第21章

二次函數與反比例函數

21.4二次函數的應用21.4.1二次函數的應用中的面積、利潤最值問題01新課導入03課堂小結02新課講解04課后作業目錄新課導入第一部分PART

01yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere

某水產養殖戶用長40m的圍網，在水庫中圍一塊矩形的水面，投放魚苗.要使圍成的水面面積最大，則它的邊長應是多少米？新課導入解：設圍成的矩形水面的一邊長為xm，那么，矩形水面的另一邊長應為（20-x）m.若它的面積是Sm2，則有S=x(20-x)將這個函數的表達式配方，得 S=-

(x-10)2+100（0<x<20）.新課導入25O5101520x/m5075100S/m2如圖，這個函數的圖象是一條開口向下拋物線中的一段，它的頂點坐標是（10,100）.所以，當x=10時，函數取得最大值，即S最大值=100(m2).此時，另一邊長=20-10=10(m).答：當圍成的矩形水面邊長都為10m時，它的面積最大為100m2.新課導入利用二次函數解決幾何圖形中的最值問題的要點：1.根據面積公式、周長公式、勾股定理等建立函數關系式；2.確定自變量的取值范圍；3.根據開口方向、頂點坐標和自變量的取值范圍畫草圖；4.根據草圖求所得函數在自變量的允許范圍內的最大值或最小值.新課導入新課講解第二部分PART

02yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？進價/元售價/元數量/件利潤現價漲價降價分析：406030060+n300-10n60-m300+20m4040新課講解進價/元售價/元銷量/件利潤現價漲價降價406030060+n300-10n60-m300+20m4040解:(1)設每件漲價n元，利潤為y1.則y1=(60+n–40)(300–10n)即y1=-10n2+100n+6000其中，0≤n≤30.利潤=售價×銷量-進價×銷量=(售價-進價)×銷量怎樣確定n的取值范圍？可得：0≤n≤30.新課講解y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30）

拋物線y1=-10n2+100n+6000頂點坐標為

，所以商品的單價上漲

元時，利潤最大，為

元.(5,6250)56250n取何值時，y有最大值？最大值是多少？=-10(n2-10n)+6000=-10(n-5)2+6250即漲價情況下，定價65元時，有最大利潤6250元.漲價：新課講解進價/元售價/元銷量/件利潤降價4060-m300+20m解:(2)設每件降價m元，利潤為y2.則y2=(60-m–40)(300+20m)即y2=-20m2+100m+6000其中，0≤m≤20.怎樣確定m的取值范圍？可得：0≤m≤20.降價情況下的最大利潤又是多少呢?新課講解y2=-20m2+100m+6000(0≤m≤20)

拋物線y2=-20m2+100m+6000頂點坐標為

，所以商品的單價下降

元時，利潤最大，為

元.(2.5,6125)2.56125m取何值時，y有最大值？最大值是多少？即降價情況下，定價57.5元時，有最大利潤6125元.降價：=-20(m2-5m)+6000=-20(m-2.5)2+6125新課講解（2）降價情況下，定價57.5元時，有最大利潤6125元.（1）漲價情況下，定價65元時，有最大利潤6250元.綜上可知：該商品的價格定價為65元時，可獲得最大利潤6250元.新課講解1.如圖，四邊形的兩條對角線AC、BD互相垂直，AC+BD=10，當AC、BD的長是多少時，四邊形ABCD的面積最大？解：設AC=x,四邊形ABCD面積為y,則BD=(10-x).即當AC、BD的長均為5時，四邊形ABCD的面積最大.課堂練習2.用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園(如圖所示),墻長為18m,這個矩形的長,寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?解：設矩形的長為xm,面積為ym2,則矩形的寬為m.

∴0<x≤18.課堂練習3.已知矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱，矩形的長、寬各為多少時，圓柱的側面積最大？解：設矩形的長為xcm，圓柱的側面積為ycm2，則矩形的寬為(18-x)cm，繞矩形的長或寬旋轉，圓柱的側面積相等.有y=2πx(18-x)＝-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).當x=9時，y有最大值為162π.即當矩形的長、寬各為9cm時，圓柱的側面積最大。課堂練習4.某種商品每件的進價為30元，在某段時間內若以每件x元出售，可賣出(200-x)件，應如何定價才能使利潤最大？解：設所得利潤為y元,由題意得y=x(200-x)-30(200-x)=-x2+230x-6000=-(x-115)2+7225(0<x<200)當x=115時，y有最大值.即當這件商品定價為115元時，利潤最大.課堂練習5.某種文化衫以每件盈利20元的價格出售，每天可售出40件.若每件降價1元，則每天可多售10件，如果每天要盈利最多，每件應降價多少元？解：設每件應降價x元，每天的利潤為y元，由題意得：y=(20-x)(40+10x)=-10x2+160x+800=-10(x-8)2+1440(0＜x＜20).當x=8時，y取最大值1440.即當每件降價8元時，每天的盈利最多。課堂練習課堂小結第三部分PART

03yourcontentisenteredhere,orbycopyingyourtext,selectpasteinthisboxandchoosetoretainonlytext.yourcontentistypedhere圖形面積最值問題：

由圖形面積公式直接計算列出關系式，再利用二次函數的性質分析、解決問題.利用二次函數解決利潤問題的一般步驟：①審清題意，理解問題；②分析問題中的變量和常量以及數量之間的關系；③列出函數關系式；④求解數學問題；⑤求解實際問題.