專題L2等邊三角形【十大題型】

【北師大版】

【題型1與等邊三角形有關的角度的計算】.......................................................1

【題型2共頂點的等邊三角形（手拉手圖形）】...................................................2

【題型3平面直角坐標系中的等邊三角形】.......................................................4

【題型4與等邊三角形有關的線段長度的計算】...................................................5

【題型5等邊三角形的證明】....................................................................6

【題型6與等邊三角形有關的規律問題】.........................................................7

【題型7利用等邊三角形的性質進行證明】.......................................................8

【題型8與等邊三角形有關的動點問題】.........................................................9

【題型9含30°角的直角三角形性質】.........................................................11

【題型10直角三角形斜邊的中線】..............................................................11

夢夕茅一三

【知識點1等邊三角形】

（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

（3）等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1與等邊三角形有關的角度的計算】

【例1】（2022秋?泰興市期末）（1）如圖1,NAO8和NC。。都是直角

①若N8OC=60°,則N8OO=°,ZAOC=°；

②改變N30C的大小，則N3OO與NAOC相等嗎？為什么？

（2）如圖2,NAO8=NCO/）=8（）°，若NAO/）=NBOC+40。,求/AOC的度數；

（3）如圖3,將三個相同的等邊三角形（三個內角都是60°）的一個頂點重合放置，若

ZBAE=\00,ZHAF=30°,則Nl=°.

【變式1-1]（2022秋?巫溪縣校級月考）己知：如圖，△AHC是等邊三角形，。是3C延

長線上的點，BE、CE分別平分N48C和NACO,求N8EC的度數.

【變式1-2］（2022秋?太原期末）問題情境：如圖1,點。是△ABC外的一點，點E在BC

邊的延長線上，8。平分NA8C,C。平分NAC￡.試探究NQ與NA的數量關系.

（1）特例探究：

如圖2,若AABC是等邊三角形，其余條件不變，則/。=；

如圖3,若△ABC是等腰三角形，頂角NA=100°,其余條件不變，則NO=；

這兩個圖中，NO與NA度數的比是；

（2）猜想證明：

如圖I,ZUBC為一般三角形，在（1）中獲得的/。與NA的關系是否還成立？若成立，

利用圖1證明你的結論：若不成立，說明理由.

【變式1-3］（2022秋?龍港區期末）已知△ABC,aErG是邊長相等的等邊三角形，點。

是邊BC,"的中點.

（I）如圖①，連接AD,GD,則/人。。的大小=（度）；ZGDF的大小=

（度）;

AD與GD的數量關系靠：DC與DF的數量關系是：

（2）如圖②，直線AG,產C相交于點M,求NAM戶的大小.

圖①圖②

【題型2共頂點的等邊三角形（手拉手圖形）】

【例2】（2022秋?華容縣期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,￡重合），在

AE■同側分別作等邊△居（7和等邊△（?￡）￡A。與BE交于點O,4。與BC交于點P,BE

與CD交于點Q,連結PQ.以下五個結論：

①4。=8七；@PQ//AE；③OP=OQ；④△CPQ為等邊三角形；@ZAOB=6（）°.其中

正確的有.（注：把你認為正確的答案序號都寫上）

【變式2-1](2022秋?西雪區期末)如圖，AABC和△CDE都是等邊三角形，點￡在△A3C

內部，連接AE,BE,RD.若NEBD=50°,則NAE8的度數是.

【變式2-2](2022秋?興化市校級月考?)如圖1,等邊△ABC中，。是邊上的點，以

CD為一邊,向上作等邊△&)(?,連接AE.

(1)求證：△DBgdEAC：

(2)求證：AE//BC^

(3)如圖2,若。在邊84的延長線上，且AB=6,AQ=2,試求△4BC與△E4C面積

【變式2-3](2022秋?赫山區期末)如圖，△/WC和△C。七都為等邊三角形，E在.BC上,

AE的延長線交8D于F.

(1)求證：AE=BD；

(2)求NAF8的度數；

(3)求證：CF平分/4FD；

(4)直接寫出EF,DF,C尸之間的數量關系.

cD

【題型3平面直角坐標系中的等邊三角形】

【例3】（2022春?禪城區校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（2,0）,

以線段OC為邊在第一象限內作等邊△OEC,點。為x軸正半軸上一動點（0。＞2）,

連結80,以線段8。為邊在第一象限內作等邊△8QE,直線CE與y軸交于點A,則點A

的坐標為（）

A.（0,一百）B.（0,-2V3）C.（0,-2）D.（0,一2或）

【變式3-1]（2022春?龍口市期末）如圖，在直角坐標系xQy中，直線分別與x地，y

軸交于點M,N,且OM=4,NOMN=30°,等邊AAOB的頂點A,8分別在線段MM

0M上，點A的坐標為（）

C.(V3,1)D.(|,V3)

【變式3-2]（2022秋?新洲區期末）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸的正半軸上,

點8在第二象限，AO=a,AB=b,8。與x軸正方向的夾角為150°,且/-尻+a?b=

0.

(1)試判定△A3。的形狀；

(2)如圖1,若4C_L80,4C=40,點Q為C。的中點，AC.BD交于E,求證：AE

=BE+CE；

(3)如圖2,若點E為)，軸的正半軸上一?動點，以BE為邊作等邊△8EG,延長G4交x

軸于點P,問：月。與AO之間有何數量關系？試證明你的結論.

【變式3-3](2022秋?漢陽區校級期中)如圖，平面直角坐標系中，已知八(-2,0),B

(2,0),C(6,0),。為)，軸正半軸上一點，且NOOB=30°,延長08至E,使8E

=BD.。為x軸正半軸上一動點(。在。點右邊)，M在EP上，且N￡MA=60°,AM

交BE于N.

(1)求證：BE=BC；

(2)求證：NANB=NEPC；

【例4】(2022?南陵縣模擬)如圖，在邊長為2的等邊三角形A3c中，。為邊3c上一點,

且3。=匆。.點￡,「分別在邊AC上，且NE。尸=90°,M為邊切的中點，連

接CM交DF于點N.若DF//A13,則CM的長為()

A.MB.-V3C.-V3D.V3

6

【變式4-1】（2022春?西鄉縣期末）加圖,△4/M是等邊二角形,/，）是中線，過點。作

于E交邊延長線于凡AE=\,求B/7的長.

【變式4-2］（2022?浙江模擬）如圖，等邊△A/3C的邊長為10,點P是邊A8的中點，Q

為延長線上一點，CQ：BC=1：2,過F作PE_LAC于E,連PQ交4c邊于Q,求

QE的長

【變式4-3］（2022秋?崇川區校級月考）如圖,在△4BC中，AB=AC,。、E是△ARC內

兩點，AO平分N84C,ZEBC=ZE=60°,若BE=30an,DE=2cm,則8C=an.

Rl---------1c

【題型5等邊三角形的證明】

【例5】（2022秋?建水縣校級期中）如圖，△ABC為等邊三角形，D為BC邊上一點,以

A。為邊作NAOE=6（T,QE與△ABC的外角平分線C￡交于點E,連接AE.求證：△

ADE是等邊三角形.

【變式5-1］如圖，已知△48C是等邊三角形，￡是4。延長線上一點，選擇一點。，使得

△CQE是等邊三角形，如果M是線段4。的中點，N是線段BE的中點，

求證：△CMN是等邊三角形.

【變式5-2］（2022春?龍口市期末）如圖，E是NAO8的平分線上一點，EC1OB,ED1

OA,C、。是垂足，連接C。交OE于點F,若乙4。8=60°.

(I)求證：△OCO是等邊三角形；

【變式5-3](2022秋?韶關期末)已知：如圖，ZXABC、都是等邊三角形，AD.

BE相交于點。，點M、N分別是線段A。、8E的中點.

(1)求證：AD=BE；

(2)求NOOE的度數；

(3)求證：△MNC是等邊三角形.

[例6](2022秋?思明區校級期中)如圖，已知NM0N=30",點4,A2f4…在射線

ON上，點歷,&,&…在射線OM上,AA1B1A2,△A2B2A3,…均為等邊三角

形，若04=2,則的邊長為.

【變式6-1](2022秋?簡陽市期中)一只電子青蛙在如圖的平面直角坐標系做如下運動：

從坐標原點開始起跳記為4,然后沿著邊長為1的等邊三角形跳躍即A-A2fA3-4-

As.已知A3的坐標為(I,0)＞則A2018的坐標是.

△ABC是一個邊長為2的等邊三角形，ADolBC,

垂足為點。0.過點D）作DQL48,垂足為點。I；再過點。作OQ2_LAD）,垂足為點

。2；又過點。2作。2。3。4以垂足為點。3；…；這樣一直作下去,得到一組線段:DoDi，

皿，眄，…，則線段DQ的長為一_,線段/VS的長為（〃為正整數）.

【變式6-3]（2022?齊齊哈爾模擬）如圖，點4是面積為3的等邊△ABC的兩條中線的交

點，以84為一邊，構造等邊△BAiG，稱為第一次構造；點4是△BAG的兩條中線的

交點，再以8A2為一邊，構造等邊△B/hC2,稱為第二次構造；以此類推，當第〃次構造

出的等邊△B,A￡n的邊BCn與等邊△C8A的邊A8第一次在同一直線上時，構造停止.則

構造出的最后一個三角形的面積是

【題型7利用等邊三角形的性質進行證明】

【例7】（200（）?內蒙古）如圖，已知△4/3C為等邊三角形，延長8C到。，延長84到E,

并且使4七=8。，連接CE,DE.求證：EC=ED.

E

【變式7?1】如圖，在等邊三角形ABC中，BO,CO分別平分N48C,ZACB,OE//AB,

OF//AC,試說明BE=EF=FC.

【變式7?2】（2022秋?綿竹市期末）在等邊△A8C中，點￡是AB上的動點，點E與點A、

B不重合，點。在C8的延長線上，且EC=E/）.

（1）如圖I,若點E是AB的中點，求證：BD=AE；

（2）如圖2,若點E不是AB的中點時，（1）中的結論“BD=AE”能否成立？若不成

立，請直接寫出8。與AE數量關系，若成立，請給予證明.

【變式7-3］（2022春?建平縣期末）如圖（1）,等邊△A8C中，。是A3邊上的動點，以

。。為一邊，向上作等也△EQC,連接

（1）/XOBC和△EAC會全等嗎？請說說你的理由；

（2）試說明A￡〃3c的理由；

（3）如圖（2）,將（1）動點。運動到邊8人的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問

是否仍有AE〃BC?證明你的猜想.

【題型8與等邊三角形有關的動點問題】

［例8］（2022秋?香洲區期中）如圖,在等邊△ABC中,A8=9加點P從點C出發沿

CB邊向B點以2cmis的速度移動，點。從8點出發沿84邊向A點以Semis速度移動.P、

。兩點同時出發，它僅移動的時間為f秒鐘.

（1）你能用/表示8P和8Q的長度嗎？請你表示出來.

（2）請問幾秒鐘后，4PBQ為等邊T角形?

（3）若尸、Q兩點分別從C、B兩點同時出發，并且都按順時針方向沿AABC三邊運動,

請問經過幾秒鐘后點P與點Q第一次在△A8C的哪條邊上相遇？

A

【變式8-1]（2022春?渭濱區期末）如圖，在等邊△A8C中，AB=12cm,現有M,N兩點

分別從點A,8同時出發，沿△ABC的邊按順時針方向運動，已知點M的速度為1c〃心,

點N的速度為2c〃而，當點N第一次到達4點時，M,N同時停止運動，設運動時間為/

（s）.

（1）當，為何值時，M,N兩點重合？兩點重合在什么位置？

（2）當點M,N在8c邊上運動時，是否存在使AM=4N的位置？若存在，請求出此時

點M,/V運動的時間；若不存在，請說明理由.

【變式8-2]（2022春?金牛區校級期中）如圖I,點凡Q分別是等邊△ABC邊A&BC

上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相

同，連接AQ、CP交于點M.

（1）求證：△ABQgACAP；

（2）當點P、Q分別在48、邊上運動時，/QMC變化嗎？若變化，請說明理由；

若不變，求出它的度數.

（3）如圖2,若點尸、Q在運動到終點后繼續在射線A3、8C上運動，直?線AQ、CP交

點為M,則NQMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數.

【變式8-3]（2022秋?祿勸縣期末）如圖，在等邊△ABC中，AC=6,點。在4。上，且

40=2,點P是AB上一動點，連接OP,將線段OP繞點O逆時針旋轉60°得到線段

OD.要使點。恰好落在BC上，則AP的長是多少？

【知識點2含30°角的直角三角形】

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

【題型9含30°角的直角三角形性質】

【例9】（2022秋?尚志市期中）已知：如圖△A8C中,AB=AC,ZC=30°,A8A.AD,

DE1AC.

（1）求證：AE=EC；

（2）若DE=2,求的長.

【變式9-1］（2022秋?武清區期中）如圖，在△A8C中，AB=AC,NBAC=120°,點P

為4c邊的中點，PQ_LAC于點。.

求證：CO=3AO.

【變式9-2］（2022春噌中縣校級月考）如圖，已知408=60°,點P在邊。4上，OP

=12,點M,N在邊OB上，PM=PN,若MN=5,求OM的長度.

【變式9-3］（2022秋?尚志市期中）如圖所示，等邊△A8C中，AO_L8C于。，點P是人8

邊上的任意一點（點尸可以與點A重合，但不與點B重合），過點、尸作PE1BC,垂足

為E,過K作EALAC,垂足為小

（1）如圖1,求證：2BD=2CF+BE；

（2）若A8=4,過/作尸QJ_4以垂足為。，PQ=1,求BP的長.

【知識點3直角三角形斜邊的中線】

在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

【題型10直角三角形斜邊的中線】

【例10】（2022秋?江都區期中）如圖，在△ABC中，于凡B/LLAC于E,M為

8c的中點，8C=10,EF=4.

（1）求的周長：

(2)若NABC=50°,NAC8=60°,求N￡MF的度數.

專題1.2等邊三角形【十大題型】

【北師大版】

【題型1與等邊三角形有關的角度的計算】......................................................13

【題型2共頂點的等邊三角形（手拉手圖形）】..................................................17

【題型3平面直角坐標系中的等邊三角形】......................................................21

【題型4與等邊三角形有關的線段長度的計算】..................................................27

【題型5等邊三角形的證明】...................................................................31

【題型6與等邊三角形有關的規律問題】........................................................35

【題型7利用等邊三角形的性質進行證明】......................................................39

【題型8與等邊三角形有關的動點問題】........................................................43

【題型9含30°角的直角三角形性質】..........................................................47

【題型10直角三角形斜邊的中線】..............................................................50

＞手*三

【知識點1等邊三角形】

（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60。.

（3）等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

【題型1與等邊三角形有關的角度的計算】

【例1】（2022秋?泰興市期末）（1）如圖1,NAO8和NC。。都是直角

①若N8OC=60°,則N8OD=30°,ZAOC=30°；

②改變N40C的大小，則N8OO與NAOC相等嗎？為什么？

（2）如圖2,NAO8=NCOD=80°,若N4OO=/8OC+40°,求N4OC的度數；

（3）如圖3,將三個相同的等邊三角形（三個內角都是60°）的一個頂點重合放置，若

ZBAE=100,N”AF=30°，則Nl=20°.

【分析】（1）根據余角的性質即可得到結論；

（2）根據角的和差即可得到結果；

（3）根據等邊三角形的性質得到/。4，=/幺/=/84。=60°,根據角的和差即可得

到結論.

【解答】解：（1）???乙4。8和NCO。都是直角，NBOC=60°,

???N8OQ=30°,ZAOC=30°,

故答案為：30,30；

（2）VZAOB=ZCOD=SO°,

???ZAOC=NBOD=1（ZAOD-ZBOC）,

VZAOD=ZBOC+W,

/.ZAOC=2（）0；

（3）V^DAH=AEAF=ZBAC=60°,

：.ZDAE=ZHAF=3Qa,

/.Z1=60"-3（）'-10“=20".

故答案為：20.

【變式1-1]（2022秋?巫溪縣校級月考）已知：如圖，aABC是等邊三角形，。是3c延

長線上的點，BE、CE分別平分NA8c和NACQ,求N5EC的度數.

【分析】△A8C是等邊三角形的外角是120°,平分后是60°,又由角平分線與角的對

邊垂直可知所求角是直角三角形內的一個銳角，故而可解得.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，且有BE、CE分別平分NA8C和N4CD,AC1BE,

/.ZECD=（180°-60°）4-2=120°4-2=60°,

???NACE=60°,

ACLBE,

???NBEC=180°-90°-60。=30°.

【變式1-2]（2022秋?太原期末）問題情境：如圖1,點。是△ABC外的一點，點E在8c

邊的延長線上，平分NA3C,CQ平分NACE.試探究N。與NA的數量關系.

（1）特例探究：

如圖2,若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則如。=30°；

如圖3,若△ABC是等腰三角形，頂角NA=l（）0°,其余條件不變，則如。=50°:

這兩個圖中，NQ與N4度數的比是1：2；

（2）猜想證明：

如圖I,△A8C為一般三角形，在（】）中獲得的N。與N4的關系是否還成立？若成立，

利用圖1證明你的結論：若不成立，說明理由.

A

DD

【分析】(I)根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用NA和ND表示

出N4CE,再根據角平分線的定義得到N4CE=2NQCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即

可.

(2)根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和用NA和N。表示出NACE,

再根據角平分線的定義得到NABC=2NDBC,然后整理即可.

【解答】解：(1)如圖2,???△ABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,ZACE=\20a,

?.?8。平分N/WC,CQ平分NACE.

/.ZDSC=30°,NOCE=60°,

ZDCE=ZD+ZDBC,

：.ZD=30°；

如圖3,???△48C是等腰三角形，ZA=100°,

/.ZABC=ZACB=40c,ZACE=140°,

???6O平分N48C,CO平分NACE.

:?NDBC=20°,ZDCE=70°,

?「NOCE=NO+NO8c

AZD=50°；

故答案為30°,50°,I：2；

(2)成立，

如圖1,在△A3。中，ZACE=ZA+ZABC,

在△Q4C中，NDCE=ND+NDBC,…(1)

???CD平分/4CE,BD平分NABC,

；.乙ACE=24DCE,4ABC=24DBC,

又???ZACE=ZA+NABC,

A2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由(1)X2-(2),

：.2ZD+2ZDBC-(ZA+2ZDBC)=0,

???N4=2NO.

【變式1-3](2022秋?龍港區期末)已知△ABC,AErG是邊長相等的等邊三角形，點。

是邊8C,E廣的中點.

（1）如圖①，連接AO,GD,則乙4QC的大小=90（度）；NG。尸的大小=^

（度）；

AD與GD的數量關系是AD=G￡>；DC與DF的數量關系是DC=DF；

（2）如圖②，直線AG,尸。相交于點M,求NAMb的大小.

圖①圖②

【分析】（I）如圖①中，根據等邊三角形的性質解答即可.

（2）如圖連接A。，DG,利用等邊三角形的性質即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖①,連接4Q,G。，???△A4C是等邊三角形，BD=DC,則NAQC

的大小=90°；

:△EG/是等邊三角形，，ED=DF,

FF

AZGDF=90°；日目①圖②

，：BC=EF,

：,AD=GD；DC=DF；

故答案為：90；90；AD=G。；DC=DF.

（2）連接A。，DG,

由（I）得：NADC=/GDF=90°,

A^ADC-NGDC=NGDF-/GDC,

即N1=N2,

由（1）得：AD=GD,

：.ZDGA=ZDAG=l￡O°-￡l

由（1）得：DC=DF,

：.Z3=ZDCF=18O0-Z2

2

，ZDGA=Z3,

?.*ZAMF=NAG/+N5,

???ZAMF=/QGA+/5+/4

=N3+N5+N4

=180°-ZGDF

=180°-90°

=90°.

【題型2共頂點的等邊三角形（手拉手圖形）】

【例2】（2022秋?華容縣期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A,E重合）,在

AE同側分別作等邊△A8C和等邊△CDE,A。與8E交于點O,AO與8C交于點尸，BE

與C。交于點。，連結PQ.以下五個結論：

①AD=BE；?PQ/ZAEx③OP=OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤NAOB=60°.其中

止確的有①②④⑤.（注：把你認為止確的答案序號都寫上）

【分析】①根據全等三角形的判定方法，證出△人CO絲△8CE,即可得出人。=8￡①正

確.

④先證明△ACP0△8CQ,即可判斷出CP=CQ,即可得④正確；

②根據NPCQ=60°,可得△PCQ為等邊三角形，證出NPQC=NQCE=60°,得出PQ

//AE,②正確.

③沒有條件證出。尸=。。，得出③錯誤；

?ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=6（）<>,⑤正確；即可得出結余.

【解答】解：:△ABC和石都是等邊三角形，

：.AC=BC,CL）=CE,/AC'3=/DCE=6U°,

/.ZACB+ZI3CD=ZDCE+ZBCD,

:./ACD=NBCE,

在△ACO和△8CE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CE,

:.AACD在4BCE（SAS）,

：.AD=BE,結論①正確.

???△ACD/MCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又???/ACB=NQCE=6()°,

???NBCZ)=180°-60c-60°=60°,

AZACP=ZBCQ=6(}0,

在△ACP和△8CQ中，

/ACP=NBCQ,4CAP=ZCBQ,AC=BC,

???△ACPdBCQ(AAS),

：.AP=BQ,CP=CQ,

又???/?。。=60°,

???△PCQ為等邊三角形，結論④正確；

：.ZPQC=ZDCE=60a,

：.PQ//AE,結論②正確.

???ZADC=ZAEO,

，NA08=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=NDCE=60°,

，結論⑤正確.

沒有條件證出OP=。。，③錯誤；

綜上，可得正確的結論有4個：①②④⑤.

故答案為：①②?@.

【變式2-1](2022秋?西青區期末)如圖，/XABC和△CDE都是等邊三角形，點E在AABC

內部，連接A￡,BE,BD.若NEBD=50°,則NAE8的度數是110°.

【分析】由已知條件推導出aACE絲△8CO,從而NDBC=NCAE,再通過角之間的轉

化，利用三角形內角和定理能求出的度數.

【解答】解：??.△ABC和△CDE都是等邊三角形，

：.AC=BC,CE=CD,ZABC=ZACB=ZBAC=ZECD=60a,

又??,ZACB=/ACE+NBCE,ZECD=NBCE+/BCD,

???N8CO=/ACE,

在△ACE和△8CQ中，

AC=BC

乙BCD=Z.ACE，

CE=CD

/.AAC￡^AfiCD(SAS),

:?/CAE=NDBC,

：.NEBD-NEBC=NBAC-NBAE,

V^EBD=50°,

A500-ZEBC=600-ZBAE,

???500-(600-ZABE)=60°-NBAE,

：,ZABE+^BAE=10°,

???NAE8=180°-(NA8E+NBAE)=180°-70°=110°,

故答案為：110°.

【變式2-2](2022秋?興化市校級月考)如圖1,等邊△A8C中，。是邊上的點，以

CD為一邊,向上作等邊△EQC,連接AE.

(1)求證：△DBC92EAC；

(2)求證：AE//BC；

(3)如圖2,若D在邊B4的延長線上，且AB=6,AD=2,試求△ABC與△E4C面積

【分析】(I)首先證明NBCD=NACE,然后利用SAS證明△DBC0^EAC即可；

(2)根據全等的性質可得NEAC=NB=60°,進而可得/EAC=NACB,從而可得AE〃

BC：

(3)利用等邊三角形的性質可得BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,然后再證

明ADBC且△EAC,再推出NEAC=NACB,進而可得AE〃BC,進而利用三角形面積解答

即可.

【解答】證明：(1)VZACB=60°,ZDCE=60°,

AZBCD=60°-ZACD,ZACE=60°-ZACD,

AZBCD=ZACE,

在4DBC和aEAC中，

(BC=AC

ZFCD=Z.ACE

(EC=DC

AADBC^AEAC(SAS)：

(2)VADBC^AEAC,

.,.ZEAC=ZB=60°,又NACB=60°,

AZEAC=ZACB,

，AE〃BC：

(3):△ABC、AEDC為等邊三角形

/.BC=AC,DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD,

即NBCD=NACE,

(BC=AC

ffiADBCfUAEACm^BCD=LACE,

[CD=CE

/.△DBC^AEAC(SAS),

AZEAC=ZB=60°,AE=BD=AB+AD=8,

又???NACB=60°,

AZEAC=ZACB,

.??AE〃BC.

/.△ABC與AEAC面積比=^=-^-=7.

AE6+24

【變式2-3](2022秋?赫山區期末)如圖，△ABC和都為等邊三角形，E在8C上,

AE的延長線交3。于F.

(I)求證：AE=BD；

(2)求NAF8的度數；

(3)求證：C/平分NA尸。；

(4)直接寫出EF,OF,C戶之間的數量關系.

【分析】(1)要證明邊相等可證明邊所在的三角形含等，由aABC和△(?￡)￡都為等邊

三角形，可得NACE=N8CQ=60°,AC=BC,CE=CD,繼而證明三角形全等，即可

解答題目；

(2)由三角形全等可得NCAE=NC8。，結合NAEC=NBE/即可證明；

(3)作CM_LAr于點M,CN1DF于點、N,連接CF,利用全等三角形的性質證明CM

=CM即可解答題目；

(4)延長4尸到點Q,使尸。=OF,連接DQ,則只需證明CF=EQ,所以考慮證明△

CDF^AEDQ,自己試著解答.

【解答】(1)證明：和△CQE都為等邊三角形，

???/ACE=N8CO=6(r,AC=BC,CE=CD,

???△ACE會△8C。(SAS),

：.AE=BD.

(2)解：VAACE^ABCD,

：,ZCAE=ZCBD,

又NAEC=NBEF,

：.^AFB=ZACB=6Q°.

(3)證明：作CM_LA”于點M,CNLDF于點、N,連接CR

VZCAF=ZCBD,NAMC=/BNC=90°,AC=BC,

???△CAM絲ZXCBN(SAS),

則CM=CN,

：,。尸平分/人F?.

(4)解：延長A尸到點Q,使廣。=OF,連接QQ,

VZAFB=ZACB=60°,

則ND"2=60°,

???△。只2是等邊三角形，

貝ljQQ=。產，NFDQ=NCDE=60°,

:?NCDF=/EDQ,

?：CD=DE,/CDF=/EDQ,DQ=DF,

:.△CDFWAEDQ（SAS）,

:.CF=EQ,

則CF=EF+FQ=EF+DF.

【題型3平面直角坐標系中的等邊三角形】

【例3】（2022春?禪城區校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（2,0）,

以線段OC為邊在第一象限內作等邊△O8C,點。為x軸正半軸上一動點（。。＞2）,

連結80,以線段8。為邊在第?象限內作等邊△5Q￡,直線CE與），軸交于點A,則點A

的坐標為（）

(0,-2V3)C.(0.-2)D.(0,-2V2)

【分析】根據“手拉手”全等可得，進而可得NOCA=60°,即

可求解A點坐標.

【解答】解：:△OBC,△BDE為等邊三角形,

:.BO=BC,BD=BE,ZOBC=ZDBE=ZBCO=^°,

???NOBD=NCBE,

在AOB。和△CBE中，

BO=BC

乙OBD=1BE，

(BD=BE

:.△OBDgACBE(SAS),

???N8CE=NBOO=60°,

.,.ZOCA=60°,

VZCOA=90°,

???OA=V30C=275,

即4點坐標為：(0,-2A/3)，

【變式3-1］（2022春?龍口市期末）如圖，在直角坐標系.iQy中，直線MN分別與x軸，y

軸交于點M,N,且OM=4,NOMN=30°,等邊AAOB的頂點4,8分別在線段MM

OM上，點A的坐標為（）

C.(V3,1)D.0V3)

【分析】根據NOMN=30°和△AOB為等邊三角形，證明△O4M為直角三角形，即可

得出答案.

【解答】解：:直線朋N分別與x軸正半軸、），軸正半軸交于點M、N,0M=4,ZOMN

=30。,

，NONM=60°,

???△AO8為等邊三角形，

工408=60°,NAM0=3O°,

???/OAM=90°,

???OA_LMN,即△OAM為直角三角形，

：.OA=-OM=-x4=2,

22

過點A作4C_LO6于點C,

.??℃制OA=1,

.*.AC=V3,

???點A的坐標為（1,V3）.

【變式3-2］（2022秋?新洲區期末）在平面直角坐標系中，已知點A在），軸的正半軸上，

點4在第二象限，AO=a,AB=b,5。與x軸正方向的夾角為150°,且〃-拄+々_

國2

(1)試判定△A3。的形狀；

(2)如圖1,若4C_L8O,BC=BO,點。為CO的中點，AC、BD交于E,求證：AE

=BE+CE；

(3)如圖2,若點E為)，軸的正半軸上一動點，以跖為邊作等邊△8EG,延長G4交x

軸于點P,問：AP與AO之間有何數量關系？試證明你的結論.

【分析】(1)△/W0為等邊三角形，理由為：根據(/_〃2)+(〃-人)=o,得至ijq=〃，

再由BO與x軸正方向的夾角為150°得到/AO8=60°,即可得證；

(2)在AC上截取AM=CE,先證/AE8=60°,方法是根據題意得到△AB。為等邊三

角形，△BOC為等腰直角三角形，確定出NA8O度數，根據4B=BC,且NA8C=120。，

得到NBAE度數，進而確定出/AE8為60°,再由AM=CE,得到八E=CM,再由人8

=CB,且夾角N8AC=NBCA,利用SAS得到ABCM與△BAE全等，利用全等三角形的

對應邊相等得到8M=BE,得到△8￡M為等邊三角形，得到3E=EM,由

等品代換即可得證；

(3)AP=2AO,理山為：山題意得到BG=BE,AB=OB,利用等式的性質得到NA8G

=NO8E,利用S4S得到△A8G與AOBE全等,利用全等三角形的對應角相等得到/G4B

=NBOE=60：利用外角的性質得到NAPO=30°,在RtA40P中,利用3()度角所

對的直角邊等于斜邊的一半得到AP=2AO.

【解答】(1)解：結論：ZXAB。為等邊三角形，

理由：Vfl2-b2+a-b=(a+b)(a-b)+(a-b)=(?-/?)(a+b+1)=0

*.a-^=0,得至ija=/%BPAO=AB

108與x軸正半軸夾角為150°

AZAOB=\50°-90°=60°

???△A08為等邊三角形；

(2)證明：在AC上截取4M=EC,可得AM+EM=CE+EM,即AE=CM.

???△AO8為等邊三角形，aBOC為等腰直角三角形

AZOBC=90°,ZABO=6()°

???。為CO的中點

???8。平分NO8C,即/。8。=/。8。=45°

/.ZABD=\05°,ZABC=\50°

???NBAC=NBCA=15°

，ZAEB=60°

在△ABE和△C8M中

AB=CB

LBAE=乙BCM,

AE=CM

A(SAS)

:?BM=BE

???△BEM為等邊三角形

:?BE=EM

，AE=AM+EM=CE+BE；

(3)解：結論：AP=2AO,

理由：???△A04與都為等邊三角形

:,BE=BG,AB=OB,NEBG=NOBA=60°

???ZEBG+ZEBA=ZOBA+ZEBA

即ZABG=ZOBE

在△AAG和△OBE中

AB=OB

Z.ABG=乙ORE,

BE=BG

:.XABG44OBE(SAS)

???/R4G=NBOE=60°

，/G4O=NG4B+N朋0=120°

???NG4O為△AOP的外角

且NAOP=90°

???N4PO=30°

在RiAAOP中，ZA尸。一30°

???AP=2AO.

E2

【變式3-3](2022秋?漢陽區校級期中)如圖，平面直角坐標系中，已知A(-2,0),B

(2,0),C(6,0),。為y軸正半軸上一點，且NOO8=30°,延長。8至E,使BE

=BD.。為x軸正半軸上一動點(。在。點右邊)，M在上，且N￡MA=60",AM

交,BE于N.

(1)求證：BE=BC；

(2)求證：/ANR=/EPC：

【分析】(1)根據點A、B的坐標求出根據直角三角形兩銳角互余求出NAB。

=60°,然后判斷出八48。是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得8Q=48=4,再

求出3C=4,從而得到8C=4。，然后等量代換即可得證；

(2)根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得N84N+N4NB=N

ABD=60°,NBAN+NEPC=NEMA=60°,即可得證；

(3)求出aBCE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得BC=CE,然后求出.48=

CE,再求出N/WN=NECP=I2O°,然后利用“角角邊”證明△A8N和△ECP全等，

根據全等三角形對應邊相等BN=CP,再根據BP-CP=BC等量代換即可得解.

【解答】(1)證明：(-2,0),3(2,0),

:?AD=BD,A4=4,

???/0。8=30°,

/.ZAB￡>=90°-30°=60°,

???△AB。是等邊三角形，

：,BD=AB=4,

?:B(2,0),C(6,0),

：.BC=6-2=4,

:.BC=BD,

又?：BE=BD,

：,BE=BC；

(2)證明：由三角形的外角性質得，NBAN+NANB=NABD=60°,

/BAN+/EPC=/EMA=60”,

所以，NANB=NEPC：

(3)解：?;BE=BD=BC,/CBE=NABD=6G,

???△3CE是等邊三角形，

:,BC=CE,

,

：AB=BC=4t

：,AB=CE,

VZABD=ZBCE=6(r,

/.ZABN=ZECP=\2Q°,

在aABN和△￡(?「中，

Z.ANB=乙EPC

乙ABN=乙ECP,

AB=CE

:.AABN叁AECP(AAS),

:,BN=CP,

,：BP-CP=BC,

:.BP-BN=BC=4,

故BP-BN的值為4,與點尸的位置無關.

【題型4與等邊三角形有關的線段長度的計算】

【例4】(2022?南陵縣模擬)如圖，在邊長為2的等邊三角形A4C中，D為邊BC上一點、,

且