習(xí)題課：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用知識(shí)回顧分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事有兩類(lèi)不同方案，

在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，

在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，

那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理：類(lèi)類(lèi)獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整題型講解——選擇與被選問(wèn)題【例1】(1).五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？

(2).五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為

種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，而每一名學(xué)生都可能獲得其中任意項(xiàng)冠軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種，故有

種.被選者變化題型講解——選擇與被選問(wèn)題【練1】(1)將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有________種不同投法.(2)食品加工廠購(gòu)入5噸豬肉，每噸會(huì)被制作成豬肉干，火腿或香腸的加工食品，請(qǐng)問(wèn)總共有______種制作方法.(3)在端午小長(zhǎng)假期間，某辦公室要從4名職員中選出若干人在3天假期堅(jiān)守崗位，每天只需1人值班，則共有________種不同的排班方法解：（1）每一封信投入4個(gè)郵筒都有4種不同的投法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×4×4＝64(種)不同的投法．（2）每一噸豬肉都有3種不同的加工方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有35＝243(種)不同的制作方法．（3）第一天值班可以安排4名職員中的任意1人，有4種排班方法；同理第二天和第三天也有4種排班方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的排班方法有4×4×4＝64(種)．題型講解——抽取(分配)問(wèn)題【例2】某小組5人各寫(xiě)一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中抽取一張，則恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡的不同分配方式有()

A．9種

B．11種

C．44種

D．45種解析：除抽到自己的人，其他4人各寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái)，再每人從中抽取一張，標(biāo)記這4人為B，C，D，E，其對(duì)應(yīng)的賀年卡為b，c，d，e，則4人均未抽到自己的賀年卡情況如下列樹(shù)狀圖所示．共9種題型講解——抽取(分配)問(wèn)題【例2】某小組5人各寫(xiě)一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中抽取一張，則恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡的不同分配方式有()

A．9種

B．11種

C．44種

D．45種由樹(shù)狀圖可知，這4人均未抽到自己賀年卡情況下抽到的賀年卡情況共有9種，而抽取到自己賀卡的人選有5種情況，所以5人各寫(xiě)一張賀年卡，集中起來(lái)再每人從中抽取一張，恰有1人抽到自己寫(xiě)的賀年卡的不同分配方式有5×9＝45(種)．故選D.題型講解——抽取(分配)問(wèn)題【練2】某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給甲、乙兩個(gè)部門(mén)，其中2名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一個(gè)部門(mén)，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門(mén)，則不同的分配方案種數(shù)是()

A．18

B．24

C．36

D．72解析：由題意可得，分兩類(lèi)，①甲部門(mén)要1名英語(yǔ)翻譯人員，1名電腦編程人員，

共有2×3×3＝18(種)；②乙部門(mén)要1名英語(yǔ)翻譯人員，1名電腦編程人員，共有2×3×3＝18(種)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(種)．故選C.題型講解——抽取(分配)問(wèn)題方法總結(jié)：(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹(shù)狀圖法或圖表法．(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若按對(duì)象特征抽取，則按分類(lèi)進(jìn)行．②間接法：去掉限制條件計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可．題型講解——組數(shù)問(wèn)題【例3】從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？答案：三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0.因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×5×5＝100(個(gè))．法二：對(duì)于每個(gè)位的數(shù)字，由于可重復(fù)選擇，故每個(gè)位都有5種選擇，但第一位不能排0，因此，可以用全部的情況減去第一位排0的情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5×5×5-

1×5×5＝100(個(gè))．題型講解——組數(shù)問(wèn)題【例3】從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．(2)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？答案：三位數(shù)的首位不能為0，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二位可以排0，除首位排的數(shù)字共有4種方法，第三位除前兩位排的數(shù)字共有3種方法．因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×4×3＝48(個(gè))．題型講解——組數(shù)問(wèn)題【例3】從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)．(3)可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？答案：偶數(shù)末位數(shù)字可取0，2，4，因此，可以分兩類(lèi)，一類(lèi)是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類(lèi)是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因?yàn)?不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因此有12＋18＝30(種)排法，即可以排成30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)．題型講解——組數(shù)問(wèn)題方法總結(jié)：對(duì)于組數(shù)問(wèn)題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，這是采用“分類(lèi)”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類(lèi)，分類(lèi)中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類(lèi)較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位．題型講解——組數(shù)問(wèn)題【練3】有0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，問(wèn)：(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？答案：完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分四個(gè)步驟，第1步，選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第2步，選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第3步，選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第4步，選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝5×4×3×2＝120(個(gè))．題型講解——組數(shù)問(wèn)題【練3】有0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，問(wèn)：(1)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼？(2)可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？答案：第1步，從1，2，3，4中選取一個(gè)數(shù)字做千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第2步，從1，2，3，4中剩余的三個(gè)數(shù)字和0共四個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字做百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第3步，從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字做十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第4步，從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字做個(gè)位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有N＝4×4×3×2＝96(個(gè))．題型講解——涂色（種植）問(wèn)題【例4】如圖，一圓形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在每塊花壇里種一種花，且相鄰的兩塊花壇種不同的花，則不同的種法種數(shù)為()

A．108

B．96C．72

D．48解析：完成這件事情需要四步，第一步，A地塊有4種選擇；第二步，B地塊有3種選擇；第三步，C地塊有2種選擇；第四步，D地塊有2種選擇，共有4×3×2×2＝48(種)．故選D.題型講解——涂色（種植）問(wèn)題【例4】(2)用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給如圖所示的4塊區(qū)域A，B，C，D涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同顏色，則涂色方法共有()種.

A．14

B．16C．20

D．18解析：先涂A，有3種涂法，再涂B有2種涂法，涂C時(shí)，與A同色，有1種涂法，此時(shí)D有2種涂法，當(dāng)C與A異色時(shí)，有1種涂法，這時(shí)D有1種涂法，所以共有3×2×(1×2＋1×1)＝18(種)．故選D.題型講解——涂色（種植）問(wèn)題【例4】(2)用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給如圖所示的4塊區(qū)域A，B，C，D涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同顏色，則涂色方法共有()種.

A．14

B．16C．20

D．18法二：先分為兩類(lèi)情形：①僅用其中兩種顏色涂色，則A，C同色，B，D也同色，共有3×2×1＝6種涂法，②僅用全部三種顏色涂色，先涂A，有3種涂法，再涂B有2種涂法，C，D其中一塊區(qū)域選用第三種顏色，另一個(gè)區(qū)域只剩一種涂法．共有3×2×2＝12種涂法，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，則有6＋12＝18(種)．故選D.題型講解——涂色（種植）問(wèn)題方法總結(jié)：求解涂色(種植)問(wèn)題的方法(1)①以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理；②以顏色(種植作物)為主分類(lèi)討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線(xiàn)段”問(wèn)題，用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算．(2)對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類(lèi)，這是常用的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)．題型講解——涂色（種植）問(wèn)題【練4】如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)