第五章圖形的軸對稱5.2簡單的軸對稱圖形北師大版(2024)七年級下冊學

習

目

標掌握角的平分線有關性質(zhì)；利用角平分線的性質(zhì)解決問題；會用尺規(guī)作出已知角的平分線，能規(guī)范地寫出已知、求作和作法.02知識回顧問題1:

什么是軸對稱圖形?如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重

合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸

.問題2:

角是生活中常見的圖形，角是軸對稱圖形嗎?如何驗證你的結(jié)論?知識探究請拿出你作的∠AOB,不利用工具，將它分成兩個相等的角.角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線折痕平分了∠AOB打開紙片，看看折痕與這個角有

何關系?對折你有什么辦法?知識探究嘗試·思考：如圖，OP是∠AOB

的平分線，點C是

OP

上的任意一點.在∠AOB

的兩邊上畫出以OP

所在直線為對稱軸的一組對應D和

D',

連接CD

和CD'.(1)你認為線段CD

和

CD'之間有什么關系?

說說你的理由.CD=CD'因為D和

D

'是以

OP

所在直線為對稱軸

的一組對應點，所以沿直線OP

折疊，CD

與能完全重合，所以CD=CD'.B知識探究(2)特別地，當CD⊥OA時

，CD'與OB

有怎樣的位置關系?為什么?此時，線段

CD

和

CD'之間還有(1)中的關系嗎?由此你能得到什么結(jié)論?CD'⊥OB,

由對稱可知∠

CDO=∠CD'O=90°

.

此時線段

CD

與

CD'之間還有(1)中的

關系.角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等知識探究B證明：∵OC

是∠AOB

的平分線∴∠AOC=∠BOC∵CD⊥OB,CE⊥OA∴∠CDO=∠CEO如圖，

C為∠AOB

的角平分線上一點，CD⊥OB,⊥OA,垂足為點E,

求證：CE=CD.垂足為點D,AED又∵

OC=OC∴△CDO≌△

CEO(AAS)

∴CD=CECE0-文字語言：角平分線上的點到這個角兩符號語言

：∵OC

平分∠AOB,CD⊥OB,CE⊥AO,∴

CD=CE.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少

了任何一個

.知識探究思考

·交流：已知∠AOB,如何作出它的平分線?假設∠AOB的平分線已作出，請回答下列問題：(1)這條射線有什么特征?這條射線是角平分線，它將∠AOB分成兩個相等的角知識探究A思考

·交流：已知∠AOB,如何作出它的平分線?假設∠AOB的平分線已作出，請回答下列問題：(2)如何確定這條射線上除端點之外的一個點?

用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試。如果只用尺規(guī)呢?與同伴進行交流需要確定的點是角的對稱軸上的點，因此應當從角兩邊

進行“對稱”的操作知識探究A①利用構(gòu)造全等三角形的方法，先在∠AOB

的兩邊OA

和OB

上

截取相等的線段OD、OE

分別作為兩個三角形的兩邊.②在∠AOB內(nèi)找到點C,使CD=CE.③

則△

COD≌△COE(SSS),

得到∠

AOC=∠BOC利用尺規(guī)，作∠AOB(如右圖)的平分線.已知：∠AOB,

如右圖.求作：射線OC,使∠AOC=∠BOC.知

識

探

究知識探究利用尺規(guī)，作∠AOB

(如右圖)的平分線.已知：∠AOB,

如右圖.求作：射線OC,使∠AOC=∠BOC.作法：1.在OA和

OB上分別截取

OD,OE,

使

OD=OE.2.分別以D,E

為圓心

.大于

內(nèi)相交于點C.3.作射線OC.OC

就是∠AOB

的平分線.這兩種作圖都涉及使用圓規(guī)和直尺來構(gòu)造特定的幾何圖形(如兩條相等的線段，半徑相等的圓弧),通過作弧和連接點

得到所需的直線。此外，這兩種作圖的依據(jù)都是三角形全

等思考·

交流：過直線上一點作已知直線的垂線與作一個平角的平分線，這兩種尺規(guī)作圖方法有什么共同點?與同伴進行交流.知識探究當

堂

檢

測A.4

B.3

C.2D.1解析：連接AE∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°∵DE垂直平分AB,∴AE=EB1∴∠DAE=∠B=30°,

∴∠DAE=∠CAE=30°,AE

平分∠BAC,∴EC=ED=2,故選：C.、1.如圖，在△ABC

中，∠C=90°,∠B=30°,DE垂直平分AB,分

別

交AB,BC于點D,E,且DE=2,

則

CE=(

C

)解析：如圖，過P

點作PH⊥AB

于

H,∵AP平分∠CAB,PD⊥AC,∴PH=PD=8,∵

點

E

是邊AB上一動點，∴根據(jù)垂線段最短得PE≥8,故選：D.2.如

圖

，AP

平分∠CAB,PD⊥ACE是

邊AB

上一動點，關于線段PEA.PE=8

B.PE>8C.PE≤8

D.PE≥8于

點D,

若

PD=8,

點敘述正確的是(

D3.如圖，在△ABC

中，AD平分∠BAC,若AB=10,AC=8,則SABD:S△AcDB

)A.25:16

B.5:4

C.16:25D.4:5解析：∵AD平分∠BAC,∴點D到AB和AC的距離相等，S△ABD:S△ACD=AB:AC=10:8=5:4,故選：B4.如圖

，

0

是

△ABC

內(nèi)

一

點，

且

0

到

三

邊

AB、BC、CAOF=OD=OE,若∠BAC=70°,

則∠BOC

的度數(shù)為C)A.70°

B.120°C.125°解析：∵0到三邊AB

、BC

、CA

的距離OF=OD=OE,∴點O

是三角形三條角平分線的交點，∵∠BAC=70°,

∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,在△OBC中，∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-55°=125°

.的距離D.130°故選：C5.如圖，點

D

是∠BAC

內(nèi)一點，DE⊥AB,DF⊥AC,

垂足分別為E,F,

點

M,N分別在∠BAC

的兩邊上，且AM=AN,DM=DN.

求證：DE=DF.解析：在

△ADM和△ADN中，≌△

ADN(SSS),∴∠MAD=∠NAD,∴AD平分∠BAC.又∵

DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF

(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).(1)如圖2,將儀器放置在△ABC

上，使點0與頂點A

重合，D,E分別在邊AB,AC畫一條射線AP,交

BC

于

點P.AP

是∠BAC

的平分線嗎?請判斷并說明理由.(2)如圖3,在(1)的條件下，過點P作

PQ⊥AB于

點Q,

若

PQ=6,AC=9,△ABC6

0

,

求AB

的長

.上，沿AF的面積是6.圖1是一個平分角的儀器，其中OD=OE,F

D=FE.圖1圖2圖3解析：(1)AP

是∠BAC的平分線理由如下：在△ADF

和△AEF中，∴

△ADF≌△AEF(SSS)∴∠DAF=∠EAF,∴AP

平分∠BAC.解析：(2)∵

AP平分∠BAC,PQ⊥AB,∴△APC

的高等于PQ,