二次函數知識點總結和題型總結一、二次函數概念：1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。這裏需要強調：①a≠0②最高次數為2③代數式一定是整式2.二次函數的構造特性：⑴等號左邊是函數，右邊是有關自變量的二次式，的最高次數是2．⑵是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．例題：例1、已知函數y=(m－1)xm2+1+5x－3是二次函數，求m的值。練習、若函數y=(m2+2m－7)x2+4x+5是有關x的二次函數，則m的取值范圍為。二、二次函數的基本形式1.二次函數基本形式：的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．二次函數的對稱軸、頂點、最值（技法：假如解析式為頂點式y=a(x－h)2+k，則最值為k；假如解析式為一般式y=ax2+bx+c則最值為EQ\F(4ac-b2,4a)）1．拋物線y=2x2+4x+m2－m通過坐標原點，則m的值為。2．拋物y=x2+bx+c線的頂點坐標為（1，3），則b＝，c＝.3．拋物線y＝x2＋3x的頂點在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若拋物線y＝ax2－6x通過點(2，0)，則拋物線頂點到坐標原點的距離為()A.B.C.D.5．若直線y＝ax＋b不通過二、四象限，則拋物線y＝ax2＋bx＋c()A.開口向上，對稱軸是y軸B.開口向下，對稱軸是y軸C.開口向下，對稱軸平行于y軸D.開口向上，對稱軸平行于y軸已知二次函數y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值為0，則m＝。三、二次函數圖象的平移1.平移環節：措施一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，詳細平移措施如下：2.平移規律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．措施二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）函數y=ax2+bx+c的圖象和性質例題：1．拋物線y=x2+4x+9的對稱軸是。2．拋物線y=2x2－12x+25的開口方向是，頂點坐標是。3．通過配方，寫出下列函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標：（1）y=EQ\F(1,2)x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－EQ\F(1,4)x2+x－44、把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位，在向下平移2個單位，所得圖象的解析式是y=x2－3x+5，試求b、c的值。5、把拋物線y=－2x2+4x+1沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平移3個單位，問所得的拋物線有無最大值，若有，求出該最大值；若沒有，闡明理由。四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不一樣的體現形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：運用配措施將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選用的五點為：頂點、與軸的交點、以及有關對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組有關對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住如下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值．例題：函數y=a(x－h)2的圖象與性質1．填表：拋物線開口方向對稱軸頂點坐標試闡明函數y=EQ\F(1,2)(x－3)2的圖象特點及性質（開口、對稱軸、頂點坐標、增減性、最值）。二次函數y=a(x－h)2的圖象如圖：已知a=EQ\F(1,2)，OA＝OC，試求該拋物線的解析式。二次函數的增減性二次函數y=3x2－6x+5，當x>1時，y隨x的增大而；當x<1時，y隨x的增大而；當x=1時，函數有最值是。已知函數y=4x2－mx+5，當x>－2時,y隨x的增大而增大；當x<－2時，y隨x的增大而減少；則x＝1時,y的值為。已知二次函數y=x2－(m+1)x+1，當x≥1時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍是.4.已知二次函數y=－EQ\F(1,2)x2+3x+EQ\F(5,2)的圖象上有三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3<x1<x2<x3，則y1,y2,y3的大小關系為.七、二次函數解析式的表達措施1.一般式：（，，為常數，）；2.頂點式：（，，為常數，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表達．二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1.二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的鑒定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結：3.常數項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．例題：函數的圖象特性與a、b、c的關系1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<02.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象2如圖所示，則下列結論對的的是（）A．a+b+c>0B．b>-2aC．a-b+c>0D．c<03.拋物線y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的圖象如圖3，有如下結論：①c>0；②a+b+c>0③a-b+c>0④b2-4ac<0⑤abc<0；其中對的的為（）A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤4.當b<0是一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+bx+c在同一坐標系內的圖象也許是（）5.已知二次函數y＝ax2＋bx＋c，假如a>b>c，且a＋b＋c＝0，則它的圖象也許是圖所示的()二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖5所示，那么abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c四個代數式中，值為正數的有()A.4個B.3個C.2個D.1個7.在同一坐標系中，函數y=ax2+c與y=EQ\F(c,x)(a<c)圖象也許是圖所示的()ABCD8.反比例函數y=EQ\F(k,x)的圖象在一、三象限，則二次函數y＝kx2-k2x-1c的圖象大體為圖中的（）ABCD9.反比例函數y=EQ\F(k,x)中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函數y＝kx2+2kx的圖象大體為圖中的（）ABCD二次函數解析式確實定：根據已知條件確定二次函數解析式，一般運用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇合適的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種狀況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相似的兩點，常選用頂點式．例題：函數解析式的求法一、已知拋物線上任意三點時，一般設解析式為一般式y=ax2+bx+c，然後解三元方程組求解；1．已知二次函數的圖象通過A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三點，求該二次函數的解析式。已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC＝5，求該二次函數的解析式。二、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相似的兩點和拋物線上另一點時，一般設解析式為頂點式y=a(x－h)2+k求解。3．已知二次函數的圖象的頂點坐標為（1，－6），且通過點（2，－8），求該二次函數的解析式。已知二次函數的圖象的頂點坐標為（1，－3），且通過點P（2，0）點，求二次函數的解析式。三、已知拋物線與軸的交點的坐標時，一般設解析式為交點式y=a(x－x1)(x－x2)。5．二次函數的圖象通過A（－1，0），B（3，0），函數有最小值－8，求該二次函數的解析式。九、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種狀況，可以用一般式或頂點式體現1.有關軸對稱有關軸對稱後，得到的解析式是；有關軸對稱後，得到的解析式是；2.有關軸對稱有關軸對稱後，得到的解析式是；有關軸對稱後，得到的解析式是；3.有關原點對稱有關原點對稱後，得到的解析式是；有關原點對稱後，得到的解析式是；4.有關頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）有關頂點對稱後，得到的解析式是；有關頂點對稱後，得到的解析式是．5.有關點對稱有關點對稱後，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的體現式時，可以根據題意或以便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或體現式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然後再寫出其對稱拋物線的體現式．拾、二次函數與一元二次方程：1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點狀況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊狀況.圖象與軸的交點個數：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時，圖象與軸只有一種交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，均有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，均有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數常用解題措施總結：⑴求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數的最大（小）值需要運用配措施將二次函數由一般式轉化為頂點式；⑶根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；⑷二次函數的圖象有關對稱軸對稱，可運用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一種交點坐標，可由對稱性求出另一種交點坐標.⑸與二次函數有關的尚有二次三項式，二次三項式自身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯絡：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一種交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.例題：二次函數與x軸、y軸的交點（二次函數與一元二次方程的關系）假如二次函數y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒有交點，其中c為整數，則c＝（寫一種即可）二次函數y＝x2-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為拋物線y＝－3x2＋2x－1的圖象與x軸交點的個數是()A.沒有交點B.只有一種交點C.有兩個交點D.有三個交點如圖所示，二次函數y＝x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則△ABC的面積為()A.6B.4C.3D.1已知拋物線y＝5x2＋(m－1)x＋m與x軸的兩個交點在y軸同側，它們的距離平方等于為EQ\F(49,25)，則m的值為()A.－2B.12C.24D.48已知拋物線y＝x2-2x-8，（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。拾一、函數的應用二次函數應用二次函數圖像與性質口訣:二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點,它們確定圖象現；開口、大小由a斷,c與Y軸來相見,b的符號較尤其，符號與a有關聯；頂點位置先找見，Y軸作為參照線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要,一般式配方它就現，橫標即為對稱軸,縱標函數最值見。若求對稱軸位置,符號反,一般、頂點、交點式，不一樣體現能互換。二次函數拋物線，選定需要三個點，a的正負開口判，c的大小y軸看，△的符號最簡便，x軸上數交點，a、b同號軸左邊拋物線平移a不變，頂點牽著圖象轉，三種形式可變換，配措施作用最關鍵。例題：二次函數應用(一）經濟方略性1.某商店購進一批單價為16元的曰用品，銷售一段時間後，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經檢查發現，若按每件20元的價格銷售時，每月能