PAGEPAGE7函數與方程思想、數形結合思想【2024年高考考綱解讀】數學教學的最終目標，是要讓學生會用數學的眼光視察現實世界，會用數學的思維思索現實世界.數學素養(yǎng)就是指學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性實力，數學核心素養(yǎng)高于詳細的數學學問技能，具有綜合性、整體性和長久性，反映數學本質與數學思想，數學核心素養(yǎng)是數學思想方法在詳細學習領域的表現.二輪復習中假如能自覺滲透數學思想，加強個人數學素養(yǎng)的培育，就會在復習中高屋建瓴，對整體復習起到引領和導向作用.【高考題型示例】題型一、函數與方程思想在不等式中的應用函數與不等式的相互轉化，把不等式轉化為函數，借助函數的圖象和性質可解決相關的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數思想構造新函數，建立函數關系求解.例1.若0<x1<x2<1，則()A.>lnx2－lnx1B.<lnx2－lnx1C.D.答案C解析設f(x)＝ex－lnx(0<x<1)，則f′(x)＝ex－eq\f(1,x)＝eq\f(xex－1,x).令f′(x)＝0，得xex－1＝0.依據函數y1＝ex與y2＝eq\f(1,x)的圖象(圖略)可知兩函數圖象的交點的橫坐標x0∈(0，1)，因此函數f(x)在(0，1)上不是單調函數，故A，B選項不正確；設g(x)＝eq\f(ex,x)(0<x<1)，則g′(x)＝eq\f(exx－1,x2).又0<x<1，∴g′(x)<0，∴函數g(x)在(0，1)上是減函數.又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴，故選C.例2.已知定義在R上的函數g(x)的導函數為g′(x)，滿意g′(x)－g(x)<0，若函數g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且g(4)＝1，則不等式eq\f(gx,ex)>1的解集為________.答案(－∞，0)例3.已知f(t)＝log2t，t∈[eq\r(2)，8]，對于f(t)值域內的全部實數m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，則x的取值范圍是__________________.答案(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析∵t∈[eq\r(2)，8]，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).問題轉化為m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，當x＝2時，不等式不成立，∴x≠2.令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)).問題轉化為g(m)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2＋x－22>0，,3x－2＋x－22>0，))解得x>2或x<－1.例4.若x∈[－2，1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是______.答案[－6，－2]解析當－2≤x<0時，不等式轉化為a≤eq\f(x2－4x－3,x3).令f(x)＝eq\f(x2－4x－3,x3)(－2≤x<0)，則f′(x)＝eq\f(－x2＋8x＋9,x4)＝eq\f(－x－9x＋1,x4)，故f(x)在[－2，－1]上單調遞減，在(－1，0)上單調遞增，此時有a≤f(x)min＝f(－1)＝eq\f(1＋4－3,－1)＝－2.當x＝0時，不等式恒成立.當0<x≤1時，a≥eq\f(x2－4x－3,x3)，則f(x)在(0，1]上單調遞增，此時有a≥f(x)max＝f(1)＝eq\f(1－4－3,1)＝－6.綜上，實數a的取值范圍是[－6，－2].題型二、函數與方程思想在數列中的應用數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，可用函數的觀點去處理數列問題，常涉及最值問題或參數范圍問題，一般利用二次函數；等差數列或等比數列的基本量的計算一般化歸為方程(組)來解決.例5.已知{an}是等差數列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d等于()A.－eq\f(2,3)B.－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析設等差數列的首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10＝a1＋9d＝10，,S10＝10a1＋\f(10×9,2)d＝70，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝10，,2a1＋9d＝14，))解得d＝eq\f(2,3).例6.已知在數列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，則eq\f(an,an－1)的最大值為()A.－3B.－1C.3D.1答案C例7.在等差數列{an}中，若a1<0，Sn為其前n項和，且S7＝S17，則Sn取最小值時n的值為____.答案12解析由已知得，等差數列{an}的公差d>0，設Sn＝f(n)，則f(n)為二次函數，又由f(7)＝f(17)知，f(n)的圖象開口向上，關于直線n＝12對稱，故Sn取最小值時n的值為12.例8.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝－2，S6＝3，則nSn的最小值為________.答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝－2，,6a1＋15d＝3))解得a1＝－2，d＝1，所以Sn＝eq\f(n2－5n,2)，故nSn＝eq\f(n3－5n2,2).令f(x)＝eq\f(x3－5x2,2)，則f′(x)＝eq\f(3,2)x2－5x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(10,3)，∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，＋∞))上單調遞增.又∵n是正整數，故當n＝3時，nSn取得最小值－9.題型三、函數與方程思想在解析幾何中的應用解析幾何中求斜率、截距、半徑、點的坐標、離心率等幾何量常常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關系問題，可以通過轉化為一元二次方程，利用判別式進行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉化為求函數的值域、最值，用函數的思想分析解答.例9.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點.已知|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，則C的焦點到準線的距離為()A.2B.4C.6D.8答案B解析不妨設拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓的方程設為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設A(x0，2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，點A(x0，2eq\r(2))在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①點A(x0，2eq\r(2))在圓x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2，②點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2，③聯(lián)立①②③，解得p＝4(負值舍去)，即C的焦點到準線的距離為p＝4，故選B.例10.如圖，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，O為坐標原點，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點，若∠PAQ＝60°，且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(\r(39),6)D.eq\r(3)答案B解析因為∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，設|AQ|＝2R，又eq\o(OQ,\s\up6(→))＝3eq\o(OP,\s\up6(→))，則|OP|＝eq\f(1,2)|PQ|＝R.雙曲線C的漸近線方程是y＝eq\f(b,a)x，A(a，0)，所以點A到直線y＝eq\f(b,a)x的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)·a－0)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋－12))＝eq\f(ab,\r(a2＋b2))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))))2＝(2R)2－R2＝3R2，即a2b2＝3R2(a2＋b2)，在△OQA中，由余弦定理得，例10.設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，左、右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.2D.eq\r(5)答案D解析如圖所示，設以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點為Q，連接OQ，則OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O為F1F2的中點，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).例11.已知拋物線的方程為x2＝8y，F是其焦點，點A(－2，4)，在此拋物線上求一點P，使△APF的周長最小，此時點P的坐標為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))解析因為(－2)2<8×4，所以點A(－2，4)在拋物線x2＝8y的內部，如圖，設拋物線的準線為l，過點P作PQ⊥l于點Q，過點A作AB⊥l于點B，連接AQ，由拋物線的定義可知，△APF的周長為|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，當且僅當P，B，A三點共線時，△APF的周長取得最小值，即|AB|＋|AF|.因為A(－2，4)，所以不妨設△APF的周長最小時，點P的坐標為(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2).故使△APF的周長最小的點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))).例12.已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為________.答案2eq\r(2)解析連接PC，由題意知圓的圓心C(1，1)，半徑為1，從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，Rt△PAC的面積S△PAC＝