6/24廣州市越秀區(qū)2024年八年級《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共有10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：由圖可知，選項A是軸對稱圖形，B、C、D不是軸對稱圖形．故選：A．【點評】本題考查的是軸對稱圖形，熟知如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱是解題的關(guān)鍵．2．（3分）要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足的條件是（）A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2，故選：B．【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．3．（3分）已知點A（a，1）與點B（﹣2，b）關(guān)于x軸對稱，則ab+1的值為（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”求出a、b的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得：a＝﹣2，b＝﹣1，故ab+1＝（﹣2）0＝1．故選：C．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)6÷a2＝a3 B．（x+y）2＝x2+y2 C．3x（x﹣y）＝3x2﹣y D．（a3）2＝a6【分析】根據(jù)冪的乘除法則，單項式乘單項式法則，多項式乘多項式法則一一計算判斷即可．【解答】解：A、a6÷a2＝a4，本選項錯誤，不符合題意；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2，本選項錯誤，不符合題意；C、3x（x﹣y）＝3x2﹣2xy，本選項錯誤，不符合題意；D、（a3）2＝a6，本選項正確，符合題意．故選：D．【點評】本題考查整式是混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握去括號法則，合并同類項法則．5．（3分）若一個多邊形的每個內(nèi)角都為144°，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【分析】先求出每一個外角的度數(shù)，再根據(jù)邊數(shù)＝360°÷一個外角的度數(shù)計算即可．【解答】解：180°﹣144°＝36°，360°÷36°＝10，故這個多邊形的邊數(shù)是10．故選：D．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，求出每一個外角的度數(shù)是關(guān)鍵．6．（3分）如果把分式中的x，y都變?yōu)樵瓉淼?倍，那么分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．不變 C．變?yōu)樵瓉淼?D．變?yōu)樵瓉淼摹痉治觥扛鶕?jù)分式的性質(zhì)計算即可．【解答】解：＝＝×，即分式的值變?yōu)樵瓉淼?，故選：C．【點評】本題考查分式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．7．（3分）一個正方形按如圖所示的方式分割成若干個正方形和長方形，據(jù)此，下列四個等式中正確的是（）A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝2a2+2b2+2c2 C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+bc+ac D．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac【分析】從“整體”和“部分”分別用代數(shù)式表示圖中的面積即可．【解答】解：圖中是邊長為a+b+c，因此面積為（a+b+c）2，圖2中9個部分的面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故選：D．8．（3分）如圖，已知點D在△ABC的邊BC上，以AD為邊作△ADE，若BC＝DE，∠1＝∠2，則添加條件（），使得△ABC≌△ADE．A．AB＝AD B．AC＝AE C．∠2＝∠3 D．AC⊥DE【分析】由全等三角形的判定，即可判斷．【解答】解：因為∠1＝∠2，所以∠BAC＝∠DAE，A、AB＝AD，∠BAC和∠DAE分別是BC和DE的對邊，不能判定△ABC≌△ADE，故A不符合題意；B、AC＝AE，∠BAC和∠DAE分別是BC和DE的對邊，不能判定△ABC≌△ADE，故B不符合題意；C、由∠2＝∠3，∠AFE＝∠CFD，得到∠E＝∠C，由AAS判定△ABC≌△ADE，故C符合題意；D、由AC⊥DE，不能推出△ABC和△ADE的角的關(guān)系，不能判定△ABC≌△ADE，故D不符合題意．故選：C．9．（3分）如圖，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧交OA于點M，OB于點N，再分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，連接OP，過P作PF⊥OA于點F，PE∥OA交OB于點E．若PF＝a，OF＝b，那么△EOP的面積為（）A． B．a(chǎn)b C．a(chǎn)+b D．2ab【分析】如圖，過點O作OH⊥PE于點H．證明PE＝PO＝2OF＝2b，OH＝PF＝a，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點O作OH⊥PE于點H．由作圖可知OP平分∠AOB，因為∠AOB＝120°，所以∠POF＝∠AOB＝60°，因為PF⊥OA，所以∠PFO＝90°，所以∠OPF＝30°，所以O(shè)P＝2OF＝2b，因為OH⊥PE，PE∥OA，所以O(shè)H⊥OA，所以∠OHP＝∠HOF＝∠OFP＝90°，所以四邊形OFPH是矩形，所以O(shè)H＝PF＝a，因為PE∥OA，所以∠EPO＝∠POA＝∠PEO，所以PE＝PO＝2b，所以S△POE＝?PE?OH＝×2b×a＝ab．故選：B．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點，將△BEF沿EF折疊得△PEF，連結(jié)AP，CP，過點P作PD⊥AC于點D，點D恰好是AC的中點．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC，則∠PFC＝（）A．100° B．90° C．80° D．60°【分析】延長AP交BC于點G，連接BP，由AB＝AC，∠BAC＝50°，求得∠ACB＝∠ABC＝65°，則∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝25°，由AG垂直平分BC，得PB＝PC，由PD垂直平分AC，得PA＝PC，則∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝40°，由折疊得PF＝BF，則∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝80°，于是得到問題的答案．【解答】解：延長AP交BC于點G，連接BP，因為AB＝AC，∠BAC＝50°，所以∠ACB＝∠ABC＝×（180°﹣50°）＝65°，因為AP平分∠BAC，所以∠PAC＝∠PAB＝∠BAC＝×50°＝25°，BG＝CG，所以AG垂直平分BC，所以PB＝PC，所以PD⊥AC于點D，點D是AC的中點，所以PD垂直平分AC，所以PA＝PC，所以∠PCA＝∠PAC＝25°，所以∠PBF＝∠PCB＝∠ACB﹣∠PCA＝65°﹣25°＝40°，由折疊得PF＝BF，所以∠BPF＝∠PBF＝40°，所以∠PFC＝∠PBF+∠BPF＝40°+40°＝80°，故選：C．二、填空題本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。11．（3分）分式方程＝的解是x＝5．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣2＝x+3，解得：x＝5，經(jīng)檢驗x＝5是分式方程的解．故答案為：x＝5【點評】此題考查了解分式方程，利用轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．12．（3分）前不久“未發(fā)先售”的華為手機Mate60Pro在全球引發(fā)拆解熱潮，9月4日，著名半導(dǎo)體行業(yè)觀察機構(gòu)Techlnsights發(fā)布的拆解報告顯示，華為Mate60Pro搭載的華為麒麟9000S芯片應(yīng)該達到或者接近7納米工藝制程.7納米也就是0.000000007米，用科學(xué)記數(shù)法表示0.000000007為7×10﹣9．【分析】將一個數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9，故答案為：7×10﹣9．【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AD，∠BAD＝30°，則∠ADC的度數(shù)為105°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB的度數(shù)即可解答．【解答】解：因為AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB，因為∠BAD＝30°，所以∠ABD＝∠ADB＝75°，所以∠ADC＝180°﹣∠ADB＝105°．故答案為：105°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩個底角相等是解題的關(guān)鍵．14．（3分）已知a+b＝7，ab＝2，則a2+b2＝45．【分析】把已知條件a+b＝7利用完全平方公式兩邊平方，然后再把ab＝2代入即可求解．【解答】解：因為a+b＝7，ab＝2，所以a2+2ab+b2＝49，即a2+2×2+b2＝49，解得a2+b2＝49﹣4＝45．故答案為：45．【點評】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．15．（3分）已知△ABC的三邊分別為3，a﹣2，7，且a為偶數(shù)，則代數(shù)式4a2b﹣3?（﹣a﹣1b3）的值為﹣32或﹣40．【分析】根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊”和“a為偶數(shù)”求得a的值；然后代入求值即可．【解答】解：根據(jù)題意，得7﹣3＜a﹣2＜7+3，解得6＜a＜12．又因為a是偶數(shù)，所以a的值為8或10．當a＝8時，4a2b﹣3?（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×8＝﹣32．當a＝10時，4a2b﹣3?（﹣a﹣1b3）＝﹣4a＝﹣4×10＝﹣40．綜上所述，代數(shù)式4a2b﹣3?（﹣a﹣1b3）的值為﹣32或﹣40．故答案為：﹣32或﹣40．【點評】此題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊解答．16．（3分）如圖，AD和CD分別為△ABC的兩個外角的平分線，過點D作EF∥AC分別交BA和BC的延長線于點E和F．給出以下結(jié)論：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正確的是②③④．【分析】由角平分線的定義及等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出答案．【解答】解：因為AD和CD分別為△ABC的兩個外角的平分線，所以∠EAD＝∠CAD，∠ACD＝∠FCD，因為EF∥AC，所以∠EDA＝∠CAD，∠FDC＝∠ACD，所以∠EAD＝∠EDA，∠FDC＝∠FCD，所以AE＝DE，DF＝CF，所以AE+CF＝ED+DF＝EF，故②正確；因為AB≠AC，EF∥AC，所以AE≠CF，所以ED≠DF，故①錯誤；因為AD和CD分別為△ABC的兩個外角的平分線，所以BD平分∠ABC，故③正確；所以∠ABD＝∠CBD，所以∠ADB＝∠EAD﹣∠ABD因為∠ACD+∠FCD＝∠ABC+∠BAC，所以2∠FCD＝2∠ABD+180°﹣2∠EAD，所以∠CDF＝∠ABD+90°﹣∠EAD，所以∠ADB+∠CDF＝∠EAD﹣∠ABD+∠ABD+90°﹣∠EAD＝90°，故④正確，故答案為：②③④．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程、或演算步驟.）17．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2．【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，點D是AB上的一點，DF交AC于點E，點E是DF的中點，F(xiàn)C∥AB．求證：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS證明：△ADE≌CFE．【解答】證明：因為FC∥AB，所以∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE與△CFE中，，所以△ADE≌△CFE（AAS）．【點評】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是關(guān)鍵，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS，ASA．19．（6分）已知：，①化簡A；②若x2﹣2x﹣4＝0．求A的值．【分析】①先根據(jù)分式的減法法則進行計算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再算乘法即可；②求出x2﹣2x＝4，再代入求出答案即可．【解答】解：①＝÷＝÷＝?＝＝；②因為x2﹣2x﹣4＝0，所以x2﹣2x＝4，所以原式＝＝1．【點評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC各頂點坐標分別為A（1，4），B（2，1），C（3，3）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A′B′C′；（2）在y軸上求作一點P，使得點P到點A，B的距離之和最?。痉治觥浚?）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）連接A'B，交y軸于點P，則點P即為所求．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．（2）如圖，連接A'B，交y軸于點P，連接AP，此時AP+BP＝A'P+BP＝A'B，為最小值，即點P到點A，B的距離之和最小，則點P即為所求．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，△ABC，△ADE都是等邊三角形．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求證：BD+CD＝AD．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，則∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，即可根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)得BD＝CE，所以BD+CD＝CE+CD＝DE＝AD．【解答】證明：（1）因為△ABC，△ADE都是等邊三角形，所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，所以∠BAD＝∠CAE＝60°﹣∠CAD，在△ABD和△ACE中，，所以△ABD≌△ACE（SAS）．（2）因為△ABD≌△ACE，所以BD＝CE，所以BD+CD＝CE+CD＝DE，因為AD＝DE，所以BD+CD＝AD．【點評】此題重點考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，推導(dǎo)出∠BAD＝∠CAE，進而證明△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．22．（10分）一輛汽車開往距離出發(fā)地120km的目的地，出發(fā)后第一小時內(nèi)按照原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛．設(shè)原計劃的行駛速度為xkm/h．（1）原計劃到達目的地所用的時間為h，實際用時為（1+）h；（2）若實際比原計劃提前20min到達，求這輛汽車原計劃到達目的地所用的時間．【分析】（1）由路程÷速度＝時間，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)實際比原計劃提前20min到達，列出分式方程，解方程，即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得：原計劃行駛的時間為h，實際用時為（1+）h，故答案為：，（1+）；（2）由題意得：1++＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意，所以＝＝2，答：這輛汽車原計劃到達目的地所用的時間為2h．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，AB＝AC，D為BA延長線上一點．（1）尺規(guī)作圖：過D作DE⊥BC，垂足為E，DE與AC相交于點F．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）求證：AD＝AF；（3）若F為AC的中點，求證：DF＝2EF．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）證明∠ADE＝∠AFD，可得結(jié)論；（3）證明HD＝HF，F(xiàn)H＝EF即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：因為DE⊥CB所以∠BED＝∠CED＝90°，所以∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠CFE＝90°，因為AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠BDE＝∠CFE，因為∠AFD＝∠CFE，所以∠ADE＝∠AFD，所以AD＝AF．（3）證明：過點A作AH⊥DF于點H，因為AD＝AF，所以HF＝HD，因為∠AHF＝∠CEF＝90°，∠AFH＝∠CFE，AF＝FC，所以△AHF≌△CEF（AAS），所以EF＝FH，所以DE＝2EF．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形，尋找全等三角形解決問題．24．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∠ABD＝30°，M為BD上的動點，連結(jié)AM，MC．（1）當AM⊥BD時，求AM；（2）當AB＝BM時，求證：AM＝CM；（3）求BM+2CM的最小值．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求出答案；（2）過點A作AE⊥BM于點E，MF⊥AC于點F，證出∠EAM＝∠DAM，證明△AEM≌△AFM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AF，證出AF＝CF，則可得出結(jié)論；（3）過點M作MG⊥AB于G，由直角三角形的性質(zhì)得出MG＝BM，BM+2CM＝2（MG+CM），則可求出答案．【解答】（1）證明：因為AM⊥BD，所以∠AMB＝90°，因為∠ABM＝30°，所以AM＝AB＝2；（2）證明：過點A作AE⊥BM于點E，MF⊥AC于點F，因為AB＝BM，∠ABD＝30°，所以∠BAM＝∠BMA＝75°，AE＝AB，所以∠EAM＝15°，因為∠BAD＝90°，所以∠DAM＝90°﹣75°＝15°，所以∠EAM＝∠DAM，又因為∠AEM＝∠AFM，AM＝AM，所以△AEM≌△AFM（AAS），所以AE＝AF，因為AB＝AC，所以AF＝AC，所以AF＝CF，又因為MF⊥AC，所以AM＝CM；（3）解：過點M作MG⊥AB于G，因為MG⊥AB，∠ABD＝30°，所以MG＝BM，所以BM+2CM＝2（BM+CM）＝2（MG+CM），所以當M，A，C三點共線時，即CM+MG＝AC，BM+2CM有最小值．所以BM+2CM＝2AC＝2×4＝8．【點評】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．25．（12分）如圖1，△ABC是等邊三角形，D為AC邊上一點，連結(jié)BD，點C關(guān)于BD的對稱點為點E，連結(jié)BE．（1）若AB是∠DBE的平分線，求∠ABD的度數(shù)；（2）如圖2，連結(jié)EA并延長交BD的延長線于點F，①求∠F的度數(shù)；②探究EA，AF和BF三者之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）設(shè)∠EBA＝∠ABD＝α，根據(jù)點C與點E關(guān)于BD對稱得出∠C