試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年九年級中考數學壓軸題訓練二次函數與線段周長綜合1．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．點是第一象限內拋物線上的一個動點，過點作直線軸于點，交直線于點．(1)求拋物線的函數表達式；(2)求線段的最大值；(3)是否存在以點、、為頂點的三角形與相似，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．2．點、、的坐標為分別，拋物線經過這三點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點，是拋物線上的兩個動點，且點在直線下方．①如圖1，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，連接，，，猜想與的數量關系，并說明理由；②如圖2，點在直線上，且橫坐標為，過點作軸于點，求線段長度的最大值．3．如圖，已知拋物線L：經過點，．(1)求的值；(2)連接，交拋物線：的對稱軸于點．①求點的坐標；②將拋物線向左平移個單位得到拋物線．拋物線的對稱軸交拋物線于點，拋物線的對稱軸交拋物線于點．當時，求的值．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的表達式；(2)點F是直線上方拋物線上的一動點，過點F作，交于點D，過點F作y軸的平行線交直線于點E，過點D作，交于點G，求的最大值及此時點E的坐標；(3)在（2）問中取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移5個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點N，使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是矩形，直接寫出所有符合條件的點N的坐標．5．如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線經過點A、B．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是第一象限內拋物線上的一個動點，求點P到直線的最大距離；(3)如圖2，將拋物線在直線上方的部分沿翻折得到“心形圖”（包含A、B兩點），若直線與該圖形有交點，求m的取值范圍．6．已知拋物線與軸交于，兩點，點在點的左側，與軸交于點．(1)直接寫出點坐標，點坐標；(2)求拋物線頂點的坐標；(3)如圖1，點是拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，且點在第一象限內，過點作軸的平行線交拋物線于點，作軸的平行線交軸于點，過點作軸，垂足為點，當四邊形的周長最大時，求點的坐標；(4)如圖2，將沿翻折得到，與軸交于點，在對稱軸上找一點，使得是直角三角形，直接寫出所有符合條件的點的坐標．7．如圖，拋物線交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸正半軸于點C，，點P在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)連接，將線段繞點A逆時針旋轉，點P恰好落在y軸上，求P點坐標．(3)當時，函數的最大值是α，最小值是β，，求t的值．8．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于兩點，與軸交于點，拋物線的頂點坐標為，連接．(1)求拋物線的表達式；(2)判斷的形狀，并說明理由；(3)點是線段的中點，點是線段上一點（不與重合），連接，一動點從點出發，沿線段以每秒1個單位的速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到點后停止．當點的坐標是多少時，點在整個運動過程中用時最短，請直接寫出最短時間和點的坐標．9．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線上的一動點．(1)求該拋物線所對應的函數解析式；(2)如圖1，當點P在直線上方時，過點P作y軸的平行線交直線于點E．①求面積的最大值；②點M是平面直角坐標系內一點，是否存在點P，使得以點B，E，P，M為頂點的四邊形是菱形，若存在，請求出所有點M的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點D是拋物線的頂點，過點D作交拋物線于點Q，過點D作于點H，請直接寫出點H到拋物線對稱軸距離的最大值．10．如圖，拋物線經過，兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線解析式；(2)點P是拋物線對稱軸上一點，當的周長最小時，求點P的坐標．11．如圖1，已知拋物線交x軸于點A，B（A在B點左側），交y軸負半軸于點C，．

(1)求該拋物線的解析式；(2)已知直線交x軸于點D，交y軸于點E，過拋物線上一動點P作于Q，求的最小值；(3)如圖2，將拋物線L向上平移個單位長度得到拋物線，拋物線與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線于另一點D．F為拋物線的對稱軸與x軸的交點，P為線段上一點，若與相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應點P的坐標．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求該拋物線的函數表達式；(2)若點是直線下方拋物線上的一動點，過點作軸的平行線交軸于點，過點作軸的平行線交于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使得與相似；若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．13．有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“樂學四邊形”，如菱形，正方形等都是“樂學四邊形”，這一組相等的鄰邊叫做“善思線段”．拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D．(1)當，請判斷四邊形是否為“樂學四邊形”，如果是，請說明理由并指出“善思線段”，如果不是，請說明理由．(2)在第（1）問的條件下，試探究在第一象限內，拋物線上是否存在一點E使得，若存在，請求出點E的橫坐標，若不存在，請說明理由．(3)四邊形為“樂學四邊形”，且．拋物線還滿足：①；②為等腰直角三角形；點是拋物線上任意一點，且．若恒成立，求m的最小值．14．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的頂點為點，對稱軸與軸交于點．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的對稱軸及點關于對稱軸的對稱點的坐標；(2)點是線段上的一個點，過點作x軸的垂線，與拋物線交于點．①若點在對稱軸上，判斷此時點是否為線段的中點，說明理由；②當最大時，求點的坐標；(3)將線段先向右平移1個單位長度，再向上平移3個單位得到線段，若拋物線與線段只有一個交點，請直接寫出的取值范圍．15．在平面直角坐標系中，點和點都在拋物線上，點在拋物線對稱軸的右側，且點關于點的對稱點恰好落在軸上，設點的橫坐標為．(1)當時，求點的縱坐標；(2)若點的縱坐標為，求點的坐標；(3)當點不在軸上時，過點作軸于點．①當點在軸上方，且拋物線在內部（包括邊界）的最高點和最低點的縱坐標之差為時，求點的坐標；②當點在拋物線對稱軸右側時，直線交直線于點，點是點關于軸的對稱點．若的周長是周長的倍，直接寫出的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年九年級中考數學壓軸題訓練——二次函數與線段周長綜合》參考答案1．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）先求出，再求出直線的解析式為，設，則，求出，利用二次函數的性質即可求解；（3）先求出，根據以點、、為頂點的三角形與相似，分或，兩種情況討論，設，則，求出，建立方程求解即可．【詳解】（1）解：將、兩點代入拋物線，則，解得：，即拋物線解析式為：；（2）解：將代入中，則，∴，又∵，設直線的解析為，則，解得：，∴直線的解析為，設，則，∴，∵，且，∴當時，線段有最大值為；（3）解：存在以點、、為頂點的三角形與相似，理由如下：∵，∴∴，∵軸，∴，∴，∵以點、、為頂點的三角形與相似，∴或，∵，.∴，設，則，∴，∴或，解得(P與C重合，舍去)或或，當時，，當，時，，,∴.P的坐標為或．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，相似三角形性質與判定，等腰直角三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是分類討論思想的應用，2．(1)(2)①，理由見解析；②【分析】本題考查了二次函數的綜合問題，面積問題以及線段最值問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵；（1）待定系數法求解析式，即可求解；（2）①先求得直線的解析式為，進而表示出，根據點的坐標求得到的距離，進而根據三角形的面積公式，即可求解；②先求得直線的解析式，進而求得的長，根據二次函數的性質，即可求解．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為代入得，解得：∴拋物線的解析式為（2）①，理由如下：設直線的解析式為，代入，∴解得：∴直線的解析式為∵，軸，∴，，∴，，∵，∴點到的距離為，∵，，，∴到的距離為，∴，，∴；②∵，，則，設直線的解析式為∴解得：∴∵的橫坐標為∴∵∴當時的最大值為3．(1)，(2)①；②【分析】（）利用待定系數法解答即可；（）由（）可得二次函數解析式，即得拋物線?的對稱軸為直線，，利用待定系數法求出直線的解析式，再把代入計算即可求解；（）根據平移可得的解析式為，進而可求出點的坐標，最后根據列出方程解答即可求解；本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的平移，二次函數的幾何應用，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵拋物線L：經過點，，∴，解得，即，；（2）解：①∵，，∴拋物線的解析式為，∴拋物線?的對稱軸為直線，，設直線的解析式為，把，代入得，，解得，∴直線的解析式為，把代入，得，∴；②∵，∴將拋物線向左平移個單位得到拋物線，的解析式為，∴拋物線的對稱軸為直線，把代入得，，∴，把代入得，，∴，∵，∴，整理得，，解得，（不合題意，舍去），∴的值為．4．(1)(2)的最大值為，此時點(3)或或或【分析】本題考查了二次函數綜合，解直角三角形，熟練利用分類討論思想是解題的關鍵．（1）由待定系數法即可求解；（2）設，利用表示出的長，即可求解；（3）當是對角線時，由勾股定理和中點坐標公式，列出方程組即可求解；當是邊時，同理可解．【詳解】（1）解：拋物線交軸于兩點，設拋物線解析式為，把代入拋物線可得，，解得，拋物線解析式為；（2）解：設直線的解析式為，把，代入可得，解得，直線的解析式為，在中，，，如圖，軸，，設點，則點，則，則，，，故當時，有最大值，為，此時點；（3）解：將該拋物線沿射線方向平移5個單位長度，則相當于向右平移了4個單位，向下平移了3個單位，則新拋物線的對稱軸為直線，設點，如圖，當為對角線時，存在兩種情況，可得，，解得，則，的中點為，即，設，則可得，解得，當時，，解得，此時；當時，，解得，此時；如圖，當為邊時，存在兩種情況，當在下方時，當時，，，，，，根據勾股定理可得，，，根據中點公式可得；如圖，當為邊時，當在上方時，可得，根據勾股定理可得，，，根據中點公式可得；綜上，或或或．5．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．（1）由待定系數法即可求解；（2）證明，得到，即可求解；（3）根據“心形圖”關于直線對稱可知：當時，直線與“心形圖”左下方只有一個交點，由圖可知，當時，直線與“心形圖”有交點，即可求解．【詳解】（1）解：一次函數與軸分別交于點、兩點，當時，，則當時，可得，解得，則，將，代入拋物線，可得：，解得，拋物線的解析式為：；（2）解：設，，過點作于點，過點作軸交于點，，，，，，，，，，，，，，當時，最大為，點到直線的最大值為；（3）解：當直線與拋物線只有一個交點時，令，則，，，當時，直線與“心形圖”右上方只有一個交點，此時，直線解析式的值與直線解析式的值相同，為，直線與直線平行，根據“心形圖”關于直線對稱可知，上方直線與下方直線關于直線對稱且平行于直線，上方直線到直線的距離與下方直線到直線的距離相等，根據平行線分線段成比例可得，故當時，直線與“心形圖”左下方只有一個交點，由圖可知，當時，直線與“心形圖”有交點．6．(1)，；(2)；(3)；(4)，，，．【分析】（1）求出即可得到答案；（2）將拋物線化為頂點式即可得到答案；（3）證明四邊形是矩形，得到四邊形的周長表達式即可得到答案；（4）證明，分三種情況進行討論即可．【詳解】（1）解：與軸交于點，，故拋物線的解析式為：，將代入，即，解得，，；（2）解：，故的坐標為；（3）解：由（2）知，拋物線對稱軸為，設，軸，，過點作軸的平行線交拋物線于點，作軸的平行線交軸于點，過點作軸，四邊形是矩形，矩形的周長，當時，四邊形的周長最大，此時的坐標為；（4）解：過點作對稱軸于，過點作軸于，，由翻折得，，，．，，對稱軸于，軸，，，，，，，，，，，，，直線的解析式為，，設，，，，分三種情況：①當時，，，解得，；②當時，，，解得，；③當時，，，解得，，，所以，，．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，待定系數法求函數解析式，翻折的性質，全等三角形的判定和性質，兩點間的距離公式以及勾股定理，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．7．(1)(2)點P的坐標為(3)或【分析】（1）令，求出點的坐標，再根據，求出點的坐標，代入，即可求解；（2）設點，由旋轉的性質可得，過點作垂直于軸，交軸于點H，證明，得出，則，解答即可；（3）分三種情況討論，由二次函數的性質可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得，∴，∵，∴，將代入中，得，∴拋物線的解析式為．（2）解：設點，由旋轉的性質可得，過點作垂直于軸，交軸于點H，∵，則；∵，則，∴，∴，∴，則，解得：或，故點P的坐標為；（3）解：根據（1）可知拋物線的解析式為，故拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，函數圖象開口向上，在頂點處取得最小值為；∵當時，函數的最大值是α，最小值是β，，①當對稱軸在左側，即時，最小值為，最大值為，此時，解得：（舍去）；②當對稱軸在右側，即，時，最小值為，最大值為，此時，解得：（舍去）；③當對稱軸在之間，即，即時，此時最小值為，最大值為或，則或，解得：或（舍去）或（舍去）或；綜上，或．【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，涉及了待定系數法求函數解析式、二次函數的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．8．(1)(2)直角三角形；理由見解析(3)秒，【分析】（1）設拋物線的表達式為，再將點代入即可得解；（2）說明，即可求解；（3）過點作交軸于點，過點作交于點，則此時運動過程中用時最短，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為，∴設該拋物線的表達式為，∵拋物線與軸交于點，∴把點代入，得，解得，∴該拋物線的表達式為；（2）是直角三角形．理由如下：∵拋物線與軸分別交于兩點，∴當時，可得，解得，，∴，，∴，，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）由（2）可知，，，，且，∴，，過點作交軸于點，過點作交于點，則此時運動過程中用時最短，如下圖，∵，∴，∴，∴，∴運動時間為：，此時運動時間最短，過點作于點，設直線的表達式為，將點，代入，可得，解得，∴直線的表達式為，∵，，，∴，設直線的表達式為，將點代入，可得，∴直線的表達式為，當時，可有，解得，∴，∵，∴，，∴，過點作軸于點，∵，∴，∴，∴，即此時運動過程中用時最短為秒，∵在中，點是線段的中點，，，∴點的坐標為，∴，∴，設直線的表達式為，將點，代入，可得，解得，∴直線的表達式為，設點，∴，解得（舍去）或，∴，即點的坐標是時，點在整個運動過程中用時最短，最短時間為秒．【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數和一次函數的解析式、拋物線與坐標軸的交點坐標問題、兩點間的距離、勾股定理及其逆定理、銳角三角函數、垂線段最短、平行線之間的距離處處相等等知識，利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合是解題的關鍵．9．(1)(2)①；②點M的坐標為或或(3)【分析】（1）利用待定系數法求函數解析式即可；（2）①先求出直線的解析式，然后設設，則，即可表示并配方得到最值即可；②分為，，三種情況，利用菱形的性質解題即可；（3）過點作軸，過點作軸,交過點作軸的平行線于點，，則，即可得到，然后利用根與系數得的關系解題即可．【詳解】（1）∵拋物經過點，，∴解得∴該拋物線的函數解析式為；（2）①∵點，，設直線的解析式為，把代入得，∴直線的解析式為.設，則，∴∴，∴當時，；②∵拋物線與x軸交于A、兩點，令，則，解得或，∴，∵，，∴，∵，∴.以下分三種情況討論：（i）如答圖9-1，當四邊形為菱形時，此時，又∵，∴垂直平分，∴點P與點E關于x軸對稱∴，即解得，(舍去)，∴，，∴.（ii）如答圖9-2，當四邊形為菱形時，此時，∴.∴點P與點A重合∴，，∴.（iii）如答圖9-3，當四邊形為菱形時，此時，∵，，∴，∴，解得，(舍去)，∴，，∴.綜上，點M的坐標為或或.（3）如圖，過點作軸，過點作軸,交過點作軸的平行線于點，，則，∴∴，∴，，，已知，則有，整理得：①，設直線的解析式為，聯立拋物線，消去y可得：，由韋達定理得，，代入①得，整理得，∴直線為，∴直線過定點，∴，∵，∴點H的軌跡是以為直徑的圓，點H到拋物線對稱軸距離的最大值為．【點睛】本題考查二次函數的綜合問題，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握待定系數法是解題的關鍵．10．(1)(2)【分析】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，一次函數的圖象與性質，軸對稱的性質等知識點，依據軸對稱路徑最短問題確定出點P的位置是解題的關鍵．（1）根據待定系數法即可求得；（2）連接交拋物線的對稱軸于點P，連接，依據軸對稱圖形的性質可得到，則的周長，故當點在一條直線上時，的周長最小值，然后求得直線的解析式，從而可得到點P的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線經過兩點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）∵當時，，∴，∵點P是拋物線對稱軸上一點，∴，∴．∴當點在一條直線上時，有最小值，即的長度．如圖，連接交拋物線的對稱軸于點P，又∵為定值，∴此時，的周長最小．設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，將代入得：，∴點P的坐標為，即當的周長最小時，點P的坐標為．11．(1)(2)(3)當，點P的坐標為或；當，此時點P的坐標為或【分析】（1）將代入中，利用待定系數法即可求解；（2）設點的坐標為，由題意可得，，則，過點作軸，交于，則點的坐標為，可得，由平行可知，則，根據得函數關系式，即可求解；（3）設拋物線的解析式為，可得點C，D的坐標，設，則，，當時，可得；當時，，再分兩種情況：當方程①有兩個相等實數根時；當方程①有兩個不相等的實數根時，是方程①的一個根，即可求解．【詳解】（1）解：將代入中，可得：，解得：，∴該拋物線的解析式為；（2）設點的坐標為，對于直線，令，則，即：，令，則，即：，∴，，則，過點作軸，交于，則點的坐標為，∴，∵軸，，∴，則，∴，即：當時，取得最小值，最小值為；（3）由平移可知，拋物線的解析式為；∴點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，∴，∵為線段上一點，，設點的坐標為，則，，∵∴當時，，∴，∴；當時，，∴，∴；當方程①有兩個相等實數根時，，解得：或，∵，∴，∴此時方程①的根為，方程②有一個實數根，∴，點P的坐標為或；當方程①有兩個不相等的實數根時，是方程①的一個根，把②代入①，得：，解得：或，∵，∴，此時，方程①有兩個不相等的實數根，方程②有一個實數根，∴，此時點P的坐標為或；綜上，當，點P的坐標為或；當，此時點P的坐標為或．【點睛】本題主要考查二次函數的應用，涉及到待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質，得到是解題的關鍵；（3）小題中運用分類討論思想進行求解是關鍵．12．(1)拋物線的解析式為(2)當時，有最大值，最大值為8，此時(3)存在，Q的坐標為或．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）首先求出直線的解析式為，設，表示出，然后利用二次函數的性質求解即可；（3）根據題意分兩種情況∶當時，當時，然后分別根據相似三角形的性求解即可．【詳解】（1）將，，代入得，，解得∴拋物線的解析式為；（2）設直線的解析式為為∵，∴解得∴直線的解析式為，設，∵過點作軸的平行線交于點，∴點F的縱坐標為，將代入得，得，∴，∴，∴∵，∴當時，有最大值，最大值為8，此時；（3）如圖所示，當時，

∵∴拋物線對稱軸為∵直線的解析式為，∴將代入∴∴設∴，∵∴∴解得∴；如圖所示，當時，

∵，，∴，∵∴∴解得∴綜上所述，點的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，線段最值問題，相似三角形存在性問題，勾股定理等，掌握相關解題方法是解題的關鍵．13．(1)四邊形是“樂學四邊形”，理由見解析，是“善思線段”(2)存在，點E的橫坐標為(3)m的最小值為【分析】（1）先求得，，，，，，由勾股定理得，運用新定義“樂學四邊形”，“善思線段”即可得出答案．（2）過點作軸于點，連接，，利用，求出，令，得，解方程即可．（3）在拋物線中，頂點的坐標為，，，根據．可得①，根據為等腰直角三角形，可得②，聯立①②，且，解得，，得出拋物線解析式為，進而可得，運用二次函數性質可得：當時，有最大值，再結合題意求解即可得出答案．【詳解】（1）解：四邊形是“樂學四邊形”，，是“善思線段”．理由如下：當，，時，，令，得，解得：，，令，得，，，，，，，頂點，，，，四邊形是“樂學四邊形”，，是“善思線段”．（2）解：存在．點的橫坐標為．過點作軸于點，連接，，則，，，點在第一象限內，點的縱坐標為2，令，得，解得：，（舍去），點的橫坐標為．（3）解：在拋物線中，頂點的坐標為，，，．．①，為等腰直角三角形，過點作于點，，在中，令，得，解得：，，，，，，，，②，聯立①②，且，得，，拋物線解析式為，，當時，有最大值，恒成立，∴t最大值∴m的最小值為【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數圖象和性質，函數的思想求最值，新定義，等腰直角三角形性質，勾股定理等，解題關鍵是熟練掌握二次函數圖象和性質，理解并運用新定義．14．(1)，直線，(2)①點是線段的中點，理由見解析；②(3)或或【分析】（1）將點代入可求，則，拋物線的對稱軸為直線，可求，進而可得點關于對稱軸的對稱點的坐標；（2）①待定系數法求直線的解析式，進而可求的坐標為，