8.4.2空間點、直線、平面之間的位置關系第八章立體幾何初步教學目標

了解空間中兩條直線的位置關系，理解兩異面直線的定義（重點、難點）01

了解直線與平面的位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示;（重點）02能

了解兩平面的位置關系，并會用圖形語言和符號語言表示;（難點）03

04學科素養

會用符號語言表示空間點、直線、平面的位置關系

數學抽象

空間點、直線、平面的位置關系的定義直觀想象

根據有關概念，學會判斷（證明）空間點、直線、平面的位置關系邏輯推理數學運算

數據分析

數學建模基本事實1和2的三個推論：推論一

經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論二

經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論三

經過兩條平行直線，有且只有一個平面．基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的

公共直線．基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．基本事實1

過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．基本事實３用符號表示為

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l．基本事實２用符號表示為

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?

l?α．知識回顧文字語言符號語言圖形語言

前面我們認識了空間中點、直線、平面之間的一些位置關系：知識精講文字語言符號語言圖形語言

同一平面內的直線有哪些位置關系？aboab相交平行

長方體是我們熟悉的空間幾何圖形，下面我們借助長方體進一步研究空間中點、直線、平面之間的位置關系.一空間中直線與直線的位置關系abo如何判斷兩直線相交？兩直線有公共交點。如何判斷兩直線平行？兩直線在同一平面，且無公共交點。ab

ABCDA

B

C

D

且互相平行;AB與B

C

不在任何一個平面內,它們既不平行,也不相交。我們把這樣的直線叫做AB與BC

在平面AC

內,它們是相交直線.異面直線.黑板兩側所在的直線與課桌邊沿所在直線是什么位置關系？既不平行也不相交旗桿所在的直線與其正后方跑道所在直線是什么位置關系？既不平行也不相交定義不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。1)異面直線既不平行也不相交;2)定義中“任何”是指兩條直線永遠不具備確定平面的條件，即是不可能找到一個平面同時包含這兩條直線；3)不能認為分別在兩個平面內的兩條直線叫異面直線。于是，空間兩條直線的位置關系有三種∶這樣，空間中兩條直線平行和我們學過的平面上兩條直線平行的意義是一致的，即首先這兩條直線在同一平面內，其次是它們不相交．平行直線共面直線異面直線相交直線不同在任何一個平面內，沒有公共點．在同一平面內，沒有公共點．在同一平面內，有且只有一個公共點．

如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示，(1)(2)(3)問題：分別在兩個平面內的兩條直線是否一定異面？答：不一定，它們可能異面，可能相交，也可能平行.（如圖）a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有

對?HGCADBEFGHEF(B)(C)DA答:共有三對【練習】關于直線a，b，c，平面α，β的說法正確的是（

）A．若a和b為異面直線，a和c為異面直線，則b和c為異面直線；B．若a?α，b?β，則a和b為異面直線；C．若a?α，b?α，則a和b為異面直線；D．過直線a外一點，可以作無數條直線和a互為異面直線；D

判斷兩直線是異面直線的方法：平面內一點和平面外一點的連線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。與一個平面相交的直線和這個平面內不經過交點的直線是異面直線。二空間中直線與平面的位置關系在圖8.4-11中

直線AB與平面ABCD有無數個公共點，

直線AA'與平面ABCD只有一個公共點，

直線A'B'與平面ABCD只沒有公共點．于是，空間兩條直線的位置關系有三種∶直線在平面內直線在平面外直線與平面平行直線與平面相交圖8.4-11直線與平面有無數個公共點．直線與平面有且只有一個公共點．直線與平面沒有公共點．一般在作圖時，直線a在平面α內，應把直線a畫在表示平面α的平行四邊形內;直線a在平面α外，應把直線a或它的一部分畫在表示平面α的平行四邊形外.(直線在平面內)(直線與平面平行)(直線與平面相交)三空間中平面與平面的位置關系在圖8.4-11中，

平面ABCD與平面A'B'C'D'沒有公共點；平面ABCD與平面BCC'B'有一條公共直線BC．圖8.4-11我們可以看出，兩平面的位置關系有且只有以下兩種：兩平面沒有公共點．兩平面有一條公共直線．

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示

平面的兩個平行四邊形的對應邊平行兩平面平行兩平面相交例2.用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系．練習.如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③DM與BN是異面直線．以上幾個結論中，正確結論的序號是(

)．NEFMCBDA③例3已知在兩個平面內分別有一條直線，并且這兩條直線互相平行，那么這兩個平面的位置關系一定是(

)A．平行

B．相交

C．平行或相交

D．以上都不對Cbaαβbaαβbaαβbaαβ變式1

已知在兩個平面內分別有一條直線，并且這兩條直線是異面直線，則兩平面的位置關系如何？平行或相交變式2.已知有兩個平面α與平面β，其中平面α內有無數條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關系是什么？αβαβbacbac平行或相交變式3.知有兩個平面α與平面β，其中平面α內的任意一條直線與平面β平行，那么平面α與平面β的關系是什么？αβbac平行4.如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面的位置關系為(

)A．平行B．直線在平面內C．相交或直線在平面內D．平行或直線在平面內3.若兩個平面相互平行，則分別在這兩個平面內的直線的位置關系是(

)A.平行

B.異面

C.相交

D.平行或異面1.不平行的兩條直線的位置關系是(

)A.相交

B.異面

C.平行

D.相交或異面DCDD課堂檢測

課堂練習1.選擇題：(1)如果兩條直線a與b沒有公共點，那么a與b().A.共面B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線(2)設直線a,b分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在直線,則a與b()A.平行B.相交C.是異面直線D.可能相交，也可能是異面直線DBDCA'B'C'D'AC2.如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，判定直線AB與AC，直線AC與A'C'，直線A'B與AC，直線A'B與C'D的位置關系.解：直線AB與AC相交，直線AC與A′C′平行，直線A′B與AC是異面直線，直線A′B與C′D是異面直線.3.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內畫“√”，錯誤的畫“×”.(1)若直線l上有無數個點不在平面α內，則l//α．(

)(2)若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行．(

)(3)如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行．(

)(4)若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點．()×××√4.已知直線a,b,平面α,β,且a?α,b?β,α

//β.

判斷直線a與b的位置關系?

并說明理由.直線a與b是平行直線或異面直線.理由如下：由a?α,b?β,且α

//β，可知a與b沒有公共點.解：因為若a與b有公共點，那么這個點也是平面α與

β的公共點.

這與α

//β矛盾.所以直線a與b是平行直線或異面直線.baαβ直線