高級班高一下3月月考數學試題（說明：本卷滿分分，考試時間分鐘）第Ⅰ卷（選擇題，共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】.故選：D.2.在中，，、分別是、的中點，則（）A.與共線B.與共線C.與相等D.與相等【答案】B【解析】【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即可.【詳解】由題意可知，與不共線，A錯；因為、分別是、的中點，所以，，故與共線，B對；第1頁/共16頁因為與不平行，所以與不相等，C錯；因為，D錯．故選：B.3.已知函數為偶函數，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據偶函數的性質，列式求解.【詳解】為偶函數，則，，取，則.故選：D.4.函數的圖像，保持縱坐標不變，將橫坐標縮短為原來的，再向右平移個單位長度后得到的解析式為（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函數圖像變換求解即可.【詳解】將函數的圖像保持縱坐標不變，先將橫坐標縮短為原來的得到，再向右平移個單位長度后得到，，故選:C.第2頁/共16頁5.函數與函數圖像的交點個數是（）個A.5B.4C.3D.2【答案】A【解析】【分析】畫出函數圖象觀察即可得出.【詳解】畫出和的函數圖象，因為，，結合圖象可得函數與函數圖像的交點個數是5個.故選：A.6.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先應用二倍角余弦及正弦公式化簡，再應用弦化切計算求解.【詳解】，故選:A．7.（）A.B.C.D.【答案】A第3頁/共16頁【解析】【分析】利用和差化積公式，即可求值.【詳解】．故選：A.8.若函數在區間內有兩個零點，則實數a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】應用整體法，結合余弦函數的性質及零點個數求參數范圍.【詳解】由題設上有兩個零點，所以，可得故選：B36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列式子運算正確的有（）AB.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由切化弦，及輔助角公式，正弦二倍角公式化簡即可，對于B，由可判斷，對于C，由兩角差正切公式可判斷，對于D，由可判斷.第4頁/共16頁【詳解】A正確；，B錯誤，，C正確，因為，所以，D正確，故選：ACD10.在銳角△ABC中，三個內角分別是，，，且，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】易得，，再根據正切函數的單調性即可得解.【詳解】由題意可知，，，則，因為函數在上單調遞增，所以，，所以，故AC正確，BD錯誤.故選：AC.第5頁/共16頁已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數的最小正周期為2B.C.函數的圖象關于直線對稱D.若方程在上有兩個不等實數根，則．【答案】BC【解析】【分析】首先通過圖象的最值確定的值，再根據圖象上兩點的橫坐標求出周期，進而得到的值，然后將特殊點代入函數求出的值，最后根據正弦函數的對稱軸性質以及方程根的對稱性來逐一分析選項.【詳解】由函數圖象可知，表示振幅，所以.函數的圖象過點和，這兩點間的距離是個周期，即，那么，故A錯誤；根據正弦型函數的周期公式（，所以.把點代入中，得到，即.因為，所以，，解得，故B正確；第6頁/共16頁由上分析可得：.令，解得.當時，，所以函數的圖象關于直線對稱，故C正確；函數圖象在上，其對稱軸為，即.若方程在上有兩個不等實數根，根據正弦函數圖象的對稱性可知.所以，故D錯誤.故選：BC.第Ⅱ卷（非選擇題，共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知為定義在上的偶函數，在區間上單調遞減，且滿足，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用偶函數的性質及函數單調性求解即得.【詳解】因為為定義在上的偶函數，則不等式，不等式化為或，而，于是為或，又函數在區間上單調遞減，則在上單調遞增，解，得，解，得，所以原不等式的解集為.故答案為：第7頁/共16頁13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式求出的值，再由余弦的二倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以，則故答案為：.14.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形.是扇形弧上的動點，是扇形的內接平行四邊形，則四邊形ABCD的面積最大值為____________.【答案】【解析】【分析】作于點，作于點，將四邊形ABCD的面積轉化為矩形EFCD的面積，設，將矩形EFCD的面積表示為，應用三角運算及三角函數性質求最大值即可.【詳解】解：如圖：作于點，作于點，則矩形EFCD的面積等于平行四邊形ABCD的面積，第8頁/共16頁設，則，在Rt中，，所以，所以矩形EFCD的面積為因為，所以，當即時，矩形EFCD的面積最大為，所以平行四邊形ABCD的面積最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.（1）已知，，求的值；（2）已知，都是銳角，且，，求的值.【答案】(1)(2)第9頁/共16頁【解析】【分析】(1)利用正弦兩角和差公式展開，再把切化弦，即可求解；(2)利用正切的和角公式，結合角的范圍，即可求角.1）由聯立解得：所以；（2）由，可得，由于是銳角，,所以是銳角，則，由于，所以還是銳角，即.16.已知函數．（1）討論函數的定義域；（2）當時，解關于的不等式：．【答案】（1）當時；當時，．（2）【解析】1）由，得，下面分類討論：當時，；當時，即可求得的定義域；（2）根據函數的單調性解答即可；【小問1詳解】第10頁/共16頁由，得，當時，；當時，；所以的定義域是當時；當時，．【小問2詳解】當時，任取，且，則，所以．因為，所以，即．故當時，在上是增函數．∵，∴，∵，∴，又∵，∴，即不等式解為.17.已知函數.（1）求的單調遞增區間，并用五點法作出在區間內的圖象；（2）若函數在區間上恰有一個零點，求實數m的取值范圍.【答案】（1），圖象見解析；（2）第11頁/共16頁【解析】1）根據誘導公式以及二倍角公式化簡五點作圖法即可求解；（2）由（1）圖象即可求解.【小問1詳解】因為，即，所以，令,解得，故的單調遞增區間為；依題意可得如下表格：00100故在區間內的圖象如下所示：第12頁/共16頁【小問2詳解】若函數在區間上恰有一個零點，即在只有一個交點，，，結合（1）的圖象易知：實數m的取值范圍.18.已知函數.（1）存在使得不等式有解，求實數k的取值范圍；（2）若函數滿足，若對任意且，不等式恒成立，求實數m的最大值.【答案】（1）（2）【解析】1）先判斷的單調性，由題意，由參數分離和二次函數的最值，可得的范圍；（2）由條件求得，運用換元法和基本不等式，計算可得的最大值.【小問1詳解】.對任意，第13頁/共16頁有，因為，所以，即，所以，因此在上遞增.因為，所以，即在時有解.當時，的最大值為2，所以；【小問2詳解】因為，所以，所以，不等式恒成立，即，令，則在時恒成立，因為，由基本不等式可得：，當且僅當時，等號成立，所以，則實數的最大值為.19.已知函數.（1）求方程在上的解集；（2）設函數；（i）證明：在有且只有一個零點；（ii）在（i）的條件下，記函數的零點為，證明：.【答案】（1）（2iii）證明見解析【解析】1）利用余弦二倍角公式化簡方程，再結合輔助角公式即可；（2iii）然后利用換元法求值域即可證明.第14頁/共16頁【小問1詳解】所以.所以或當時，，則，又，所以或，當，則，又.所以或，所以或