臺州市2025屆高三第二次教學質量評估試題數學2025.4命題：葉挺（三門縣教師發展中心）閆大貴（溫嶺中學）審題：范偉峰（天臺中學）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知圓M：，則圓心坐標和半徑分別為（）A.，4 B.，4 C.，2 D.，2【答案】D【解析】【分析】利用給定圓的方程直接求出圓心坐標及半徑即得.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為.故選：D2.已知等差數列的公差，，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，用公差表示，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】等差數列的公差，由，得，解得，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為2.故選：B3.若隨機變量，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態密度曲線的對稱性可求得結果.【詳解】由可得，即，因為隨機變量，且，故.故選：B.4.已知復數，（，i為虛數單位），則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用復數模的意義，結合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】復數，，則，解得，所以“”是“”的充要條件.故選：C5.已知一個盒子里有4個大小形狀完全相同的小球，其中2個紅球，2個黑球，現從中任取兩球，若已知一個是紅球，則另一個也是紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設事件A表示：在所取的球中有一個是紅球，事件B表示：另一個也是紅球，分別求出和，利用條件概率能求出在所取的球中有一個是紅球的情況下，另一個也是紅球的概率.【詳解】設事件A表示：在所取的球中有一個是紅球，事件B表示：另一個也是紅球，則，，已知一個是紅球的情況下，另一個也是紅球的概率為：.故選：A.6.已知，若函數既有極大值又有極小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，分析可知，關于的方程有兩個不等的正根，根據二次方程根的分布可得出關于實數的不等式組，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】因為函數的定義域為，所以，因為函數既有極大值，又有極小值，則關于的方程有兩個不等的正根、，所以，，解得，因此，實數的取值范圍是.故選：C.7.已知某個正三棱臺的上、下底面面積分別為和，高為6，則該正三棱臺的外接球半徑為（）A.4 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】分別求得上下底面所在平面截球所得圓的半徑，找到球心，求得半徑，再由球的表面積公式可得結果.【詳解】如圖所示，分別為上下底面的外心，則外接球球心在線段上，連接并延長交于，連接并延長交AB于D，設等邊三角形的邊長為，根據正三角形面積公式，∴，，設等邊三角形的邊長為，根據正三角形面積公式，∴，C=CD=，則，設正三棱臺的外接球的半徑,得，解得，即.故選：B.8.已知，為雙曲線C：的左、右焦點，過作直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點，且，，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，根據雙曲線定義表示，在中利用余弦定理可得，在中利用余弦定理可得的關系，即可得到雙曲線離心率.【詳解】由雙曲線定義得，，，設，則由圖，，在中，由余弦定理得，解得，∴.在中，由余弦定理得，∴，故離心率故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是定義域為R且周期為2的函數，其部分圖象如圖所示，則下列選項對恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】結合周期為2，可知函數在R上的圖象，可判斷A選項；由圖象結合對稱軸知識，可以判斷B選項；C結合單調性可判斷；D選項，結合函數構造，最值關系及周期、對稱關系可判別.【詳解】A選項：由已知，函數是定義域為R且周期為2，則將的圖象往左和往右復制延伸可得的圖象，可知函數關于y軸對稱，為偶函數，A選項正確；B選項：由圖象可知為函數圖象的對稱軸，故，B選項正確；C選項：令，則，又，則恒成立，即單調遞增，當時，，即，由圖象可知，在時，單調遞增，，時，單調遞減，，C選項錯誤；D選項：由圖象可知，在時，，，令，則，在該區間單調遞增，且，則，滿足，則當時，，單調遞減，，當時，，單調遞增，，則，，即，即，令，該函數周期，且關于軸對稱，則在R上恒成立，D選項正確.故選：10.已知，，，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是 B.的最大值為30C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】利用向量模的三角不等式（當且僅當同向時時取等號）用該不等式求解的最大值，把首尾順次連接構成封閉三角形時，是最小值，利用向量數量積化簡分析最值，利用向量同向時數量積取得最大值，反向或特殊位置時即可求得最小值.【詳解】對于選項A：由向量模長的三角不等式，當且僅當同向時，取得最大值9；當這三個向量當首尾順次連接構成封閉三角形時，，模長為0，由于長度為2，3，4滿足任意兩邊之和大于第三邊，所以這樣的三角形是存在的，故的取值范圍是[0，9]，故選項A正確.對于選項B，，當同向時，，的最大值為，B選項正確.對于選項C，D，，設，則上式為①，當與反向時，，所以代入①式得，所以當時，取得最小值為，此時，所以，這種可能性是存在的，故選項C是正確的，選項D是錯誤的.故選：ABC11.如圖，是由兩個平行平面截半徑為2cm且足夠高的圓柱體所得的幾何體，截面與圓柱體的軸成45°，上、下截面間的距離為.某高中數學興趣小組對該幾何體進行了探究，得出下列四個結論，其中正確的是（）A.截口曲線的離心率為 B.該幾何體的體積為C.該幾何體的側面積為 D.該幾何體的上截面面積為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：求出長軸短軸長即可求得結果；對于選項B，C利用割補法將圖形等價于底面半徑為，高為的圓柱即可求得結果，對于選項D：利用橢圓的面積公式即可求得結果.【詳解】對于A：因為截面與圓柱體的軸成45°，且圓柱體底面半徑為，故截面橢圓長軸長為，短軸長為，故，故，故A錯誤；對于選項B：因為上、下截面間的距離為，所以，將該幾何體沿A點平行于圓柱底面切割補到以沿點B平行于圓柱底面的位置，則正好是以底面半徑為，高為的圓柱，則，故B正確；對于選項C：同樣以選項B的方法割補，側面積即為以底面半徑為2，高為2圓柱的側面，,故選項C正確；對于選項D：利用橢圓的面積公式：，故選項D正確，故選：BCD非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則=______．【答案】【解析】【分析】利用平方關系，結合余弦的兩角差公式即可求解.【詳解】由，平方可得，，兩式相加得：，故答案為：.13.如圖，已知在中，，，，是線段上的動點，、是線段上的動點（在的右側），且四邊形是正方形，則線段長度的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理可求得，設，則，，，然后在中，利用余弦定理結合二次函數的基本性質可求得的最小值.【詳解】在中，，，，由余弦定理可得，因為，則，設，則，，，由題意可得，即，可得，因為，則，在中，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，即的最小值為.故答案為：.14.已知集合，含兩個元素的集合．（1）若，則滿足條件的集合A的個數為______；（2）若，則滿足條件的不同的有序數對的個數為______．（結果均要化簡）【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據已知條件可得出.根據集合元素的性質設，則.依次列舉可得出取不同值時取值的情況，觀察可得出構成一個等差數列，根據等差數列前項和公式計算即可得出答案；（2）根據已知可得可知為4的整數倍.然后分為奇數、為2的奇數倍、為2的偶數倍，三種情況，分別求出滿足條件的個數，求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，.因為，所以.又，所以有.根據集合元素的無序性以及互異性，不妨設，則.當時，可取2，3，4，……，，共種可能；當時，可取3，4，……，，共種可能；當時，可取4，……，，共種可能；……當時，可取，，，，，共5種可能；當時，可取，，，共種可能；當時，可取，共種可能.易知1，3，5，……，，，構成了一個以1為首項，2為公差的等差數列，項數為項，和為.（2）由（1）知，.因為，可知為4的整數倍.①當為奇數時，應取2的奇數倍，顯然在，滿足條件有2，6，……，，有個.在，滿足條件有1，3，5，……，，有個.此時滿足條件的不同的有序數對的個數為；②當為2的奇數倍時，應取4的整數倍，顯然在，滿足條件的有4，8，……，，有個.在，滿足條件的有2，6，……，，有個.此時滿足條件的不同的有序數對的個數為；③當為2的偶數倍，即4的整數倍時，應取4的整數倍，且，顯然在，滿足條件的有4，8，……，，有個.在，滿足條件的有4，8，……，，且，有個.此時滿足條件的不同的有序數對的個數為.綜上所述，滿足條件的不同的有序數對的個數為.故答案為：；.【點睛】方法點睛：對于參數較多的時候，常采用分類討論固定一個參數的取值，結合已知分析另外參數的取值情況.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.某市為了推廣垃圾分類，在全市范圍內開展了一系列宣傳活動.為了評估宣傳效果，市環保部門隨機抽取了1000名市民進行調查.假設該市成年人口為100萬，且調查結果可以代表全市成年人口的情況.調查結果如右：了解情況非常了解一般了解不了解人數（名）580320100（1）從該市成年人口中隨機抽取1人，求其對垃圾分類知識“不了解”的概率；（2）該市環保部門計劃對“不了解”垃圾分類知識的市民進行重點宣傳.假設經過重點宣傳后，“不了解”的市民中有50%轉變為“一般了解”，有20%轉變為“非常了解”，其余保持不變.經過重點宣傳后，從該市成年人口中隨機抽取3人，記X為其中對垃圾分類知識“非常了解”的人數，求X的分布列及數學期望.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據古典概型的概率公式計算即可得出結果；（2）先求出重點宣傳后“非常了解”的概率，再根據二項分布的性質確定X的分布列和數學期望，即可求得結果.【小問1詳解】已知隨機抽取了1000名市民進行調查，其中“不了解”的人數為100名，根據古典概型概率公式可得，所以從該市成年人口中隨機抽取1人，對垃圾分類知識“不了解”的概率.【小問2詳解】原來“不了解”的市民占比為0.1，“非常了解”的市民占比為，“一般了解”的市民占比為，經過重點宣傳后，“不了解”的市民中有轉變為“一般了解”，有轉變為“非常了解”，其余保持不變，所以重點宣傳后“非常了解”的概率為.從該市成年人口中隨機抽取3人，記X為其中對垃圾分類知識“非常了解”的人數，因為每次抽取是相互獨立的，且抽取到“非常了解”的概率都為0.6，所以，根據二項分布的概率公式.，，，.所以X的分布列為：01230.0640.2880.4320.216因為，根據二項分布的數學期望公式可得.16.已知四棱錐，底面ABCD是直角梯形，側面PAD是等邊三角形，，，AD=2，BC=1，，M是PD的中點.（1）求證：直線平面；（2）當二面角的大小為時，求直線CM與平面ABCD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點E，連接得到為二面角的平面角，再建立空間直角坐標系利用向量法即可求得結果.【小問1詳解】如圖，取的中點N，連接，又M是PD的中點，則且，又因為，AD=2，BC=1，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故,因為平面,平面,所以直線平面【小問2詳解】取的中點E，連接,因為三角形為等邊三角形，所以,且且，所以四邊形為平行四邊形，,因為，所以，所以為二面角的平面角，所以,，所以三角形為等邊三角形，因為平面,平面，所以平面,作于點O，因為平面，所以,又因為平面,平面，所以平面，如上圖所示，以O為坐標原點，以OC為x軸，以平行于AD為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，則,,顯然平面的法向量為，設直線CM與平面ABCD所成角為，則，故直線CM與平面ABCD所成角的正弦值為.17.已知數列和滿足，，且，．（1）求數列和的通項公式；（2）求的值.（其中表示不大于的最大整數，如）【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知條件得出，可知數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求出數列的通項公式，進而得出，利用前項和與通項的關系可求出數列的通項公式；（2）由放縮法得出，當時，，結合放縮法得出的范圍，進而可得出的值.【小問1詳解】由可得，且，所以，數列是首項和公比都為的等比數列，所以，，故，由已知，可得①，當時，則有②，①②得，解得，也滿足，故對任意的，.【小問2詳解】因為，所以，，另一方面，當時，，所以，，所以，，又因為，因此，.18.已知拋物線：的焦點為，直線l與拋物線交于A，B兩點，且為線段AB的中點．（1）求拋物線的標準方程；（2）求直線l的方程；（3）過點作拋物線的兩條切線，分別交l于C，D兩點，求面積的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據拋物線的焦點坐標求得，即可求解；（2）根據點差法，結合斜率公式即可求解直線的斜率，進而可判斷直線過焦點，由焦點弦公式即可求解；（3）設設拋物線的切線方程為，聯立直線與拋物線得交點坐標關系，設的方程為，聯立，求出、，進而求得，利用點到直線的距離公式求出點到直線線的距離，根據三角形面積公式列關系利用導數求出最值即可.【小問1詳解】因為拋物線：的焦點為，所以，所以拋物線.【小問2詳解】由題易知直線的斜率存在．設，則可得．因為線段的中點為，所以，所以，則的方程為，即．【小問3詳解】設拋物線切線方程為，，即，由，可得，，設的方程為，聯立，，同理，，點到直線線的距離，所以，令，因為，則，，，當