廣安友誼中學年春季高級3月月考數學試題學校：姓名：班級：考號：一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數列的一個通項公式是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據數列分子分母的規律求得通項公式.【詳解】由于數列的分母是從開始的奇數，分子為，所以通項公式是.故選：.2.下列求導運算正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由基本初等函數的導數公式及復合函數求導逐項判斷即可.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.第1頁/共18頁故選：D3.已知事件與事件互斥，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據事件概率的基本運算法則直接計算求解.【詳解】對于A，由于不清楚事件與事件是否相互獨立，所以無法計算，故A錯誤；對于B，因為事件與事件互斥，所以，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B4.在等比數列中，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據等比數列的項的性質化簡求解.【詳解】在等比數列中，，則則.故選：B.5.從某小區抽取10050到350則用電量低于150度的戶數為（）第2頁/共18頁A.30B.18C.36D.24【答案】A【解析】【分析】先利用頻率分布直方圖求得用電量低于150度頻率，然后即可求解頻數.【詳解】由頻率分布直方圖得：用電量低于150度的頻率為，所以用電量低于150度的戶數為.故選：.6.已知等差數列的，公差，則數列的前2025項和為（）A.B.C.505D.1013【答案】D【解析】【分析】利用等差數列通項公式求出，再將目標數列求出，利用并項求和法求和即可.【詳解】因為，，所以，此時令，而其前項和為，，故D正確.故選：D7.已知數列滿足是數列的前項和，則（）A.64B.75C.128D.32【答案】B【解析】第3頁/共18頁【分析】由遞推公式求得前4項，即可求解.【詳解】由，可得：，得，，得，得所以，故選：B8.已知一個各項非零的數列滿足且且）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令，遞推關系可化為，證明，證明數列為等比，，條件下判斷函數的單調性可得結論.【詳解】由條件可得：且，，所以，設，則，第4頁/共18頁所以若，則,，與矛盾，所以，故，所以數列為以為首項，公比為的等比數列，所以，故，若，則，數列為遞增數列，且，所以數列為遞減數列，與已知矛盾；若，則，所以數列為遞減數列，且，所以數列為遞增數列，滿足條件；當時，，故，所以數列為遞減數列，令，可得，第5頁/共18頁所以當，且時，，當，且時，，與條件矛盾，所以的取值范圍是，故選：A.二?多選題：本題共3個小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖顯示物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的是（）A.在處，甲的瞬時速度大于乙的瞬時速度B.在處，甲的瞬時速度小于乙的瞬時速度C.在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】AC【解析】【分析】對AB，根據導數的物理意義判斷即可；對CD，根據平均速度的定義判斷即可.ABA正確，B錯誤；對CD，在到范圍內，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正確，D錯誤.故選：AC第6頁/共18頁10.已知數據的平均數為10，方差為1，且，則下列說法正確的是（）A.數據的方差為4；B.數據的平均數為24；C.數據的平均數為10，方差大于1；D.若數據的中位數為，分位數為，則.【答案】ABD【解析】【分析】根據平均數和方差的計算方法即可判斷，，；由中位數和百分位數的計算方法即可判斷.【詳解】對于，因為，所以，所以數據的平均數為，故正確；對于，因為，所以，所以數據的方差為，故正確；對于，，，故錯誤；對于，將數據從小到大排序，所以中位數為第三個數和第四個數的平均數，第7頁/共18頁因為，所以分位數為第五個數，按從小到大排序后，第五個數大于等于第三個數和第四個數的平均數，所以，故正確.故選：.分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點個數：13610稱為三角形數，第二行圖形中黑色小點個數：1，4，9，16，稱為正方形數，記三角形數構成數列，正方形數構成數列，則下列說法正確的是（）A.；B.1225既是三角形數，又是正方形數；C.；D.，總存在，，使得成立；【答案】ABD【解析】【分析】根據數列和的遞推公式，由累加法得通項公式，放縮法驗證選項A；用通項公式驗證選項B；裂項相消求和驗證選項C；取實例驗證選項D.【詳解】依題意，數列中，，，，，，，，第8頁/共18頁于是得，滿足上式，數列中，，，，，，，，于是得，滿足上式，因此，，對于A，，則，A正確；對于B，因為，則，又，則，B正確；對于C，當時，，則，C錯誤；對于D，，，取，，則，所以，，總存在，，使得成立，D正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.若函數可導，則__________.【答案】【解析】第9頁/共18頁【分析】根據導數的定義求解即可.【詳解】根據導數的定義可得.故答案為：.13.已知數列的通項公式為，函數的對稱中心為，則__________.【答案】【解析】【分析】已知數列通項，觀察可得待求表達式首末兩項與首末等距離的兩項和為定值，應用逆序求和思想，結合對稱中心性質可得解.【詳解】因為，且關于對稱，所以，則，又因為，所以.故答案為：.14.設首項是1的數列的前n項和為,若數m的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】分為偶數與奇數，利用遞推公式及構造法推導出通項公式，進而根據分組求和結合等比求和公式可得為偶數時的前項和，再確定的值即可．第10頁/共18頁【詳解】，當為偶數時，，，又，故，故；當為奇數時，，，又，故，故；當為偶數時，由于當時，，當時，，當為奇數時，，當時，，故正整數的最大值是，故答案為：11.四?解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1在點處的切線與軸，軸分別交于點，為第11頁/共18頁（2）求曲線過點的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】1，形面積；（2可得可得切線方程.【小問1詳解】因為函數，所以，所以，又，所以在點處切線方程為，即，當時，，當時，，所以，，所以；【小問2詳解】設過點的切線與曲線相切于點，由，所以，所以切線方程為，因為切線過點，所以，解得，所以所求切線方程為：，即.16.在正項等比數列中，前n項和為，已知.（1）證明：數列為等差數列；（2）令為數列的前n項和，求.【答案】（1）證明見解析第12頁/共18頁（2）【解析】1差數列的定義可證得結果；（2的前項和．【小問1詳解】證明：等比數列中，已知∴，解得：或（舍）.∴是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，.∴，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列.【小問2詳解】由（1），∴，，兩式相減得：，整理得：.17.在①，，..已知數列的各項均為正數，其前項和為，且對任意正整數，有__________.（1）求的通項公式；第13頁/共18頁（2）設，數列的前項和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）選①，利用與的關系即可求解；選②，由已知可得數列是等差數列，可得與的關系即可求解；選③，由已知可得時可得成立即可求解；（2）由（1）可得，根據裂項相消法求和，再求解即可【小問1詳解】選①，當時，，解得，當時，，所以，因為數列的各項均為正數，所以，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以；選②，因為，且，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，當時，，當時，，當時，，所以；選③，因為，所以，第14頁/共18頁所以當時，，當時，，所以；【小問2詳解】因，所以，，所以數列是首項為，公差為的等差數列，所以，所以，所以，即得證.18.單項選擇與多項選擇題是數學標準化考試中常見題型，單項選擇一般從A，B，C，D四個選項中選出一個正確答案，其評分標準為全部選對的得5分，選錯的得0分；多項選擇題一般從A，B，C，D四個選6分選對的得部分分（兩個答案的每個答案3分，三個答案的每個答案20分.（1）考生甲有一道單項選擇題不會做，他隨機選擇一個選項，求他猜對本題得5分的概率；（2）考生乙有一道答案為ABD多項選擇題不會做，他隨機選擇兩個或三個選項，求他猜對本題得4分的概率；（32道兩個正確答案的多項選擇題，根據訓練經驗，每道題考生丙得6分的概率為3分的概率為；考生丁得6分的概率為3分的概率為.丙、丁二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題丙丁兩位考生總分剛好得18分的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】第15頁/共18頁1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解；（312699分和丙得612分三種情況，利用獨立事件和互斥事件的概率求解.【小問1詳解】甲同學所有可能的選擇答案有A，B，C，D共4種可能結果，樣本空間，其中正確選項只有一個，設M=“猜對本題得5分”，故.【小問2詳解】乙同學所有可能的選擇答案有10種：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，樣本空間，共有10個樣本點，設N=“猜對本題得4分”，，有3個樣本點，故.【小問3詳解】由題意得丙得0分的概率為，丁得0分的概率為，丙丁總分剛好得18分的情況包含：事件A：丙得12分有6+6一種情況，丁得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，則；事件B：丙得9分有6+3，3+6兩種情況，丁得9分有6+3，3+6兩種情況，則；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三種情況，丁得12分有6+6一種情況，則；所以丙丁總分剛好得18分的概率.19.已知雙曲線在上，為常數，.按照如下方式依次構造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為第16頁/共18頁（1）若，求；（2）證明：數列是公比為的等比數列；（3）設為的面積，證明：對任意正整數.【答案】（1），（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】1）直接根據題目中構造方式計算出的坐標即可；（2）利用點差法和合比性質即可證明；（3）利用點差法得到，，再結合（2）中的結論得，最后