湘教版·七年級下冊2.1平方根第2章實數第1課時平方根和算術平方根學習目標1.了解平方根及算術平方根的概念，會用根號表示

一個數的算術平方根.（重點）2.會求非負數的平方根與算術平方根.（難點）請你說一說解決問題的思路．學校要舉行美術作品比賽，小鷗想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？問題導引

這是一個長為2、寬為1的長方形紙片，你能把它剪拼成一個正方形嗎？21這個正方形的面積是多少？它的邊長呢？展開鋪平剪開拼圖沿虛線對折沿虛線對折11111111這個問題的實質就是要找一個數，使它的平方等于給定的數。21111由

S正方形=邊長2S正方形=2(？)2=2問題

如果一個數的平方等于9，那么這個數是多少？由于

，所以這個數是3或

-3.3和

-3互為相反數，會不會是巧合呢

如果一個數的平方等于

，那么這個數是多少？

想一想：3和

-3有什么特征？

如果有一個數

r，使得

r2=a，那么

r叫作

a的一個平方根，也叫作二次方根.歸納

若

r2=a，則

r是

a的一個平方根.例如，由于22=4，因此2是4的一個平方根.又因為(-2)2=4，所以-2也是4的一個平方根

因為邊長大于2的正方形，它的面積一定大于4，所以，比2大的數都不是4的平方根.邊長為2邊長為4<>

類似地，邊長小于2的正方形，它的面積一定小于4，因此，比2小的正數都不是4的平方根.思考：除了2和

－2以外，4的平方根還有其他的數嗎？

又由于(－b)2=b2，因此，大于

－2或小于－2的負數都不是4的平方根.0顯然不是4的平方根.

所以4的平方根有且只有兩個：2與

－2.互為相反數

如果

r是正數

a的一個平方根，那么

a的平方根有且只有兩個：r與

-r.總結歸納正數

a的正平方根叫做a的算術平方根，記作

，讀作“根號a”這樣，正數

a的平方根可以用“”來表示.讀作“正、負根號

a”把正數

a的負平方根記作

，讀作“負根號

a”.一個正數有

個平方根，且它們互為

，一個正數

個算術平方根。兩相反數只有一4的平方根是

，由上可知

=

本節開始提到的面積為2的正方形的邊長是

由于02=0，而非零數的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身.說一說0的平方根是多少？負數有平方根嗎？0的平方根也叫做0的算術平方根，記作

由于同號兩數相乘得正數，且02=0，即在迄今為止我們所認識的數中，任何一個數的平方都不會是負數，因此負數沒有平方根.小結：正數平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是0；負數沒有平方根.求一個非負數的平方根的運算，叫作開平方.這個非負數叫做被開方數根號被開方數（a是非負數）讀作“正、負根號

a”開平方

平方互為逆運算根據這種關系，可以求一個數的平方根.根號“”可以理解為一種運算符號，表示對被開方數進行開平方運算。例如，9的平方根是±3，±3的平方是95的平方根是±，±的平方是5

例1

分別求下列各數的平方根：36，

，1.21.解：由于62=36，

因此36的平方根是6與

-6.

即由于1.12=1.21，因此1.21的平方根是1.1與

-1.1.即由于

，因此

的平方根是

與.即典例精析①

的平方根是_______；②(－16)2的平方根是_______.練一練我們把正數

a的正平方根

叫作

a的算術平方根.思考：正數、負數、0的算術平方各有幾個？正數的算術平方根是一個正數，0的算術平方根還是0，負數沒有算術平方根.算術平方根的概念及性質2算術平方根具有雙重非負性a的算術平方根算術平方根的性質非負數非負數

判斷下列說法是否正確.①25的算術平方根是5

（）；②25的平方根是5

（）；③5是25的平方根（）.√√注意區分“平方根”與“算術平方根”的意義.練一練：例3

分別求下列各數的算術平方根：

（1）100；

（2）

；

（3）0.49.

解：(1)由于102=100，因此

.(3)由于0.72=0.49，因此.(2)由于

=，因此.下列各數有平方根嗎？如有，分別是多少？議一議（1）|－81|；

（2）(－5)2.例4若|m-1|+=0，求

m+n的值.

方法歸納：幾個非負式的和為0，則每個式均為0，初中階段學過的非負式有絕對值、偶次冪及一個數的算術平方根.解：因為|m-1|≥0，

≥0，

又|m-1|+=0，

所以|m-1|=0，=0.

所以

m=1，n=-3.所以

m+n=1+(-3)=-2.1.分別求64，，6.25的平方根.64的平方根是8與

-8，6.25的平方根是2.5與

-2.5，解：的平方根是

與

-，P31練習課堂練習2.分別求81，，0.16的算術平方根.解：81的算術平方根是9，.

的算術平方根是，0.16的算術平方根是0.4，3.判斷下列說法是否正確，并說明理由.（1）

的值是±4；（2）(－4)2

的平方根是－4.解：（1）不正確，

；（2）不正確，(－4)2的平方根是±4.課堂小結平方根的概念正數的平方根負數的平方根0的平方根正平方根→→（沒有）（就是0本身）負平方根算術平方根↑1.包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.平方根與算術平方根的聯系與區別：2.只有非負數才有平方根和算術平方根.3.0的平方根是0，算術平方根也是0.聯系：區別：1.個數不同：一個正數有兩個平方根，

但只有一個算術平方根.2.表示法不同：平方根表示為±

，

而算術平方根表示為.1.判斷下列說法是否正確.正確.（4）(-4)2的平方根是

-4.（1）

是

的一個平方根；（2）

是6的算術平方根；（3）

的值是

±4；正確.不正確，是4.不正確，是

±4.2.已知一個自然數的算術平方根是

a，則按從小到大

排該自然數的后一個自然數的算術平方根是（

）

A.a+1B.C.a2+1D.D解析：一個自然數的算術平方根是

a，那么這個自然

數就是

a2，按從小到大排該自然數的后一個自然數就是

a2+1，它的算術平方根是例2

已知一個正數的兩個平方根分別是2a－2和

a－4，則

a的值是________．解析：因為一個正數的兩個平方根分別是2a－2和

a－4，

所以2a－2＋a－4＝0，解得

a＝2.2例3

若2m-4與3m-1是同一個數的平方根，則m的值是

。解：

當2m-4=3m-1時，m=-3,

當2m-4+3m-1=0時，m=13.若

，則

a=

；2.若

，則

m=

；4.若|a-

3|+，則代數式(a+b)2025=___