圓錐曲線知識點考點總結___________________________________高中數學知識點大全—圓錐曲線一、考點（限考）概要：

1、橢圓：

（1）軌跡定義：

①定義一：在平面內到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a不小于焦距2c。用集合表達為：；

②定義二：在平面內到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。

用集合表達為：；

（2）原則方程和性質：

注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的原則方程應有兩個。

（3）參數方程：（θ為參數）；

3、雙曲線：

（1）軌跡定義：

①定義一：在平面內到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表達為：

②定義二：到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。

用集合表達為：

（2）原則方程和性質：

注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的原則方程應有兩個。

4、拋物線：

（1）軌跡定義：在平面內到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點是焦點，定直線是準線，定點與定直線間的距離叫焦參數p。用集合表達為：

（2）原則方程和性質：

①焦點坐標的符號與方程符號一致，與準線方程的符號相反；

②原則方程中一次項的字母與對稱軸和準線方程的字母一致；

③原則方程的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，有別于一元二次函數的圖像；

二、復習點睛：

1、平面解析幾何的知識構造：

2、橢圓各參數間的關系請記熟“六點六線，一種三角形”，即六點：四個頂點，兩個焦點；六線：兩條準線，長軸短軸，焦點線和垂線PQ；三角形：焦點三角形。則橢圓的各性質（除切線外）均可在這個圖中找到。

3、橢圓形狀與e的關系：當e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認為圓是橢圓在e=0時的特例。當e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段，此時也可認為是橢圓在e=1時的特例。

4、運用焦半徑公式計算焦點弦長：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點的坐標分別為，則弦長

這裏體現理解析幾何“設而不求”的解題思想。

5、若過橢圓左（或右）焦點的焦點弦為AB，則；

6、結合下圖熟記雙曲線的：“四點八線，一種三角形”，即：四點：頂點和焦點；八線：實軸、虛軸、準線、漸進線、焦點弦、垂線PQ。三角形：焦點三角形。

7、雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。

8、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b。

9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區別：三常數a、b、c中a、b不一樣（互換）c相似,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的措施：將1變為－1。

10、過雙曲線外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一種公共點的狀況如下：

（1）P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；

（2）P點在兩條漸近線之間且包括雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；

（3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；

（4）P為原點時不存在這樣的直線；

11、結合圖形熟記拋物線：“兩點兩線，一種直角梯形”，即：兩點：頂點和焦點；兩線：準線、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。

12、對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化計算；

13、拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且，則有如下結論：

14、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一種公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線；

15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法：即設為曲線上不一樣的兩點，是的中點，則可得到弦中點與兩點間關系：

16、當波及到弦的中點時，一般有兩種處理措施：一是韋達定理，即把直線方程代入曲線方程，消元後，用韋達定理求有關參數（即設而不求）；二是點差法，即設出交點坐標，然後把交點坐標代入曲線方程，兩式相減後，再求有關參數。在運用點差法時，必須檢查條件△＞0與否成立。

5、圓錐曲線：

（1）統一定義，三種圓錐曲線均可當作是這樣的點集：，其中F為定點，d為點P到定直線的l距離，，e為常數，如圖。

（2）當0＜e＜1時，點P的軌跡是橢圓；當e＞1時，點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，點P的軌跡是拋物線。

（3）圓錐曲線的幾何性質：幾何性質是圓錐曲線內在的、固有的性質，不由于位置的變化而變化。

①定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上

ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點中點，兩準線有關中心對稱；

ⅱ橢圓及雙曲線有關長軸、短軸或實軸、虛軸為軸對稱，有關中心為中心對稱；

ⅲ拋物線的對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點。

②定量：

（4）圓錐曲線的原則方程及解析量（隨坐標變化而變）

以焦點在x軸上的方程為例：

6、曲線與方程：

（1）軌跡法求曲線方程的程序：

①建立合適的坐標系；

②設曲線上任一點（動點）M的坐標為(x,y)；

③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0；

④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式；

⑤證明化簡後的方程的解為坐標的點都在曲線上；

（2）曲線的交點：

由方程組確定，方程組有幾組不一樣的實數解，兩條曲線就有幾種公共點；方程組沒有實數解，兩條曲線就沒有公共點。

1、圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要不小于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數不不小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要不不小于|FF|，定義中的“絕對值”與＜|FF|不可忽視。若＝|FF|，則軌跡是以F，F為端點的兩條射線，若﹥|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表達雙曲線的一支。（2）第二定義中要注意定點和定直線是對應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到對應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行互相轉化。Attention：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線原則方程的類型，而方程中的兩個參數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：

橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一種對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線；⑤離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。（2）雙曲線（以（）為例）：①范圍：或；②焦點：兩個焦點；③對稱性：兩條對稱軸，一種對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，尤其地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線：兩條準線；⑤離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；⑥兩條漸近線：。拋物線（認為例）：①范圍：；②焦點：一種焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一種頂點（0,0）；④準線：一條準線；⑤離心率：，拋物線。5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；（3）點在橢圓內

6．直線與圓錐曲線的位置關系：

相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一種交點，故是直線與雙曲線相交的充足條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一種交點，故也僅是直線與拋物線相交的充足條件，但不是必要條件。Attention：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一種公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。假如直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一種交點；假如直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一種交點；

（2）過雙曲線＝1外一點的直線與雙曲線只有一種公共點的狀況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包括雙曲線的區域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；

過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一種公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算措施：運用圓錐曲線的第二定義，轉化到對應準線的距離，即焦半徑，其中表達P到與F所對應的準線的距離。8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常運用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中，①＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：①；②。9、拋物線中與焦點弦有關的某些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦，M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝。尤其地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和後，運用第二定義求解。11、圓錐曲線的中點弦問題：碰到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，認為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，認為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，認為中點的弦所在直線的斜率k=。Attention：由于是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢查！12．重要結論：（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）認為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數，≠0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_______（答：）（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到對應準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為；（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，，則①；②（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒通過定點圓錐曲線的方程與性質1．橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點、的距離的和等于常數2（不小于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的原則方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個方程中均有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，，）當時表達焦點在軸上的橢圓；當時表達焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質①范圍：由原則方程知，，闡明橢圓位于直線，所圍成的矩形裏；②對稱性：在曲線方程裏，若以替代方程不變，因此若點在曲線上時，點也在曲線上，因此曲線有關軸對稱，同理，以替代方程不變，則曲線有關軸對稱。若同步以替代，替代方程也不變，則曲線有關原點對稱。因此，橢圓有關軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需規定出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的原則方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。因此，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同步，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率。∵，∴，且越靠近，就越靠近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越靠近于，就越靠近于，從而越靠近于，這時橢圓越靠近于圓。當且僅當時，，兩焦點重疊，圖形變為圓，方程為。2．雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（）。注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表達兩條射線；③當時，不表達任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。橢圓和雙曲線比較：橢圓雙曲線定義方程焦點注意：怎樣用方程確定焦點的位置！（2）雙曲線的性質①范圍：從原則方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。②對稱性：雙曲線有關每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程裏，對稱軸是軸，因此令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不一樣的（橢圓有四個頂