,CHDH7．定義：我們把兩個面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角形．初步嘗試：（1）如圖①，在△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，P為AC上一點，當AP的長為時，△ABP與△CBP為偏等積三角形；理解運用：（2）如圖②，△ABD與△ACD為偏等積三角形，若AB＝2，AC＝5，且線段AD的長度為正整數，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，求AE的長；綜合應用：（3）如圖③，已知△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，分別以AC，AB為邊向外作正方形ACGF和正方形ABDE，連結EF，求證：△ABC與△AEF為偏等積三角形．8．在平面直角坐標系中，有如下定義：若某圖形W上的所有點都在一個矩形的內部或邊界上（該矩形的一條邊平行于x軸），這些矩形中面積最小的矩形叫圖形W的“美好矩形”．例如：如圖1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x軸，點B在DE上，點C在EF上，則矩形ADEF為△ABC的美好矩形．（1）如圖2，矩形ABCD是函數y=2x?1≤x≤1圖象的美好矩形，求出矩形ABCD（2）如圖3，點A的坐標為1,4，點B是函數y=4xx>0圖象上一點，且橫坐標為m，若函數圖象在A、B（3）對于實數a，當a≤x≤a+3時，函數y=33x29．隨著科學技術的發展，機器人早已能按照設計的指令完成各種動作．在坐標平面上，根據指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）機器人能完成下列動作：先原地順時針旋轉角度α，再朝其對面方向沿直線行走距離s．（1）如圖，若機器人在直角坐標系的原點，且面對y軸的正方向，現要使其移動到點A（2，2），則給機器人發出的指令應是什么；（2）機器人在完成上述指令后，發現在P（6，0）處有一小球正向坐標原點做勻速直線運動，已知小球滾動的速度與機器人行走的速度相同，若忽略機器人原地旋轉的時間，請你給機器人發一個指令，使它能最快截住小球．（如圖，點C為機器人最快截住小球的位置，角度精確到度；參考數據：sin49°≈0.75，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）10．新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形．（1）驗證：矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形，其中矩形ABCD的長為12、寬為2，矩形EFGH長為4、寬為3．（2）探索：一矩形的長為2、寬為1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．11．我們定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做“神奇四邊形”．（1）在我們學過的下列四邊形①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四邊形”的是（填序號）；（2）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC上一點，連接AE，過點B作BG⊥AE于點H，交CD于點G，連AG、EG．①求證：四邊形ABEG是“神奇四邊形”；②如圖2，點M、N、P、Q分別是AB、AG、GE、EB的中點．試判斷四邊形MNPQ是不是“神奇四邊形”；（3）如圖3，點F、R分別在正方形ABCD的邊AB、CD上，把正方形沿直線FR翻折，使得BC的對應邊B'C'恰好經過點A，過點A作AO⊥FR于點O，若AB'＝2，正方形的邊長為6，求線段OF的長．12．如圖①，點C，D在線段AB上，點C在點D的左側，若線段AC，CD，DB滿足AC2+BD2=CD（1）如圖②，C，D是線段AB的勾股點，分別以線段AC，CD，DB為邊向AB的同側作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面積分別是3，5，則正△DBG的面積是；（2）如圖①，AB=12，C，D是線段AB的勾股點，當AC=14AB（3）如圖③，C，D是線段AB的勾股點，以CD為直徑畫⊙O，P在⊙O上，AC=CP，連接PA，PB，若∠A=2∠B，求∠B的度數．13．如果三角形的兩個內角a與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．（1）基礎鞏固：若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，則∠B＝°；（2）嘗試應用：如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°．①若AD是∠BAC的平分線，判斷△ABD是否是“準互余三角形”▲（是、否）；②在邊BC上存在點E（異于點D），使得△ABE也是“準互余三角形”，求此時∠EAC的度數；（3）拓展提高：如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長．14．定義：在四邊形中，若一條對角線能平分一個內角，則稱這樣的四邊形為“可折四邊形”．例：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABD=∠DBC，則四邊形ABCD是“可折四邊形”．利用上述知識解答下列問題．（1）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四邊形”的有：__________．（2）在四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC．①如圖1，若∠ABC=60°，BD=4，求AD+CD的最小值．②如圖2，連接對角線AC，若DC剛好平分∠ACE，且∠BDC=25°，求∠DAC的度數．③如圖3，若∠ABC=60°，AD=CD，對角線AC與BD相交于點E，當BC=6，且△AEB為等腰三角形時，求四邊形ABCD的面積．15．對于平面內有公共點的兩個圖形，若將其中一個圖形沿著某個方向移動一定的距離d后與另一個圖形重合，則稱這兩個圖形存在“平移關聯”，其中一個圖形叫做另一個圖形的“平移關聯圖形”．（1）如圖1，B、C、D是線段AE的四等分點．若AE＝4，則在圖中，線段AC的“平移關聯圖形”是，d＝（寫出符合條件的一種情況即可）；（2）如圖2，等邊三角形ABC的邊長是2．用直尺和圓規作出△ABC的一個“平移關聯圖形”，且滿足d＝2（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（3）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點D、E、G的坐標分別是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以點G為圓心，r為半徑畫圓．若對⊙G上的任意點F，連接DE、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關聯圖形”，且滿足d≥3，直接寫出r的取值范圍．

答案解析部分1．【答案】（1）1；17（2）解：AF=2∵AD//BC,AD=BC,BF=CF∴設BE=a,DE=2a∵AB=BD∴AB=3a∴AE=∴AF=3∴AF=（3）解：①如圖所示

②3414或32．【答案】（1）解：①錯誤②正確③正確④正確（2）解：如圖2所示，點E、F即為所求；（3）解：連接EF，如圖3所示：四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠A=∠D=90°，由作圖可知，CF=CB=10，∴DF=∴AF=AD?DF=4設AE=x，則BE=8?x，∵CE是BF的垂直平分線，∴EF=BE=8?x,在Rt△AEF中，由勾股定理得：x2+4即AE的長為3．3．【答案】（1）3（2）證明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，∴△BCD∽△ABC，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，即BD過△ABC的內心，∴BD是△ABC的“內似線”；（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理可得AB＝13．設D是△ABC的內心，連接CD，則CD平分∠ACB，∵EF是△ABC的“內似線”，∴△CEF與△ABC相似；分兩種情況：①當CECF過點D作DN⊥BC于點N，如圖2所示∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的內切圓半徑，∴DN=12∵CD平分∠ACB，∴DE∵DN∥AC，∴DNCE=DFEF∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EFAB=CEAC，即EF13=34512綜上，EF=4．【答案】（1）解：∵∠E是△ABC中∠A的遙望角，∴∠EBC=1∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝12（∠ACD﹣∠ABC）＝1∵∠A＝α，∴∠E＝12（2）解：如圖2，延長BC到點T，∵四邊形FBCD內接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分線∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分線，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角5．【答案】（1）證明：∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠APQ＝60°，∵PQ＝AP，∴△APQ是等邊三角形，∴∠Q＝60°＝∠QAP，∵四邊形APBC是圓內接四邊形，∴∠QPA＝∠ACB＝60°，∵∠Q+∠ACB+∠QAC+∠QBC＝360°，∴∠QAC+∠QBC＝240°，∵∠QAC＝∠QAP+∠BAC+∠PAB＝120°+∠PAB＞120°，∴∠QBC＜120°，∴∠QAC≠∠QBC，∴∠QPA＝∠ACB＝60°＝∠Q，∴四邊形AQBC是等對角四邊形；（2）解：①如圖②，∠BAD＝∠BCD，理由：連接BD，∵AB≠AD，BC＝DC，∴∠ABD≠∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABC≠∠ADC，∵四邊形ABCD是準平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD；②∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD是直徑，∴BD＝10，∴BC＝CD＝=2③726．【答案】（1）10；6（2）證明：如圖2，連接AD，∵CD為⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∵AC＝12，DH＝7，CH＝9，∴AC∴AC∵∠C＝∠C，∴△HCA∽△ACD，∴∠CHA＝∠CAD＝90°，∴AB⊥CD，∴AB、CD互為“十字弦”；（3）67．【答案】（1）2.5；解：（2）∵△ABD與△ACD為偏等積三角形，△ABD與△ACD為等高三角形∴BD=DC，∵AB//CE，∴∠BAD=∠CED，∠ABD=∠ECD，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AD=DE，CE=AB=2∴AE=2AD，∵AC-CE<AE<AC+CE，∴3<AE<7，∴1.5<AD<3.5，∵AD的長為正整數，∴AD=2或3，∴AE=4或6；（3）過點E作EH⊥AF，交AF延長線于H，∴∠H=∠ACB=90°，∴∠HEA+∠EAH=90°∵四邊形ABDE為正方形，∴AB=AE，∠EAB=90°，∴∠EAH+∠HAB=90°，∴∠HAB=∠HEA，∵四邊形ACGF是正方形，∴AF=AC，AF//CG，∴∠HAB=∠ABC，∴∠HEA=∠ABC，∴△EAH≌△BAC（ASA），∴EH=BC，∵S△ABC=1∴S△ABC又∵∠H=90°，∠EAF=∠H+∠HEA，∠ADC=90°∴△ABC與△AEF不是全等三角形，∴△ABC與△AEF為偏等積三角形．8．【答案】（1）解：∵?1≤x≤1,∴A∴B∴AB=2,BC=4,∴（2）解：設矩形ACBD是其美好矩形，∴B∴AC=∴S∴m=4或14???????（3）解：∵美好矩形恰好是面積為3，且一邊在x軸上的正方形，∴正方形的邊長為3,二次函數y=?3當a≤3b①頂點在x軸上，端點縱坐標是?3?或?解得：a=?3b=0或②端點在x軸上，頂點縱坐標是3,?或?3解得：a=0b=2或a=23b=2(舍去，不符合a，b大小關系)或a=?23b=?2當對稱軸不在x的取值范圍內時，有：?或?3解得：a=0b=0或綜上所述，b=0或2或?2．???????9．【答案】解（1）作AB⊥x軸，

∵A（2，2），

∴OA=22，

∴∠AOB=45°，

∴給機器人發的指令為：[22，45°]；（2）作AC=PC，設PC=x，則BC=4-x，在Rt△ABC中：22解得x=2.5，又∵tan∠BAC=BCAB∴∠BAC=37°，∵∠OAB=45°，∴∠OAC=37°+45°=82°，∴∠DAC=180°-82°=98°，∴輸入的指令為[2.5，98°]．10．【答案】（1）解：∵矩形EFGH的周長為：2×(4+3)=14，矩形ABCD的周長為：2×(12+2)=28，∴矩形EFGH的周長=12矩形∵矩形EFGH的面積為：4×3=12，矩形ABCD的面積為：2×12=24，∴矩形EFGH的面積=12矩形∴矩形EFGH是矩形ABCD的“減半”矩形．（2）解：該矩形不存在“減半”矩形，若矩形存在“減半”矩形，設該“減半”矩形長和寬分別為m，n，(m>n)∵原矩形的長和寬分別為2，1，∴由題可知：2由①得：m=將m=32?n32?n∵∴方程n2∴該矩形不存在“減半”矩形．11．【答案】（1）④（2）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABG+∠CBG＝90°，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，∠BAE=∠CBGAB=BC∴△ABE≌△BCG（ASA），∴AE＝BG，又∵BG⊥AE，∴四邊形ABEG是“神奇四邊形”；②解：四邊形MNPQ是“神奇四邊形”，理由如下：∵M，N為AB，AG的中點，∴MN為△ABG的中位線，∴MN∥BG，MN＝12同理：PQ∥BG，PQ＝12BG，MQ∥AE，MQ＝12AE，NP∥AE，NP＝∴MN＝PQ，MQ＝NP，∴四邊形MNPQ為平行四邊形，∵AE＝BG，∴MN＝MQ，∴平行四邊形MNPQ為菱形，∵BG⊥AE，MQ∥AE，∴MQ⊥BG，∵MN∥BG，∴MQ⊥MN，∴∠QMN＝90°，∴四邊形MNPQ為正方形，∴四邊形MNPQ是“神奇四邊形”；（3）解：如圖3，延長AO交BC于S，由翻折的性質可知，BF＝B'F，AB'＝BS＝2，AO＝SO，∠B'＝∠B，∵四邊形ABCD是正方形，邊長為6，∴AB＝6，∠B＝90°，∴AS=∴AO=設AF＝x，則BF＝B'F＝6﹣x，在Rt△AB'F中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，∴x＝103∴AF＝103∵AO⊥FR，∴∠AOF＝90°，∴OF=即線段OF的長為10312．【答案】（1）2（2）解：∵AB=12，AC=1∴AC=1∴BC=AB?AC=9，∵C，D是線段AB的勾股點，∴AC2+B解得CD=5；（3）解：連接PD，∵AC=PC，∴∠A=∠APC，∴∠PCD=2∠A，∵C，D是線段AB的勾股點，∴AC∴PC∵CD是⊙O的直徑，∴∠CPD=90°，∴PC∴PD=BD，∴∠PDC=2∠B，∵∠A=2∠B，∴∠PDC=∠A，在Rt△PCD中，∵∠PCD+∠PDC=90°，∴2∠A+∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=113．【答案】（1）15（2）解：①是②如圖①中，在Rt△ABC中，∠BAC＝50°，∠ACB＝90°，

∴∠B=90°-∠BAC=40°，∵△ABE是“準互余三角形”，且∠AEB＞90°，∴只有2∠B+∠BAE=90°，即2×40°+∠BAE=90°，

∴∠BAE=10°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=40°；（3）解：如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF，∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∠F=∠BDC=90°，

∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，

∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，

∴A、B、F共線，∴∠FAC+∠ACF=90°，

∴2∠ACB+∠CAB≠90°，只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，

又∵∠F=∠F，

∴△FCB∽△FAC，

∴CFAF=BFCF

∴則有：x(x+7)=122，在Rt△ACF中，AC=AF14．【答案】（1）菱形、正方形（2）解：①當DC⊥BC，DA⊥AB時，DC與DA最小，∴此時AD+CD最小；

∵∠ABC=60°，對角線BD平分∠ABC．

∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°

∴DC=DA=BD2=2，

∴AD+CD=2+2=4

答：AD+CD的最小值為4；

②如圖1，過點D作DF⊥BC交BC延長線于F，DP⊥AC于P，DG⊥BA交BA延長線于G，

∵∠3=∠1+∠2①

∠ACF=∠4+∠ABC

又∵DC平分∠ACF，DB平